3差分方程Z變換解讀

1、第 3 章 線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的描述及分析3.1 差分方程及其時(shí)域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A 遞推解B 古典解C Z 變換求解3.2 Z 變換3.2.1 Z 變換的定義3.2.2 Z 變換的性質(zhì)3.2.3 Z 反變換A 長(zhǎng)除法B 留數(shù)法C 部分分式法3.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的 Z 域分析3.3.1 零輸入響應(yīng)3.3.2 零狀態(tài)響應(yīng)3.3.3 完全響應(yīng)3.4 Z 傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z 傳遞函數(shù)的定義3.4.2 離散系統(tǒng)的運(yùn)算343由G(s)求G(z)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散化A對(duì)G(s)的討論B 對(duì)離散化方法的評(píng)價(jià)C 留數(shù)法D 直接代換法E系統(tǒng)等效法I 沖擊響應(yīng)不變法；F系

2、統(tǒng)等效法II階躍響應(yīng)不變法G 部分分式法3.4.4 離散化方法小結(jié)3.5 線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 閉環(huán)極點(diǎn)與輸出特性之間的關(guān)系3.5.2 穩(wěn)定判據(jù)3.6 線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析法3.6.1 線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率特性分析法第3章 線(xiàn)性離散系統(tǒng)的描述及分析3.1差分方程及其時(shí)域分析3.1.1差分方程在線(xiàn)性離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，輸入激勵(lì)序列u(k)與輸出響應(yīng)序列y(k)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系在時(shí)域中用差分方程來(lái)描述，差分方程一般寫(xiě)成升序方式y(tǒng)(k+ n) +a(k + n-1)+| + a_iy(k+ 1)+ any(k(2 1)二 b°u(k m

3、) Qu(k m-1) | bm_iu(k 1) bmu(k)有始性：k - 0初始條件：y(0) = y。, y(1) = %，y(n-1) = y“-i 時(shí)間因果律：m豈n或?qū)懗蒻ny(k n)二為 biu(k m - i) -' ajy(k n - j)i =0j =1上式表明某一離散時(shí)間點(diǎn)上輸出值可能與當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)上的輸入值(當(dāng)以及此前若干個(gè)輸入和輸出值有關(guān)推論開(kāi)來(lái)，當(dāng)前的輸出值是 此前”全部激勵(lì)和內(nèi)部狀態(tài)共同作用的積累 效應(yīng)?？紤]實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的時(shí)間因果律，必須有 m命。當(dāng)m=n時(shí)，表明當(dāng)前時(shí)刻的輸入會(huì)直接影響當(dāng)前時(shí)刻的輸出，可稱(chēng)為 直 傳”當(dāng)m<n時(shí)，表明當(dāng)前時(shí)刻的輸入不

4、會(huì)直接影響當(dāng)前時(shí)刻的輸出；當(dāng)前時(shí)刻的輸入對(duì)輸出的影響會(huì)延時(shí) n- m”拍。差分方程也可以寫(xiě)成降序方式式(2.1)中各項(xiàng)序號(hào)均減ny(k) a(k -1) a?y(k - 2)|- n 1) a(k - n)二(22)二 b°u(k) be(k -1) III bm_e(k - m 1) bmU(k - m)在降序方式中的n和m與升序方式中的n和m的含義不完全相同，因而對(duì) n和m并無(wú)限制。在降序方式中，當(dāng)bo工0時(shí)，相當(dāng)于升序方式中 m=n的情況。此時(shí) 當(dāng)前時(shí) 刻的響應(yīng)與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)”。升序意味著超前，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的微分相對(duì)應(yīng)；當(dāng)用 Z變換法求解差 分方程時(shí)，升序方式便于考慮

5、初始條件。降序意味著滯后，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的積分相對(duì)應(yīng)；當(dāng)用 Z變換法求解差 分方程時(shí)，降序方式無(wú)法考慮初始條件。3.1.2差分方程的解5 1例：已知差分方程 x(k 2) x(k 1) x(k)二 r(k+1)+0.5r(k),其 中6 6r(k)=1, k>0 x(0)=1, x(1)=2試由迭代法求其全解的前5項(xiàng)；分別由古典法求其零輸入解yzi(k)、零狀態(tài)解yzs(k)，以及全解y(k)。給定一個(gè)差分方程，根據(jù)特定的輸入時(shí)間序列u(k)和初始條件，來(lái)求得其輸出序列y(k), 一般有三種方法。A. 遞推解(迭代解)對(duì)式(2.1)差分方程可以寫(xiě)成mny(k n)八 bjU(k m-i

