函數(shù)的基本性質——單調性與最大(小)值

1、函數(shù)的基本性質單調性與最大 ( 小) 值【教學目標】1知識與技能：了解單調函數(shù)、單調區(qū)間的概念：能說出單調函數(shù)、單調區(qū)間這兩個概 念的大致意思2過程與方法：理解函數(shù)單調性的概念：能用自已的語言表述概念；并能根據(jù)函數(shù)的圖 象指出單調性、寫出單調區(qū)間3情感、態(tài)度與價值觀：掌握運用函數(shù)的單調性定義解決一類具體問題：能運用函數(shù)的 單調性定義證明簡單函數(shù)的單調性【教學重難點】教學重點：函數(shù)的單調性的概念。教學難點：利用函數(shù)單調的定義證明具體函數(shù)的單調性【教學過程】一、復習引入。1復習：我們在初中已經(jīng)學習了函數(shù)圖象的畫法。為 了研究函數(shù)的性質，我們按照列表、描點、連線等步驟先 分別畫函數(shù) y x2 和 y

2、 x3的圖象。 y x2 的圖象如圖31， y x3 的圖象如圖 22引入：從函數(shù) y x2 的圖象(圖 1)看到：圖象在 y 軸的右側部分是上升的，也就是說，當 x在區(qū)間 0，+ )上取值時，隨著 x的增 大，相應的 y 值也隨著增大，即如果取 x1,x20，+ )，得到 y1=f (x1)，y2=f(x2)，那么當 x1 < x2 時，有 y1 < y2 。y這時我們就說函數(shù) y= f(x)=x2在0，+ )上是增函數(shù)。圖象在 y 軸的左 f(x) 側部分是下降的，也就是說，當 x在區(qū)間( ，0)上取值時，隨著 x的增 大，相應的 y 值反而隨著減小，即如果取 x1,x2( ，

3、0)，得到 y1= f(x1)， y2 = f (x2) ，那么當 x1<x2 時，有 y1> y2。f (x1)f(x2 )x1x2圖3這時我們就說函數(shù) y = f (x) =x2在( ，0)上是減函數(shù)。 函數(shù)的這兩個性質， 就是今天 我們要學習討論的。二、講解新課。1增函數(shù)與減函數(shù)。 定義：對于函數(shù) f (x) 的定義域 I 內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1 , x 2 ，(1)若當 x1< x2 時，都有 f (x1)< f(x2)，則說 f (x) 在這個區(qū)間上是增函數(shù)(如圖 3)；(2)若當 x1< x2 時，都有 f(x1)> f ( x2

4、 ) ，則說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù)如圖 4)說明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)， 是對定義域內某個區(qū)間而言的。 有的函數(shù)在一些區(qū)間上 是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù)。例如函數(shù) y x2(圖 1)，當 x0 ，+ )時是增 函數(shù)，當 x( ，0)時是減函數(shù)。2單調性與單調區(qū)間。若函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù) f ( x)在這一區(qū)間具有(嚴格 的)單調性，這一區(qū)間叫做函數(shù) f (x) 的單調區(qū)間。此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調函數(shù)。在單調區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的yf (x1)f (x2)xx1x2圖5說明：(1)函數(shù)的單調區(qū)間是其定義

5、域的子集；(2)應是該區(qū)間內任意的兩個實數(shù)，忽略需要任意取值這個條件，就 不能保證函數(shù)是增函數(shù) (或減函數(shù))，例如，圖 5中，在 x1 , x2那樣的特定位 置上，雖然使得 f(x1)> f ( x2 )，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個單調函數(shù)；3)除了嚴格單調函數(shù)外， 還有不嚴格單調函數(shù)， 它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“ f (x1) < f(x2)或 f (x1)> f (x2) ，”改為“ f(x1)f(x2) 或 f (x1) f (x2) ，”即可；4)定義的內涵與外延：內涵是用自變量的大小變化來刻劃函數(shù)值的變化情況；外延一般規(guī)律： 自變量的變化與函數(shù)

6、值的變化一致時是單調遞增， 自變量的變化與函數(shù) 值的變化相對時是單調遞減。幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為 減函數(shù)。三、講解例題-5 -2 O 1 3 5 x例 1：如圖 6 是定義在閉區(qū)間 5， 5上的函數(shù) y f (x)的圖象，根據(jù)圖象說出 y f (x) 的單調區(qū)間，以 及在每一單調區(qū)間上，函數(shù) y f (x) 是增函數(shù)還是減函 數(shù)。解：函數(shù) y f (x)的單調區(qū)間有 5，2)，2， 1)，1，3)，3，5，其中 y f (x)在區(qū)間5，2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間 2，1)，3 ，5上是增函數(shù)。 說明：函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，

7、對于單獨的一點， 由于它的函數(shù)值是唯一確定 的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題；另外，中學階段研究的主要是連續(xù)函數(shù) 或分段連續(xù)函數(shù)， 對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說， 只要在開區(qū)間上單調， 它在閉區(qū)間上也就單 調，因此，在考慮它的單調區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連 續(xù)的函數(shù)，單調區(qū)間不包括不連續(xù)點。例 2：證明函數(shù) f (x) 3x 2在 R上是增函數(shù)。證明：設 x1,x2是 R上的任意兩個實數(shù)，且 x1<x2，則f(x1) f (x2 ) =( 3 x 1 +2)( 3 x2 +2)=3( x 1 x2)， 由x1<x2x，得 x1x2<

