D1-5,D16極限存在準(zhǔn)則,D17ppt課件

1、1/48_32arctanlim. 12 xxxx) (,)(lim,)(lim. 2則則必必有有若若 xgxf 1)()(lim. ,)()(lim.0)()(lim. ,)()(lim. xgxfDxgxfCxgxfBxgxfAC02/48一、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則 二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 三、極限的計(jì)算方法三、極限的計(jì)算方法第五節(jié)第五節(jié) 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則3/48定理定理1 1(1)lim()limlim;uvuvAB,lim,lim,u vA BuAvB設(shè)某一變化過(guò)程中,變量分別以為極限即則在同一變換過(guò)程中,有注意注意 使用運(yùn)算法則

2、前提使用運(yùn)算法則前提,參與運(yùn)算的極限都存在參與運(yùn)算的極限都存在.(2)lim()(lim)(lim );uvuvAB(3)lim( / )(lim )/(lim )/(0).u vuvA B B4/48(3)lim()lim(;cucucA c為常數(shù)）lim(6)lim()(lim)().VVBuuA要求結(jié)果有意義推論推論1212(1)lim()limlimlim;mmuuuuuu1212(2)lim()(lim)(lim)(lim);mmu uuuuu(4)lim()(lim )();mmmuuAmN1111(5)lim()(lim )(,);mmmmuuAmNA且有意義5/48000000

3、00 ( )( )( ),limlim,(,lim( )lim.xxuuxxuuyfxyf uuxxuf uAU xxU xxufxf uA 。設(shè)是由與復(fù)合而成若( )= ，( )=),)有 ( )則 =( )=定理定理2 2 說(shuō)明說(shuō)明 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim6/48211lim(321).xxx例 計(jì)算22012lim.1xxx例計(jì)算1.1.直接利用極限運(yùn)算法則直接利用極限運(yùn)算法則7/48小結(jié)小結(jié) 代入法代入法00,( ),(),xxf xf x時(shí) 初等函數(shù)的極限 只要有意義 均可代入例如例如12arctanlim

4、1 xx112arctan 4 8/482arctan3lim.lnxxx例計(jì)算2.2.無(wú)窮小與有界變量乘積仍為無(wú)窮小無(wú)窮小與有界變量乘積仍為無(wú)窮小3.3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系21414lim.23xxxx例計(jì)算9/484.4.分解因式約去零因子分解因式約去零因子( (零因子約分法零因子約分法) )例例5 5 計(jì)算計(jì)算2211lim.23xxxx)00(型型433131lim2xxxxxx例例6 6 計(jì)算計(jì)算)00(型型10/4833lim.12xxx 5.5.有理化約去零因子有理化約去零因子例例7 7 計(jì)算計(jì)算311lim.1xxx例例8 8 計(jì)算計(jì)算)00(型型)00(

5、型型例例9 9 計(jì)算計(jì)算21112lim.xxxx )00(型型11/483232235lim.741xxxxx例10 計(jì)算)(型型 6.6.分子、分母同除以無(wú)窮大量法分子、分母同除以無(wú)窮大量法例例11112lim.21xxxx 計(jì)算)(型型 注意注意0,0.當(dāng)一個(gè)分式的分子極限不為 分母極限為 時(shí)，則極限直接等于12/48為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù))nmba,0(00mn 當(dāng)101101limmmmnnxna xa xab xb xb,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：13/4812lim.xxxxxx例計(jì)算)(型型 13lim.xxxxxeeee例計(jì)算)(型型 14/

6、48)(型型 313114lim().11xxx例計(jì)算7.7.無(wú)窮大減無(wú)窮大無(wú)窮大減無(wú)窮大: :通分或者有理化通分或者有理化 2215lim(2).nnnnn例計(jì)算)(型型 15/4823216 lim( ,),3 , .xxxab a bxa b例若為非零常數(shù)求32417 lim()0,( ,), .1xxaxba ba bx例若為常數(shù) 求16/48極限計(jì)算的思路分析極限計(jì)算的思路分析ylim確定型？確定型？ . 3. 21.Y無(wú)窮小與有界變量乘積為無(wú)窮小無(wú)窮小與有界變量乘積為無(wú)窮小無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 N)(004.4.分解因式約去零因子分解因式約去零因子直接利用極限運(yùn)

7、算法則直接利用極限運(yùn)算法則 )( 5.5.有理化約去零因子有理化約去零因子0001000 )( 7.7.通分或者有理化通分或者有理化 狀態(tài)歸類曉狀態(tài)歸類曉定者僅三條定者僅三條悟得轉(zhuǎn)化術(shù)悟得轉(zhuǎn)化術(shù)極限知多少極限知多少( (轉(zhuǎn)化為確定型轉(zhuǎn)化為確定型) )6.6.分子、分母同除以一個(gè)無(wú)窮大分子、分母同除以一個(gè)無(wú)窮大17/48極限計(jì)算的思路分析極限計(jì)算的思路分析ylim確定型？確定型？ . 3. 21.Y無(wú)窮小與有界變量乘積為無(wú)窮小無(wú)窮小與有界變量乘積為無(wú)窮小無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 N)(004.4.分解因式約去零因子分解因式約去零因子直接利用極限運(yùn)算法則直接利用極限運(yùn)算法則 )(