6、)-' ajy(k n-j)i =0j =1顯然給定初始條件后，就可依次求出各點(diǎn)值。但是，式(2.1)差分方程中的n個(gè)初始條件x(0),x(10),x(n-1)僅僅是指“零 輸入初始條件”，進(jìn)行遞推求解時(shí)的初始條件應(yīng)該是“全解初始條件”；因而應(yīng) 該先求出其“零狀態(tài)初始條件”，“全解初始條件”是“零輸入初始條件”與“零 狀態(tài)初始條件”之和。上例已知零狀態(tài)初始條件，由此可遞推求得零輸入解yzi(k)；可求零輸入初始條件，由此可遞推求得零狀態(tài)解yzs(k)；以上初始條件之和為全解初始條件，由此遞推即可直接求得全解 y(k)=yzi(k)+yzs(k)oB. 古典解法1) 零輸入解在式(2.1

7、)中令輸入為零，即u(k)=0, k為，則得齊次方程y(k n) a1 y(k n -1)any(k 1) any(k) = 0(2.3)類(lèi)似于在解線(xiàn)性常微分方程時(shí)定義的微分算子P,對(duì)差分方程定義一個(gè)移序(增序)算子d,即dny(k)二 y(k n)n(2.4)dj(k)二 y(k-n)于是式(2.3)可以表示成(dn+ adnT 寺an)y(k)二 A(d)y(k)二 0以多項(xiàng)式A(d)存在n個(gè)單根為例，即nA d m (d - di) , di = 0, i = 1,2,., ni=1則有零輸入解yzi(k)的“通解”式為n(2.5)y/k)二 CQk C2d2kCndnk 八 Gd, ,

8、 k0i丄其中Ci, C2,Cn是由n個(gè)(另輸入)初始條件決定的n個(gè)待定常數(shù)。設(shè)給定初始條件為y(i)=yi, i=0, 1，n-1,分別代人上式可得yo1%d1d12.一ynd_d1n_1d2d22n -1d21C1dnC2dn2 C3n I I 3 I " I dnn_1Cn(2.6)可簡(jiǎn)記為矩陣方式Y(jié))二 D*C以n個(gè)單根為例，矩陣D一定可逆。于是可得待定常數(shù)為C 二 D丫。當(dāng)A(d)存在重根時(shí)，亦可得相應(yīng)結(jié)果，不再贅述上例求得零輸入解yzi (k)。2) 零狀態(tài)解當(dāng)“零輸入初始狀態(tài)”為零時(shí)，為求得式(2.1)在任意輸入u(k)激勵(lì)下的“零狀態(tài)響應(yīng)” yzs(k)，首先考慮單位

9、脈沖激勵(lì)u(k)= (k)的特殊情況，此時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)，記為h(k),式(2.1)成為h(k n) a1h(k n T)an_(k 1) anh(k)二 b0 (k m) ty (k m T)b< (k 1) bm (k)可寫(xiě)成如下形式mnh(k + n) =bi§(k + m_i)_E aj h(k + n _ j), men(2.7)i=0j =0上式中依次令k=-n，-n +1,，-2, -1, 0,可求得前面n+1個(gè)點(diǎn)的結(jié)果,h(0) = ho人(1)=幾，當(dāng) m<n 時(shí)，h(0)=h°=0h(n -1)= hn_!h(n)二 hn當(dāng)k>

