再探“一道折疊試題”

1、）再探“一道折疊試題”一道折疊試題的探究之旅引發(fā)的思考浙江省寧波市曙光中學(xué)章劍雄研讀中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 2012 年第 6 期刊登的余旭紅老師撰寫的一道折疊試題的探究之旅一文后，筆者對作者循循善誘、層層引導(dǎo)的教學(xué)態(tài)度深表敬意，也對這道“折疊試題” 進行了細細咀嚼， 聯(lián)想日常教學(xué)， 激起筆者再探這道折疊試題的強烈欲望， 現(xiàn)把自己的一些思考和想法呈現(xiàn)如下，以求教于大方1 關(guān)于折疊問題原題呈現(xiàn)如圖 1，將邊長為 4cm 的正方形紙片 ABCD 沿 EF 折疊（點 E、 F 分別在邊 AB、CD 上），使點 B 落在 AD 邊上的點 M 處，點 C 落在點 N 處，MN 與 CD 交于點 P隨著落點 M

2、 在 AD 邊上取遍所有的位置（點M 不與 A、 D 重合），試求 PDM 的周長AMDAMDHPPENENFFBCBC圖 1圖 2原文中，作者示例了兩類解法，解法一：利用相似直接用計算方法求PDM 的周長；解法二：猜想周長為 AD +DC =8，從而學(xué)生把問題轉(zhuǎn)變成用 “截長補短” 法證明 MP=MA +PC而第二類解法正是作者文章重點之所在，面對學(xué)生苦苦探索，窮盡多種方法， 從課內(nèi)到課外依然無法找到解決問題的有效突破口，甚至師生人為地增加條件MBP=45 0也無濟于事，無法越過“障礙” ，完成證明筆者以為在這道折疊問題中，作者忽略了“折疊即軸對稱”這一折疊類問題的基本思想，即對稱軸（折痕）

3、兩側(cè)對應(yīng)圖形全等，其中對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等也正因為如此，面對題目，學(xué)生有猜想、有直覺，甚至都準備好了“截長補短”法這一證明線段和、差的最直接的方法躍躍欲試時卡在那兒了，只好繞道行之， 并且直至文章結(jié)尾都沒有解決好，學(xué)生“悱”而老師未“發(fā)” 事實上，此題在其折疊背景下（圖2），直擊“折疊即軸對稱”，得EB=EM 、 EBC = EMN =900 這兩個基本備用結(jié)論學(xué)生想用截長補短的方法，在線段MP上已截取 MH =MA 的情形下還需證明剩余的PH=PC，故想及證明 PHB PCB，而它們?nèi)人枰囊恍l件還需先證明MA MHB ，在已有兩對等邊 MH =MA 、MB=MB 的B情形下最快的路

4、就是證它們的夾角AMB 和 HMB 相等，此時只需設(shè)動角AME=，由EB=EM 得 EMB=900，可得 AMB=90 0900；再由 EBC= EMN=90 0222得 HMB = 90090 0900，則得 AMB= HMB ，接下來拉上已知的公共邊22MB=MB，所作的 MH =MA，立馬可得 MAB MHB ，則得 HB=AB 且 A= MHB =90 0，又因為正方形ABCD ，所以 C= PHB= MHB =90 0 且 HB=AB=CB ，輕松證得 PHBPCB，所以 PH =PC 至此，學(xué)生的“悱”暢快而“發(fā)” ！并且我們看到證明過程中根本無需額外再加條件，諸如MBP=45 0

5、 等，相反，“ MBP=45 0”顯而易見可在這兩對三角形全）等后 MBP= 1 ABC= 450 暢快得之！22 關(guān)于“ K ”形相似基本圖形2 1 “ K ”形相似基本圖形在這道折疊圖形問題中，隱含著一個巧妙而又實用的相似基本圖形（圖3）：BPCDA圖 3其有性質(zhì)：若B= C= APD =900，則 ABBPAP PCCDPD結(jié)論的推導(dǎo)較簡單：由 B = APD=90 0 得： A+ APB= APB+ DPC =90 0，即 A= DPC ，又 B= C=90 0，則 ABP PCD ，即 AB BP AP 成立這個圖形極像英文PCCDPD字母“ K”，我們不妨稱之為“ K ”形相似基本

