D114對面積曲面積分okppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 對面積的曲面積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 最大值

2、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 SzyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzy

3、xfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 假設(shè) 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分yxD),(kkkyxk)(目

4、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:zyDzyzyxx),(),(: 1) 如果曲面方程為那么Szyxfd),(yzDzyzyxf),),(zyzyxzyxzydd),(),(122zxDxzxzyy),(),(: 2) 如果曲面方程為那么Szyxfd),(zxDzxzyxf),(,(xzxzyxzyzxdd),(),(122目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxD例例1. 計算曲面積分計算曲面積分,dzS其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(212222

5、2haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2axzyhaO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 考慮考慮:假設(shè) 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS04lnhaa那么hhxzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. 解解: 設(shè)設(shè)上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 zyx111

6、O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求半徑為求半徑為R 的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標,0 yx而 zSdSzd222yxRxzx222yxRyzydxdyzzdSyx221dxdyyxRyyxRx222222221目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,222dxdyyxRRdS即 zSzdSdxyxyDDdxdyyxRRdxdyyxRRyxR222222222xyxyDDdxdyyxRRRdxdy222因而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2223RRRdrrRRrddxdyRRDxy 20022目

7、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 計算計算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似)目

8、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習P217 題1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 題1.SzyxzyIxd),()(22P217 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)那么0P244 題2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P217 題4 (1).Oyz2x 在 xOy 面上的投影域為2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2xyD)(2:22yxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P218 題7. 如下圖, 有yx

9、yxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P244 題2. ),0(:2222zazyx在第一卦為1限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè) P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 已知曲面已知曲面殼殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z =1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在在 xOy 面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213yxD2xzyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)設(shè) 是四面體是四面體的表0,0,0,1zyxzyx面, 計算.d)1 (12SyxI解解: 在四面體的四個面上在四面體的四個面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域目錄 上頁 下頁