10、;0時(shí)，在式(2.7)中恒有k+m-i>0,即恒有、(k+m-i)=0,此時(shí)式(2.7)又成為一個(gè)齊次方程，等價(jià)為(2.8)h(k n) a1h(k n -1) an_(k 1) anh(k) = 0 人北何2)十2，h(n) = h n上式按差分方程的零輸入解法求解，并考慮h(0)=0,即可得到式(2.1)的單位 脈沖響應(yīng)序列h(k), k初。對(duì)于一個(gè)一般的輸入序列u(k)= u(0), u(1), u(2),，可以寫(xiě)成cOu(k)二' u(i) (k - i)二 u(0) (k)u(1) (k -1)i=0按照線(xiàn)性系統(tǒng)的迭加原理，(k-1)所激勵(lì)的響應(yīng)為h(k-i)1(k-i

11、), i=0, 1,于是可得u(k)激勵(lì)下的響應(yīng)為y(k)二 u(0)h(k)1(k)u(1)h(k - 1)1(k T)u(k)h(0)kk(2.9)二 6 u(i)h(k _ i)二嘉 u(k - i)h(i)i =0i =0= u(k) h(k) , k- 0 稱(chēng)為u(k)和h(k)的卷和顯然，卷和的定義與連續(xù)時(shí)間函數(shù)的卷積具有類(lèi)似的形式。卷和計(jì)算例上例求得零狀態(tài)解yzsi(k)。3) 全解1)和2)二者之和。上例y(k)=yzi(k)+ yzs(k)。C. Z變換解法一一后面再講3.2 Z變換3.2.1 Z變換的定義Z變換是對(duì)離散序列定義的，設(shè)有y(k)八 y(0),y(1),，二 y

12、(o)(k)y(1) (k-1)y(2) (k - 2), k-O則y(k)的z變換定義為(單邊)羅朗級(jí)數(shù)i (2.10) 丫(z)二 y(0)y(1)z 八 y(i)zi=0zZ變換域變量d增序算子兩者在數(shù)字上具有完全相同的表現(xiàn)形式，但意義卻不同，不能混淆。就像s S變換域(拉氏變換)變量p微分算子二者表現(xiàn)形式相同，但意義截然不同為什么要定義Z變換？Z變換把離散(等距時(shí)間點(diǎn)上)數(shù)值序列變換成有理分式；L變換把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換成有理分式；便于利用代數(shù)學(xué)的某些結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單處理。Z變換的另一種“定義”對(duì)于時(shí)域信號(hào)y(t)=f(t),采樣得離散信號(hào)y*(t)記得第1章中討論過(guò)y*(t) 和y*(k)

13、的(沖量的)等價(jià)性，f*(t)二 f(0) (t) f(T) (t-T) f(2T) (T-2T)二' f(kT) (t-kT)kdD取其拉氏變換，得0 _kTs(2.11)(2.12)F*(s)二 Lf *(t)八 f (kT)ek =0再令Tsz 二 e即得,QOF(z)二Zf*(t)八 f(kT)z*k=Q二者的結(jié)果是一致的。但是，二者有兩點(diǎn)區(qū)別, 前者是對(duì)y(k)定義的，后者是對(duì)y*(t)定義的。在離散時(shí)間系統(tǒng)中使用前者更符合工程實(shí)際。但是，對(duì)于首先熟悉了Laplace變換的工程技術(shù)人員而言,后者更容易理解 前者在數(shù)學(xué)上是嚴(yán)格的；而后者中的式(2.11)容易使得誤解z和s之間的

14、關(guān)系。實(shí)時(shí)上z和s之間并沒(méi)有式(2.11)所示的關(guān)系，僅僅是有時(shí)同一個(gè)被控對(duì)象的Z變換傳遞函數(shù)和L變換傳遞函數(shù)的特征根具有那個(gè)關(guān)系3.2.2 Z變換的性質(zhì)A. 在簡(jiǎn)單的情況下，可直接按定義求得y(k)的Z變換Y(z)。CO(k)丨八、(i)z=1i =0oOoOZ1(k) 1 八1(i)z-i 八 zi =0i =01-z1Z e"八 e'iTz_ii =0八 eTz)i =0zeT11-eTz(2.13)(2.14)(2.15)做為線(xiàn)性離散系統(tǒng)的Z變換，它有許多與L變換類(lèi)似的性質(zhì)，不同的是按 照Z(yǔ)變換的定義，這些性質(zhì)更容易被證明一些。B. 線(xiàn)性迭加性質(zhì):已知 Z f'