6、圖形 “ K”形圖小塊頭有大用處：相似就能得到對應(yīng)角、 尤其是對應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系， 這往往讓我們在一些涉及邊的數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜圖形題目中有著“柳暗花明又一村”的功效題 1（某區(qū) 2012 年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)測試）如圖（圖4），已知點A、B 分別在反比例函數(shù) yn ( x0) 、 ym ( x0)的圖像上，且OA OB，則 tanB=()xx(A)m(B)m(C)n(D)nnnmmyyAGAnnyyxxOxmOxmyxHyxBB圖 4圖 5乍一眼看去，這題目整一個云霧繚繞：不確定的函數(shù)圖像，不確定的點A、點 B，不確定的 AOB，似乎也不確定的B，怎么會有確定的tanB 值呢？一時無從下手，再細細觀察

7、所給圖形，這些不確定因素中，有一個確定的AOB=90 0，和 y 軸一整合，不就是一張親切的“ K”形圖么！那就分別過A、B 兩點作 y 軸的垂線段 AG、BH （圖 5），易得 AGOBHO ，可得 AGOGOA ，設(shè) A( a , n )， B( b , m )可得ana ，即 ab 2mn ，OHBHOBabmbb）故 Rt AOB 中 tanB= OA =AG =a=ab =n ，所以選 DOBOHmmmb2 2“ K ”形圖的巧妙運用巧用、活用“ K ”形圖，關(guān)鍵在于圖形中找到或構(gòu)造以同一條直線上的三個點為頂點的三個直角題 2如圖（圖6）， ABC 中， B=90 0， C=30 0

8、，點 A 的坐標為（ 1， 23 ），點 C在 x 軸上，若雙曲線ykx過點 A、 B，求點 B 的坐標yyAABGBOCxOCH圖6圖7xyAMGBOCH圖 8x本題很容易過度關(guān)注條件B=90 0， C=300，它迅即讓人想到 AB： BC： AC=1： 3 ：2，然后按常規(guī)思路，要求點B 坐標，則過點B 分別作 x 軸、 y 軸的垂線段 BH 和 BG，但再往下點B 的縱、橫坐標找不到數(shù)量關(guān)系了，不少學(xué)生覺得茫然無路但也會有冷靜的學(xué)生看出癥結(jié)所在，作這兩條垂線段有不當(dāng)之處：既把線段AC 無謂地攔腰截斷，又把特殊的直角 B“破”了，導(dǎo)致原條件反而用不上，這種添線無異于添亂再轉(zhuǎn)頭來看，圖7 中

9、B=90 0，過點 B 橫、縱兩條垂線段中，搞破壞的是橫的那條垂線段BG，但它的長度又是我們所要求的點 B 的橫坐標，不能變，而要達到既保持長度不變又不破壞線段AC 和直角 B的目的，那只能平移 BG，在把 BG 上下平移的嘗試中， (圖 8)看到當(dāng) BG 過點 A 時，又現(xiàn)“K ”形圖！我們在已有一個直角B 的基礎(chǔ)上通過作合適的垂線，構(gòu)造了一張完整的“K ”形圖這一解決線段數(shù)量關(guān)系的好工具！具體解析過程如下：分別過點A、 B 作 y 軸、 x 軸的垂線 AG、 BH，交于點 M，由ABC=90 0，易得 AMB BHC ，可得 AM = AB =1 ，又由A（1， 2 3）得雙曲線解BHBC

10、3析式為 y2 3 (x 0) ，則設(shè)點 B( t , 2 3) ，綜合得t11 ，可得 t1= 1( 舍 ) ，t2=2，xt233t所以點 B 的坐標為（ 2，3 ）2 3 “ K ”形圖的大膽拓展“ K ”形圖的適用條件需要頂點在同一直線上的三個直角。這三個角都必須、 只能是直角嗎？筆者聯(lián)想到這三個直角只是證明兩個三角形相似用，其中的直角“900 ”并無特殊作）用，那是否意味著“ K”形圖的適用條件可放寬為只需“頂點在同一直線上的三個角相等”即可？模型探究：如圖（圖9），在 ABP 和 PCD 中，點 P 在 BC 邊上，當(dāng) B= C= APD時，結(jié)論 BP = AB = AP CD P

11、C DPA仍成立嗎？DBCP圖 9我們思考：要證邊的比例關(guān)系，最直接、有效的方法首推相似而要證明ABP 和PCD 相似，在此模型背景下只能從“角”入手，B= C 這一對等角給了，只需再找一對等角即可類比當(dāng)APD =900 時，利用它兩側(cè)的一對互余角證得等角A= DPC ，現(xiàn)下APD 900，但它兩側(cè)的一對角仍然還在，互余角沒了，但互補角永遠都在，有DPC +APD+ APB=1800，同時在 ABP 中有 A+ B+ APB=1800，又已知 B =APD ，綜合可得 A = DPC ，且 B= C，則仍然可得 ABP PCD ，則 BP = AB = AP 仍成立！由CDPC DP此，我們驚