8、0，于是 f(x1) f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)。 f(x) 3x 2在 R上是增函數(shù)。1例 3：證明函數(shù) f (x) 1 在( 0，+ )上是減函數(shù)。x證明：設 x1 ， x 2 是(0，+ )上的任意兩個實數(shù)，且 x 1 < x2 ，1則 f (x1) f (x2) = x11 x2 x1 x2 x1x2由 x1 ， x 2 (0，+ )，得 x 1 x2 >0，又由 x1<x2，得x2 x 1 >0，于是 f(x1) f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2)1 f (x) 1 在( 0， + )上是減函數(shù)。x例 4討論函

9、數(shù) f(x) x 2 2ax 3 在( 2， 2)內的單調性。解： f(x) x2 2ax 3 (x-a) 2 3 a 2，對稱軸 x a若 a 2，則 f(x) x2 2ax 3在( 2，2)內是增函數(shù)；若 2 a 2則 f(x) x2 2ax 3在( 2，a)內是減函數(shù)，在 a，2內是增函數(shù) 若a 2，則 f(x) x2 2ax 3在( 2，2)內是減函數(shù)。四、練習f (x) 的單調區(qū)間有 2，1，1，0，0，1，1，2； f(x) 在區(qū)間2，1，0， 1上是增函數(shù)，在區(qū)間 1，0，1， 2上是減函數(shù)。g(x) 的單調區(qū)間有 ， ， ， ， ， ；g(x) 在區(qū)間 ， ， 2 2 2 2

10、2 ， 上是減函數(shù)，在區(qū)間 ， 上是增函數(shù)。2 2 2 說明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調性， 從圖象上進行觀察是一種常用而又較為粗 略的方法，嚴格地說，它需要根據(jù)增(減)函數(shù)的定義進行證明，下面舉例說明。判斷函數(shù) f(x) 3x 2在 R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結論。解：設 x1， x2R，且 x1<x2， f(x1) f (x2) =(3 x 1 +2)( 3 x2 +2)=3( x2 x1)， 又x1<x2， f(x1)f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2)。 f (x) 3x 2 在 R 上是減函數(shù)。1判斷函數(shù) f (x) = 答：不能。因為

11、x=0不屬于 f (x)=1 的定義域。 在( ，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結論。x=x2 x1 x1x2解：設 x1，x2( ，0)，且 x1<x2 ，1 1 x2 x1f (x1) f (x2) = = x說明：通過觀察圖象，對函數(shù)是否具有某種性質，作出猜想，然后通過推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數(shù)學方法。(1)判斷函數(shù) f (x) kx b在 R 上的單調性，并說明理由。(2)4解：(1)設 x1，x2R，且 x1<x2，則 f(x1) f(x2)=(kx1+b)(kx2 +b)=k(x1x2)。若 k>0，又 x1<x2，

12、f(x1) f(x2)<0，即 f(x1)< f(x2)。 f (x) kx b 在 R 上是增函數(shù)。 1x1x2 x1x2由 x1 ， x 2 ( ，0)，得 x1 x2 >0，又由 x1<x2，得x2 x 1 >0，于是 f(x1) f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2)。 1 f (x) = 1 在( 0， + )上是減函數(shù)。x1 能否說函數(shù) f (x) = 1 在( ，+ )上是減函數(shù)？x若 k<0，又 x1< x2 ， f (x1) f(x2) >0，即 f (x1) > f(x2) 。 f (x) kx b在

13、R 上是減函數(shù)。(2)設 x1， x2 (0，+ f (x1) f (x2) =( x1 f （x） = x2 +9 的圖象是以（ 0，9）為頂點、 （如圖）；它的單調區(qū)間是（ ，0 與0，+ ），它在（ ，0上是增函數(shù)，在 0，+ ） 上是減函數(shù)。 +1)，且 x1 < x2 ，2 2 2( x2 +1)=x1 x2 =( x1+ x2 )( x1 x2 )0< x1 < x2 ， x1 + x2 >0， x 1 x2 <0， f (x1) f (x2) <0，即 f (x1) < f (x2) ， f （x） = x2+1 在（0，+ ）上是增函數(shù)

14、五、小結。1討論函數(shù)的單調性必須在定義域內進行，即函數(shù)的單調區(qū)間是其定義域的子集，因此 討論函數(shù)的單調性，必須先確定函數(shù)的定義域；2根據(jù)定義證明函數(shù)單調性的一般步驟是： （1）設 x1 ， x2 是給定區(qū)間內的任意兩個值， 且 x1< x2 ；（2）作差 f （x1） f （x2） ，并將此差式變形（要注意變形的程度） ；（3）判斷 f （x1） f（x2） 的正負（要注意說理的充分性） ；（4）根據(jù) f （x1） f （ x2 ）的符號確定其增減性。六、作業(yè)布置。補充：(1) f (x) = x 521是以451拋物線（如圖）；它的單調區(qū)間是， 25 與 52 ，225）；它在（ ， 25 上是減函數(shù)，2 ， 4 ）為頂點、對稱軸平行于 y 軸、開口向上的在 25 ，+ ）上是增函數(shù)。55 ，則2f (x1) f (x2) =x12 x2 5證明：設 x1< x2=( x 1 + x2 x1 < x 25)( x 1 x 2 )5 x1+ x2 <5， x1 x2 <0，x1 x2 f (x1 ) f （x2） >0，即 f （x1） > f （x2） 。2 5 x +6在（ ， 5 上是減函數(shù)。25