15、;k) = F1(z),Z f2(k) = F?(z),a,b R，下同。按定義可得,Zafdk) bf2(k)二 Zat(k) Zbf2(k)二 aZf1(k) bZf2(k) = aF1(z) bF2(z)C. 增序性質(zhì)：(對(duì)應(yīng)于L變換的微分性質(zhì))設(shè) g(k)=f(k+n), k>0為什么？0Zf(k n)=Zg(k)八 g(k)zk =0二' f(jn)zjf(j n)z£ n)znj £j=0(2.17)7n -An -A八 f (i)z'zn C f (i)znf (i)izn)i hii =0i =0con 二 zn、f(i)zT-、f(i

16、)zi -0i -0=znF(z) - zn f (0) - zn f (1)- z2 f (n - 2) - zf (n - 1)(令 i=j+n )注意兩點(diǎn):是為什么要減去前面幾項(xiàng)？因?yàn)榘凑斩xg(k)中沒(méi)有這幾項(xiàng)!二是與L變換的微分性質(zhì)相比，形式上多了一個(gè)“ z”D. 減序性質(zhì)：(對(duì)應(yīng)于L變換的積分性質(zhì))設(shè) g(k)=f(k-n), k>0為什么?QOQOZf (k -n)八 f(i- n)z八 zf(i-n)z2i=0i 曲(2.18)=f(j)zf(j)zj(令 i -n =j)jj =0二 zF(z)為什么第一項(xiàng)沒(méi)啦？因?yàn)榘凑斩xf(k)中的這幾項(xiàng)為零!E.卷和性質(zhì)：(對(duì)應(yīng)于

17、L變換的卷積性質(zhì))(2.19)F.初值性質(zhì):f(0) =1忸 f(k) pm：F (z)(2.20)Zfi(h)* f2(h)二 Fi(z)F2(z)證明：一一按照Z(yǔ)變換的定義。G.終值性質(zhì):(2.21)f L) Jim. f (k)=典(1 - zF(z) =1阿(z-1)F(z)當(dāng)f(k)不收斂(F(z)中有單位圓外極點(diǎn))時(shí)，終值性質(zhì)不能使用!證明:'Z【f(k+1)-f (k)】 = zF(z) f (0) - F(z)= (z-1)F(z) zf(0)aZf(k+1)-f (k) I 八f (i+1)-f (i)zi =0同令ZT1得，I叫 z-1)F (Z)z j=f (0)

18、+ f (1H (0) f (2)-f .f (k)-f (k 一 1)二 f(：)其它略3.2.3 Z反變換(2.22)已知F(z)有理分式，求f(k)使得Z f(k)H F(z),記為 f(k)二 ZpF(z)A. 長(zhǎng)除法一一羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)如果F(z)是有理分式，必可展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)，,即有如果F(z)是真有理分式，必可展開(kāi)為(單邊)羅朗級(jí)數(shù)(有始函數(shù))f(k), k>0如果F(z)是嚴(yán)格真有理分式，則一定有f(0)=0。例，B. 留數(shù)法在實(shí)時(shí)離散控制系統(tǒng)中有f(k), kQ則一定有Q0F二 f (0)zf z"+八 f(k)z*k=0按照復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論，考慮如下圍線(xiàn)(逆時(shí)

19、針包圍含全部極點(diǎn))積分,CF(z)zkdz 二 -f(i)zzkdzCC y=f(0) f (1)zJ fCk-Jz"f(k)zf(k1)1+.z1dzC二cf(0)zkJ f(1)zkf (k -1)f (k)z-1f (k1)z'+.dz二 cf (k)zdz = 2二 jf (k)留數(shù)是如何定義的?f(k)、j1k 1cF(z)zdz稱(chēng)為F(z)zk的留數(shù)于是有n(2.23)f (k)二 Z-1F(z)二 ResF(z)zk八 ResF(z)zk即f(k)為T(mén)(z)zk在其所有極點(diǎn)Zi, i = 1, 2,，n,處的留數(shù)之和。按照留數(shù)計(jì)算規(guī)則，若zc是F(z)的單重極點(diǎn)

