必做的立體幾何綜合題

1、必做的立體幾何綜合題作者:日期:3 714 ,NE(x丄,1z)，由 NE面PAC可得，2NEAP0,1(x,1 即2z) (0,0,2) 0,z 10,化簡得3x 102NEAC0.1(x2,1z) ( 3,1,0)0. AC與PB所成角的余弦值為(n)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，3.7O14故可設N點坐標為(x,0, z)，則即N點的坐標為(汕,從而N點到AB和AP的距離分別為3x6z 11,輪復習必做的立體幾何綜合題1、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PA 底面 ABCD， AB , 3， BC 1， PA 2，E為PD的中點。(I)求直線 AC與PB所成角的余弦值；

2、(n)在側(cè)面 PAB內(nèi)找一點N，使NE 面PAC ,并求出點N到AB和AP的距離。解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A,B,C,D,P, E 的坐標為 A(0,0,0)、B( 3,0,0)、C( . 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0,2)、E(0,-,1),2從而 AC ( 3,1,0), PB ( . 3,0, 2).設AC與PB的夾角為，貝UAC PB 3 cos| AC I I PB I 2.72、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面 AEC1F所截面而得到的，其中AB 4, BC 2,CC13, BE 1。(I)求BF的長；(n)求點C到平面AEC1F

3、的距離。解：(I)建立如圖所示的空間直角坐標系，貝yD(0,0,0) , B(2,4,0)uiunEG得,(2,0,z)( 2,0,2),F(0,0,2).2, 4,2).于是|BF | 2 6,即BF的長為2.6.(II )設m為平面AEGF的法向量，顯然m不垂直于平面ADF,故可設n1ir由iruur AE uur AF(x,y,l)即4；x又CCicos°,得0,0,2 0,1,(0,0,3),設CC1與n1的夾角為31 116CC1 niICG 1 |n' |，則4,3333A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),G(0,4,3)設 F(0,0, z

4、) AEC1F為平行四邊形，由AEC1F為平行四邊形，iur由AFz 2.uuEF (uu4一3311 C到平面AEC1F的距離為4 一 33d | CC1 | cos 3333、如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長是2 , D是側(cè)棱CC1的中點，直線AD 與側(cè)面BB1C1C所成的角為45°.(I)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(n) 求二面角A BD C的大??；(川)求點C到平面ABD的距離.解：(I)設正三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱長為x .取BC中點E，連AE .CiABC是正三角形，AE又底面ABC 側(cè)面亡BBiCiC，且交線為BC .AE 側(cè)面 BB1C1C .

5、連ED，則直線AD與側(cè)面BBiCiC所成的角為 ADE 45°.在 Rt AED 中，tan45°AE.3，解得 x 2,2ED廠V 4此正三棱柱的側(cè)棱長為2.2 .注：也可用向量法求側(cè)棱長.（n）解法i ：過E作EFBD 于 F，連 AF ,在RtBEF 中，EFBEsi nEBF，又CDBEi,si n EBFBD 22 (23又AE.3,AFE為二面角A BD C的平面角.EFAE 側(cè)面 BBiCiC, AF BD .在 Rt AEF 中，EGAE EFAF平面ABD .3.30i0Q E為BC中點,點C到平面ABD的距離為2EG2、30ioAE在 Rt AEF 中，

6、tan AFE3.EF故二面角A BD C的大小為arctan3.解法2:（向量法，見后）（川）解法i：由（n）可知，BD 平面AEF , 平面AEF 平面ABD，且交線為 AF ,過E作EG AF于G，則EG解法2：（思路）取AB中點H璉CH和DH，由CA CB, DA DB，易得平面ABD平面CHD，且交線為 DH 過點C作CI DH于I，則CI的長為點C到平面ABD的 距離.解法3:解法4: 題（n）（n）（思路）等體積變換：由V ABD VA BCD可求. （向量法，見后）、（川）的向量解法：解法2：如圖，建立空間直角坐標系則 A（0,0, .3）, B（0, i,0）,C（0,i,0

7、）, D（x, y,z）為平面ABD的法向量.屁y ' 3zo xyz.2,i,0).設 niniABn2取又平面ADir(BCD0,y得y02xx6,.3,i).ui的一個法向量n2AiBiC7分x6分c1ni n2(63,1) (0,0,1). 10cos ni, n2；f _ndn1 譏荷2 ( <3)2 1210結(jié)合圖形可知，二面角 A BDC的大小為arccos1010 ULU1n1( .6,3,1),CACA n1點C到平面ABD的距離d（0, 1,V3）（梶,V3,1）_ 2偵 Z）（ V3）2苻=右16. 一個幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視 圖是腰長為

8、6的兩個全等的等腰直角三角形 （I）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；（n）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體 ABCD- A1B1C1D?如何組拼？試證明你的結(jié)論； （川）在（n）的情形下 ，設正方體 ABCA1BCD 的棱CC的中點為E,求平面ABE與平面ABC所成二面 角的余弦值解：（I）該幾何體的直觀圖如圖 1所示，它是有 側(cè)棱垂直于底面的四棱錐其中底面ABCD是邊長為6的 正方形，高為CG=6,故所求體積是V 1 626723（n）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,其拼法如圖2 所示.證明：面ABCD面ABBA、面AADD為全等的 正方形，于是VC1 ABCD VG ABB1A1 VC1 AA1D1D 故所拼圖形成立（川）方法一：設 BiE, BC的延長線交于點 G連結(jié)GA在底面 ABC內(nèi)作BHL AG 垂足為H,連結(jié)HB ,則BH丄AQ 故/ B1 HB為平面 AB E與 平面ABC所成二面角或其補角的平面角在 Rt ABG中, AG .180，貝UBH6 12擔,B1H品，（川）解法4:由（n）解法 2,cos B1 HBHBHB1-，故平面ABE與平面ABC所成二面角的余弦值為3方法二：以C為原點，CD CB CC所在直線分別為 x、y、z軸建立直角坐標系（如圖設向量n= (x, y