直線上一動點到兩固定點之間距離的最值精編版

1、最新資料推薦直線上一動點到兩固定點之間距離的最值【題型】P點為直線L上一動點，A點、B點不在直線上，且固定。當(dāng)P點移動到什么位置時，P點到A點的距離與P點到B點的距離 之差的絕對值最大?！疽辍慨?dāng)P點移動到什么位置時，P點到A點的距離與P點到B 點的距離之和最小。【思路】下面3條原理是解決此類問題的基礎(chǔ):1、所有此類問題都應(yīng)納入“三角形”中求解;（定理1）2、運用“在同一平面之中，兩點之間，線段最短?！保ǘɡ?）（定理3）3、運用“在同一平面中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊?！薄編追N不同情況的詳細(xì)解答及相應(yīng)證明】1、求直線上動點到直線外兩固定點距離之差的絕對值的最大值（1）當(dāng)

2、兩固定點在直線同側(cè)時，如圖1ALMP' ' P MP "1圖點，形成點與A點，點與BP'假設(shè)直線上任意一點P'點，連接P' ; ''A-PB|<ABBAP',根據(jù)“定理3"，得知|P "定，根據(jù)形成兩 點，P" BAAP當(dāng)P'點移動到”點時，分別連接、B B|<AB 得 知|PA -P3理的交點時，連線的延長線與直線 BAL點，即只有移動到 P 。 |PA-PB|=AB i最新資料推薦結(jié)論：當(dāng)直線上一動點，與直線一側(cè)的兩固定點之間距離之差的絕對值最大時，P點位于兩點連線的

3、延長線與直線的交點處。計算：P點的位置(或坐標(biāo))以及最大值。如圖1,過A點做直線垂直與直線L,垂足為M,過B點做直線垂直于直線L,垂足為M'這樣，AM / BM'因此，在直角 PBM'中，AM/BM'=PM/PM'所以，PM'=PM+MM'最終得出：PM= (AMXMM') +|BM'-AM|,以此確定P點的位置(或 坐標(biāo))。同樣道理，PM/MM'=PA/AB所以，最大值A(chǔ)B=MM'/PMXPA,根據(jù)勾股定理計算出PA后，就計 算出了 AB的長度。(2)當(dāng)兩固定點在直線異側(cè)時，如圖 2'A 2圖L

4、'MM P ” P 'PA 2圖LA做一條垂直與直線對于處于直線異側(cè)的兩點，先通過其中一點， 的對稱點）A點對于直線L, M且使AM=A'M （即做的直線，垂足為 將異側(cè)問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題。B、A點，則P點就是到P'然后，連接 A和B點，并延長交于直線于 兩點距離之差的絕對值最大時的點。： 可以看出，”，并連接P同樣，在直線上任意一點'PAPBPA2 最新資料推薦在P'A'B 中，|P'A'-P'B|<A'B ,由于 P'A'=P'A ,所以， |P'A-P'B

5、|=|P'A'-P'B|<A'B。將P'點移動到P”點，并構(gòu)成 P" A'B ,同樣道理可以得出|P" A-P” B|=|P" A'-P" B|<A'B。所以，只有將P點移動到A'B的延長線與直線L的交點處時，才能 得到 |PA-PB|=|PA'-PB|=A'B。結(jié)論：當(dāng)直線上一動點，與直線異側(cè)的兩固定點之間距離之差的絕對 值最大時，P點位于一點與另外一點對于直線的對稱點的連線的延長線與直線的交點處。計算：P點的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖2,過B點做直

6、線垂直于直線L,垂足為M'所以在直角 PM'B 中，A'M/BM'=PM/PM',由于 PM'=PM+MM'所以，PM= （A'MXMM'） +|A'M - BM'| ,以此確定P點的位置（或 坐標(biāo)）。同樣道理，PA'/A'B=PM/MM',所以，P點至UA、B兩點距離之差的 絕對值最大值為A'B=PA' XMM' +PM,根據(jù)勾股定理計算出PA' 后，就計算出了 A'B的長度?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上移動點到直線外兩固定點之間的距離之差的絕對 值，

7、只存在最大值，不存在最小值。當(dāng)兩點在直線同側(cè)時，最大值為 兩點連線長度；當(dāng)兩點在直線異側(cè)時，最大值為一點與另一點對于直 線的對稱點的連線長度。推導(dǎo)出：當(dāng)兩固定點在直線上時，動點與兩定點之間的距離之差的絕 對值，有且只有一個值（即常量），即兩點之間的線段長。2、求直線上動點到直線外兩固定點的距離之和絕對值的最小值（1）當(dāng)兩固定點在直線同側(cè)時，如圖 33最新資料推薦B .ALMPA' 3圖AM=MA',垂足M,并使首先，過A點做直線垂直于直線 LAP點， 連接L交于PAB'B, AB與直線連接A PA, P'A,'在直線L上任意取 一點P',連接PB

8、點的距離之和與BA、'，所以，P點到'從圖上可以直 觀得出，P'A=PAB| ”+P'B|=|P'A點、'點至U A'B點的距離之和相等，即 |P'A+PPB A >A''B + P'B'A'>A'所以，PP'根據(jù)“定理 3,在APAB 中， 'B+P, B" A'A點，與'、B點構(gòu)成 P同樣道理，如果P'點移動到P' A ” '=PB,而 P" A'P" B+P' A&

9、gt;A'BA>A'”所以，P" B+P點即處于的交點處時，即 PB點連線與直線L'只 有當(dāng)P點移動到A、，所以，=PAPA''|PA+PB|=A'B而直線L上，又處 于線段AB上時，B|PA+PB|=A'點到兩定點的距離之和的絕對值才是其他所有點到兩定點距這時，P 離之和的絕對值中最小的。當(dāng)直線上一動點到直線同側(cè)兩固定點之距離之和的絕對值最小結(jié)論： 點位于固定點與另一固定點對于直線的對稱點的連線與直線的P 時， 交點處。P 點的位置（或坐標(biāo)） 以及最小值計算：'， 垂足為點做直線垂直于直線，過如圖3BLM4最新資

10、料推薦由于直角三角形MPA'與直角三角形BPM',三角相等，所以，這兩個三角形為相似三角形所以， MP/PM'=MA'/BM' ，且 PM'=MM'-MP所以，MP=MA' X MM' + （ MA+BM'）,以此確定P點位置（或坐標(biāo)）。 又因為，|PA+PB|=|PA'+PB|=A'B,且 MP, PM'=MM'-MP均已計算出， 運用勾股定理，分別計算出 PA'、PB長度，即可確定A'B的長度，即P 點到兩固定點距離之和絕對值的最小值。(2)當(dāng)兩固定點在直線L異側(cè)時，如圖4BP L'MM ' P " PA4圖根據(jù)上述同側(cè)問題，我們可以看出，直接連接 A、B兩點與直線L 的交點就是符合要求的P點，在此不再累述。【本節(jié)結(jié)論】直線上一動點到直線外兩固定點的距離之和的絕對值只 存在最小值，沒有最大值。當(dāng)兩固定點在直線同側(cè)時，動點位于固定 點與另一固定點對于直線的對稱點的連線與直