20、則有Res F(z)zk二二 lim( z _ zo)F(z)zkJzo 一zr.zo若zo是F(z)的m重極點(diǎn),則有m X輕F(z)zk耐処薩(燈廠(chǎng)k -1C. 部分分式法一一留數(shù)法的特例一一一般都是直接查表設(shè)F(z)有n部分分式法是應(yīng)用留數(shù)法得到的一些易于實(shí)際應(yīng)用的特例情況,個(gè)單重根乙，zn，則可以寫(xiě)成部分分式形式n(2.24)F(z)=5： Ai # Z 一 Zi按照迭加原理，我們可以求得其中每一項(xiàng)的Z反變換，即f(k)= ZF(z)八 ZAi JzZ-ZiAz/按式(2.23)有,nnk 1Z k 1f(k)=E ResF(z)z = E A Res(z )i Aid z Z 乙(2.

21、25)z(z- Zi) z)z Zi正是所希望的結(jié)果3.3離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析利用Z變換求解差分方程。3.3.1零輸入響應(yīng)對(duì)式(2.1)所示差分方程，當(dāng)輸入u(k)=O, k0時(shí)，成為齊次方程yzi(k n) yyzi(k n -1)anyzi(k 1) anyzi(k) = 0y(o)=y。, y(1)=y1,，y(n-1)=yn-1應(yīng)用Z變換的增序性質(zhì)，并注意給定的零輸入初始條件，得整理可得znYzi(z)-zny° - zny1 -z%-+ a1znYzi (z) - zy。Dzyz+ anzY；i (z) - zy° + anYzi (z) = 0Y (z)B(y

22、o,y1,., y2,y1)z + a1z+ . + an /+ an于是可得式(2.1)的零輸入響應(yīng)為yzi(k)=Z1YZi(z)3.3.2零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)式(2.1)所示系統(tǒng)在沒(méi)有輸入激勵(lì)時(shí)，其內(nèi)部初始能量積累為零，即所謂零狀態(tài)，此時(shí)不考慮初始條件對(duì)式2.1的兩邊同時(shí)進(jìn)行Z變換，可得Yzs(z)二b°zmb1Zmbm_1Z bmnn-1za1z . an/Z anU(z)定義G(z哼吩" bm z + a1z + + an十 an(2.26)稱(chēng)為離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式(2.1)的Z傳遞函數(shù)，則上式可寫(xiě)成Yzs(z)弋(z)U(z)則有yzs(k Z-1Yzs(z) = Z-1G(

23、z)U(z)按照卷和定理kyzs(k) = g(k)* u(k)八 g(k-i)u(i), k-O其中g(shù)(k)=zTG(z)g(k)是什么，以及如何求得g(k)?設(shè)u(k)=迭)是一個(gè)單位脈沖函數(shù)，已知，U(z)=Z迭)=1，即可得系統(tǒng)對(duì)u(k)= <k)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱(chēng)為單位脈 沖響應(yīng)，并記為h(k), k>0并有h(kz，G(z)g(k)現(xiàn)在，如欲解析求解式(2.1)所示的差分方程的零狀態(tài)響應(yīng)，主要有兩種 方法。Z 域法：yzs(k) = ZG(z)U(z)時(shí)域法：yzs(k)二 h(k)* u(k)333完全響應(yīng)對(duì)式(2.1)求Z變換時(shí)，同時(shí)考慮初始條件，即可得系統(tǒng)的完全響應(yīng)

24、，與 分別求出yzi(k)和yzs(k)再相加是一致的。即:Y(z) =B(yo,y,yVni)zn af an_Z anG(z)U (z)=Yzi(z) Yzs(z) y(k) =yzi(k)yzs(k)(2.27)幾點(diǎn)說(shuō)明:在求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，顯然零狀態(tài)解 yzs(k)的初始n個(gè)值并不一定為零，零狀 態(tài)僅僅是說(shuō)當(dāng)輸入為零時(shí)，系統(tǒng)初值為零。求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，對(duì)式(2.1)兩邊求Z變換時(shí)，此時(shí)的yzs(k)與u(k)都是有初 值的，因此亦應(yīng)考慮增序性質(zhì)時(shí)的初值，但是在整理時(shí)兩邊的初值正好相互抵 消，因此在求零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的 Z變換時(shí)，可以不考慮初值。在求完全響應(yīng)時(shí)，由u(k)引起的yzs(k)中的那