8、5.5.有理化約去零因子有理化約去零因子0001000 )( 7.7.通分或者有理化通分或者有理化 狀態(tài)歸類曉狀態(tài)歸類曉定者僅三條定者僅三條悟得轉(zhuǎn)化術(shù)悟得轉(zhuǎn)化術(shù)極限知多少極限知多少( (轉(zhuǎn)化為確定型轉(zhuǎn)化為確定型) )6.6.分子、分母同除以一個(gè)無(wú)窮大分子、分母同除以一個(gè)無(wú)窮大18/48二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限 一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限19/48, ,:;limlim,lim.U V WUVWUWAVA如果在某個(gè)變化過(guò)程中,三個(gè)變量滿足則準(zhǔn)則一、夾逼定理準(zhǔn)則一、夾逼定理注意注意 使用夾逼定理求函數(shù)極限時(shí)要注意使用夾逼

9、定理求函數(shù)極限時(shí)要注意:,limlim;U WUWA放縮有度:要保證的極限存在 且(1)(1)(2)(2),U WV的極限要比 的極限容易求解 否則就失去意義.20/48222111lim().12nnnnn例例2 2 計(jì)算計(jì)算1lim 123.nnnnn例例1 1 計(jì)算計(jì)算例例3 3 利用夾逼準(zhǔn)則證明：利用夾逼準(zhǔn)則證明：0limcos1.xx例例4 4 計(jì)算計(jì)算2011limsin(sin).xxxx21/481sinlim. 10 xxx注 OBAx1DC.tanlim0 xxx例例5 5 計(jì)算計(jì)算.cos1lim20 xxx例例4 4 計(jì)算計(jì)算22/48推廣推廣:( )0sin( )li

10、m1()( )代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式例例6 6 計(jì)算計(jì)算0sinlim(0).sinxmxm nnx23/482. lim( 12121).nnn計(jì)算38131.lim.2xxx計(jì)算3 計(jì)算2011limsin(sin).xxxx24/48準(zhǔn)則二、單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則二、單調(diào)有界準(zhǔn)則1.1.原則原則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .x1x2x3x1 nxnx2.2.幾何解釋幾何解釋AM333 ().nxn證明重根式 的極限存在例例3 325/48exxx )11(limexxx 10)1(limennn )11(lim2.2.可以證明：對(duì)可以證明：對(duì)xR,有有例例8 8 計(jì)

11、算計(jì)算20lim(1)xxx例例9 9 計(jì)算計(jì)算1lim(1)xxx26/48例例10 10 計(jì)算計(jì)算lim1xxxx例例11 11 計(jì)算計(jì)算limxxx ax a推廣推廣:1( )( )0lim1 ( )e( )代表相同的表代表相同的表達(dá)達(dá)式式特征：特征： 底數(shù)底數(shù):1+:1+無(wú)窮小無(wú)窮小; ;指數(shù)指數(shù): :無(wú)窮大無(wú)窮大, ,且與底數(shù)中的無(wú)窮小互為倒數(shù)且與底數(shù)中的無(wú)窮小互為倒數(shù). .27/48第七節(jié)第七節(jié) 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較二、等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用二、等價(jià)無(wú)窮小在求極限中的應(yīng)用28/48,0時(shí)x21,sin , sinx xx xx都是無(wú)窮小都是無(wú)

12、窮小, ,引例引例20limxxx,001sinlimxxxx0sinlimxxx1,但但 極限不同極限不同, ,反映了各個(gè)無(wú)窮小趨于反映了各個(gè)無(wú)窮小趨于0 0的的“快慢速度不快慢速度不同同. . 20 x 0 x 比比要要“快的快的多多;不存在不存在,sin0 x 0 x 與與速度大致相同速度大致相同; ;1sin0 xx與與0 x 不具有可比性不具有可比性. .29/48,0limCk,0lim假假設(shè)設(shè)則稱則稱是比是比高階的無(wú)窮高階的無(wú)窮小小, ,( );o,lim假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè), 1lim假設(shè)假設(shè).,0limC,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,

13、 ,記作記作則稱則稱是比是比低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小; ;則稱則稱是是的同階無(wú)窮的同階無(wú)窮小小; ;則稱則稱是關(guān)于是關(guān)于的的k k階無(wú)窮小階無(wú)窮小; ;則稱則稱是是的等價(jià)無(wú)窮的等價(jià)無(wú)窮小小, ,記作記作定義定義30/48)(o0 x時(shí)時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如, ,22)(4x21故故0 x時(shí)時(shí), ,xcos1是關(guān)于是關(guān)于x x 的二階無(wú)窮小的二階無(wú)窮小, ,211cos, (0).2xxx且且例如例如, ,當(dāng)當(dāng)31/480 x時(shí)時(shí), ,111.nxxn例例2 2 證明證明: :當(dāng)當(dāng).1exxln(1) ,(0)

14、.xxx說(shuō)明說(shuō)明 例例2 2實(shí)際上還給出了等價(jià)關(guān)系實(shí)際上還給出了等價(jià)關(guān)系: : 0 x 時(shí)時(shí),例例1 1 證明證明: :當(dāng)當(dāng)32/48定理定理1 1( )o,則在極限存在的則在極限存在的lim lim, 與與, 是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,且且條件下條件下, ,有有定理定理2 (2 (等價(jià)無(wú)窮小替換法則等價(jià)無(wú)窮小替換法則) )設(shè)設(shè)33/48注意注意1.1.可以替換整個(gè)分子或分母可以替換整個(gè)分子或分母, ,也可替換分子也可替換分子或分母中的因子或分母中的因子; ;2.乘除可以替換乘除可以替換,而加與減是不可以替換的而加與減是不可以替換的!34/48,0時(shí)當(dāng) xsinxtanxarcsinx,x,x,xcos1x21,2x11nx,1xn)1ln(x1e x,x, x1ln ,xaxa(1)1().xxR當(dāng)當(dāng)( )0 x時(shí)時(shí),上面各式中上面各式中x換