12、喜地發(fā)現(xiàn)， “ K”形圖還有它的“經(jīng)濟適用圖”呢，當(dāng)B=C=APD 900 時各邊的數(shù)量關(guān)系仍然成立！教師在日常教學(xué)中不斷地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)掘、提煉、總結(jié)基本圖形的能力，讓學(xué)生“思”，進而“悟”，就一定會切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力讓我們小試牛刀：題 3如圖（圖10）， M 為 AB 的中點， AE 與 BD 交于點 C， DME = A= B=450 且DM 交 AC 于 F， ME 交 BC 于 G，AB = 42 ， AF=3，連接 FG，求 FG 的長AMBFGCD圖 10E我們觀察圖 10，想求 FG 的長，下意識的反應(yīng)就去找是否有包含F(xiàn)G 的一對潛在相似三角形，搜索

13、后發(fā)現(xiàn)：相似的三角形跟FG 無關(guān)，帶 FG 的三角形卻不相似再審視題意觀察圖形，有“ A= B=450 ”，這兩個特殊角意味著FCG=90 0，那也可以在 Rt FCG 中利用勾股定理求斜邊FG ，如此需要先準備好兩直角邊FC 、GC。而線段 FC 、GC 分別在邊 AC、BC 上，且題中易知AC=BC=4，那現(xiàn)在要求的目標就轉(zhuǎn)變成邊AF 、BG 了。再看看圖中同一直線 AB 上的三個等角 DME = A= B，哈，我們的“ K”形“經(jīng)濟適用圖” ，正好用來求 AF 、 BG 等這些邊長?。┚唧w解析過程如下： 點 M 在邊 AB 上則有 AMF +DME+ GMB=180 0，同時在 MGB

14、中有 BGM+ B+ GMB=1800，又已知 B = APD ，綜合可得 AMF = BGM ，且 A=B，則可得 AFM BMG ，得 AM =AF ，而 M 為 AB 中點知 AM =BM= 22 ，即得：BGBM2 2=3，得 BG= 8 ；而 A=B=450 且 AB= 4 2 可得等腰直角 FCG ，且 FCG=90 0，BG2 23則 AC=BC=4 ，綜合可得： FC =1、GC= 4 ，所以 FG = 12425 =333在日常的幾何教學(xué)中，靈活地探究、運用一些基本圖形及其結(jié)論，往往可將復(fù)雜、繁難的問題簡單化、具體化，防止無關(guān)信息的負面干擾，在較短時間內(nèi)直擊問題的本質(zhì)，一方面

15、很好地挖掘習(xí)題深層次的知識點，螺旋上升， 讓學(xué)生會解一道題， 也會解一類題， 實現(xiàn)“以題梳理，以題論法” ；另一方面讓學(xué)生從單一的思維模式中解放出來，促進對數(shù)學(xué)知識的靈活運用，提高思維的敏捷性、發(fā)散性、廣闊性美題共享：1如圖（圖 11），點 P 在雙曲線 y6（ x >0）上，以點 P 為圓心的 P 與兩坐標軸都x相切， E 為 y 軸負半軸上的一點，PF PE 交 x 軸于點 F，則 OF OE 的值是yPOF xE圖 112已知：如圖（圖12）一次函數(shù) y1 x1的圖像與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B；1 x 221 x 1的圖像交于 B、 C 兩點，與 x 軸交二次函數(shù)

16、ybxc 的圖像與一次函數(shù) y22于 D 、E 兩點且 D 點坐標為（ 1，0），問在 x 軸上是否存在點P，使得 PBC 是以點 P 為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由yC2BAOD Ex圖 123如圖（圖 13），在平面直角坐標系中，在第一象限的矩形ABCO 的邊 OA 在 y 軸正半）軸上，OC 在 x 軸正半軸上 點 D 是線段 OC 上一點， 過點 D 作 DE AD 交直線 BC 于點 E，以 A、 D、 E 為頂點作矩形 ADEF （ 1）若點 A 的坐標為（ 0,4 ），點 C 的坐標為（ 7,0 ）當(dāng)點 D 的坐標為（ 5,0 ）時，拋物線過A、 F、 B 三點，求該拋物線的解析式；若點 D（ k,0 ）是線段 OC（不包括端點）上任意一點，則點F 仍在中所求的拋物線上嗎？請說明理由；若點 A 的坐標為（ 0, m），點 C 的坐標為（ n, 0）當(dāng)點 D 在線段 OC 上運動時，是否也存在一條