25、一部分初值效應(yīng)必然由u(k)的初值效應(yīng)所抵消，因此只考慮系統(tǒng)的零輸入初值。5 1例：已知差分方程 x(k 2) x(k 1) x(k) = r(k+1)+0.5r(k)，其 中6 6r(k)=1, k>0 x(0)=1, x(1)=2。試由Z變換法求其全解。3.4 Z傳遞函數(shù)及其求法3.4.1 Z傳遞函數(shù)的定義定義一個(gè)離散時(shí)間被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性，或連續(xù)時(shí)間對(duì)象的離散控制動(dòng)態(tài)特性。由輸入-輸出序列Z變換之比來(lái)定義。 傳遞函數(shù)描述一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)態(tài)傳遞特性(穩(wěn)態(tài)的含義是 不包含初始條件的影響)。A對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)u(k)y(k)離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)U(z)G(z) =Y(z)U(z)

26、Y(z)圖2.1離散時(shí)間被控對(duì)象傳遞函數(shù)比如這個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)原來(lái)是由差分方程描述的。對(duì)于式(2.1)描述的差分方程,(2.1)y(k n) a$(k n -1)any(k 1) 3ny(k)二，y(1)=,y(n-1)= %根據(jù)Z變換的性質(zhì)，兩邊求Z變換(不考慮初始條件)，并化簡(jiǎn)可得m _1bz babmnn -1za1z a* an(2.28)如果差分方程是由式2.2描述的,y(k) a(k -1) a2y(k - 2)azy(k - n 1) any(k-二 b0u(k) b1u(k -1)bm1u(k - m 1) bmu(k - m)則同理可得G二n -1n-m<)n-mz bm

27、_1ZbmZzn 事' . an? an(0Zmbm 1Zbm)an-1zanY(z)bozn bU(z)n -mznn =za1z(2.2)(2.29)當(dāng)n= m時(shí),與式(2.28)相同=b0u(k m) b1u(k m -1)bm-1u(k 1) bmu(k) k = 0,1,2,，m 乞 n y(0) = y°,注意:2) 為什么上二式求Z變換時(shí)不考慮初始條件？傳遞函數(shù)只描述穩(wěn)態(tài)特性，與初始條件無(wú)關(guān)！3) 式(2.28)和 (2.29)稱(chēng)為有理分式；n<m時(shí)稱(chēng)為(假)有理分式，反時(shí)間因果律，離散時(shí)間系統(tǒng)中不存在;n= m時(shí)稱(chēng)為真有理分式，輸入-輸出有直通分量；n&

28、gt;m時(shí)稱(chēng)為嚴(yán)格真有理分式，輸入-輸出至少延時(shí)一拍B對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的采樣控制系統(tǒng)對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行離散時(shí)間控制時(shí)前面必須加一個(gè)零階保 持器(ZOH)。只有對(duì)其輸入和輸出采樣得到響應(yīng)的輸入-輸出離散時(shí)間序列時(shí), 才能對(duì)其定義Z傳遞函數(shù)。G(s)二 丫(s)/ U Uu(k)丫離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)y(k)G(z)二丫U(z)圖2采樣控制的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的離散時(shí)間傳遞函數(shù)3.4.2離散系統(tǒng)的運(yùn)算流圖化簡(jiǎn)，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)完全相同。A串聯(lián)U(z)* Gi(z) G2f Gn(Z)Y(z)B并聯(lián)4 G(z)> Y(z)nG (z)二 ii Gi (z)i =1圖3 離散時(shí)間系統(tǒng)的串聯(lián)C

29、反饋系統(tǒng)鳴G(z)七nG(z)八 Gi(z)i =1圖4 離散時(shí)間系統(tǒng)的并聯(lián)U(z)G(z)丫(z)G(z)1 Gdz)G2(z)G,z)圖5 離散時(shí)間反饋系統(tǒng)對(duì)于任意的復(fù)雜系統(tǒng)，可由梅森公式求得343 由G(s)求G(z)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(或信號(hào))的離散化A 對(duì) G(s) 的討論一般來(lái)說(shuō)，G(s)的含義可能有以下三種情況：1) G(s)為時(shí)域信號(hào)g(t)的Laplace變換此時(shí)，應(yīng)該由G(s)求的g(t)，對(duì)g(t)離散化得g(k)，最后再求G(z)。2) G(s)為控制器的傳遞函數(shù)一一它只是一個(gè)數(shù)字模型G(s)既可以由連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(模擬)實(shí)現(xiàn)，輸入輸出為連續(xù)時(shí)間變量；G(s)也可以由離散時(shí)間系

30、統(tǒng)(數(shù)字)實(shí)現(xiàn)、輸入輸出為離散時(shí)間變量； 此時(shí)，對(duì)G(s)直接離散化即可，不需要 ZOH。3) G(s)是一個(gè)(連續(xù)時(shí)間)被控對(duì)象離散化后的輸入時(shí)離散時(shí)間的，但是 G(s)只能接受連續(xù)時(shí)間激勵(lì)信號(hào)， 因此必須在輸入端需增設(shè)一個(gè)保持器(例如零階保持器ZOH)，將離散序列轉(zhuǎn)化為連續(xù)時(shí)間函數(shù)。G(s)的輸出一定是連續(xù)時(shí)間函數(shù)，需對(duì)其進(jìn)行采樣y(k)> Gi 匚)G(»zG()J對(duì)連續(xù)時(shí)間被控對(duì)象的離散化B 對(duì)離散化方法的評(píng)價(jià)離散化方法不是唯一的，它們各有其特點(diǎn)和適用范圍。因而需要對(duì)離散化 方法建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。對(duì)信號(hào)的離散化結(jié)果應(yīng)該是唯一的，嚴(yán)格的。就是說(shuō)在采樣點(diǎn)上的取值嚴(yán) 格等于原

31、函數(shù)。對(duì)調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G(z),應(yīng)與G(s)的頻率特相一致。這 時(shí)會(huì)因所用方法的不同而有差異。對(duì)被控對(duì)象傳遞函數(shù)G(s)的離散化結(jié)果G(z),在不同情況下有不同的要求， 后面會(huì)詳細(xì)討論。這時(shí)也會(huì)因方法的不同而有差異。評(píng)價(jià)一個(gè)離散化方法，大概有如下5項(xiàng)指標(biāo)。但是在不同的應(yīng)用場(chǎng)合有不同的要求。1) 易操作性。2) 從S平面到Z平面的映射關(guān)系。包括映射的單值性和 穩(wěn)定性的遺傳 性。3) 頻率特性畸變。指G(z)的頻率特性與G(s)的頻率特的一致性。4) 穩(wěn)態(tài)增益畸變。指G(z)的穩(wěn)態(tài)增益與G(s)的穩(wěn)態(tài)增益的一致性。5) 時(shí)域(采樣點(diǎn))響應(yīng)的一致性。指在采樣點(diǎn)上G(z)和G(s)

32、取值的一致性。C 留數(shù)法適用于G(s)為時(shí)域信號(hào)g(t)的Laplace變換的情況。這時(shí)，G(z)和G(s)在采樣點(diǎn)上的取值是完全一致的。=F g(t)k=0G(z) =' g(k)z*kRkzt=kT-jskTk一產(chǎn) G(s)e ds z按定義帶入g(t)1- jskT _k、云j “G(sh(e z )ds交換求和求積分的順序級(jí)數(shù)和的閉式按留數(shù)定理即可得,m1G( Z = ResG(s) r-r30)匸1 i1-ezD 直接代換法操作簡(jiǎn)單，但卻有誤差。直接代換法既適用于對(duì)控制器的離散化，亦適用于對(duì)被控對(duì)象的離散化。但是不適用于對(duì)信號(hào)的離散化(在采樣點(diǎn)上取值不嚴(yán)格)。使用直接代換法對(duì)

33、被控對(duì)象離散化時(shí)，一方面物理上需要引入ZOH，兩一方面代換是并不包括ZOH。直接代換法有很多種，下面介紹常用的幾種。1)后向差分法設(shè)連續(xù)時(shí)間描述為：ddtG(s)二X (s)U (s)用差分代替微分，采樣周期取為 T,x(k 1)- x(k)Tu(k 1),G(z)X(z)UTzz-1(為什么叫“后向”差分？ ？)1z 二1 - sT(2.31)比較G(s)和 G(z)，可得代換式,zT s 二TzS-； z映射關(guān)系：?jiǎn)沃狄灰粚?duì)應(yīng)S平面上左半平面穩(wěn)定域二= Z平面上單位圓內(nèi)正實(shí)軸上小圓G(s)穩(wěn)定=G(z)穩(wěn)定cc：)S平面ZZac0b7z平面-1cc：)圖7 后向差分法的穩(wěn)定性遺傳顯然穩(wěn)定性

34、的遺傳不是可逆的，但 S穩(wěn)定” “z穩(wěn)定”因此常被采用（S平面上除了 aef小圓外，所有的s映射到Z平面都是穩(wěn)定的）頻軸畸變較大。穩(wěn)態(tài)增益無(wú)畸變。即:G(s)»訂 G(z)|z.cc：)cc：)不能保證時(shí)域（采樣點(diǎn)）響應(yīng)的一致性。2）前向差分法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)描述為X = U, dtG( As用差分代替微分x(k 1-)x(ku( k),cc：)cc：)（為什么叫“后向”差分？ ？）比較G（s）和 G（z），可得代換式,z-1(2.32)s到z映射關(guān)系：?jiǎn)沃狄灰粚?duì)應(yīng)。事實(shí)上就是一個(gè)平移圖8前向差分法的穩(wěn)定性遺傳G(s)穩(wěn)定 G穩(wěn)定顯然，G(s)穩(wěn)定很難保證G是穩(wěn)定的，固很少采用 頻軸畸變

35、較大。穩(wěn)態(tài)增益無(wú)畸變，即：g(s)| 二g (z)|不能保證時(shí)域(采樣點(diǎn))響應(yīng)的一致性。3) 雙線(xiàn)性變換法(Tustin法)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)描述為G(s)二sdx = u, dt用差分代替微分，x(k 1)- x(k) u(k 1) u(k)T2比較的代換式，G(zT z 12 z- 1(2.33)(為什么叫“雙線(xiàn)性變換？ ？)圖9雙線(xiàn)性變換法的穩(wěn)定性遺傳s到z的映射關(guān)系：?jiǎn)沃祵?duì)應(yīng)；S平面上左半平面穩(wěn)定域二-Z平面上單位圓內(nèi)穩(wěn)定域G(s)穩(wěn)定 =G(z)穩(wěn)定當(dāng)T足夠小時(shí)(即當(dāng) 匕足夠大時(shí))頻軸畸變很小；穩(wěn)態(tài)增益無(wú)畸變；事實(shí)上在程序化處理的G(s)顯然，在直接代換法中，雙線(xiàn)性變換是最好的 到G(z)

36、變換中都采用雙線(xiàn)性變換法，應(yīng)用最為廣泛。E 系統(tǒng)等效法I沖激響應(yīng)不變法提法：設(shè)有(被控對(duì)象)G(s)和G(z),若G(s)在 吐)的激勵(lì)下的響應(yīng)g(t)在 kT處的采樣值g(kT)與G(z)在S (k)的激勵(lì)下所得之響應(yīng)相等，即稱(chēng) G(z)和G(s) 是沖擊響應(yīng)不變(等價(jià))的。但是，事實(shí)上 迭)和 我)并不等價(jià)。原因是，吐)的沖量為1,而(加上零階 保持器之后)Sk)的沖量為“ T”二者差一個(gè)系數(shù)“ T”使得G(z)的穩(wěn)態(tài)增益隨 著T大幅變化，這是不允許的。為什么還要講這種方法？按定義，在St)激勵(lì)下，有沖激響應(yīng)g(t)1g(t)二 L'G(s)-：G(s)estds2兀j按采樣周期T

37、采樣即得g(k)二 g(kT )-j： G(s)eskTds2花j按照輸入輸出等效原則，在單位脈沖輸入Sk)的激勵(lì)下，應(yīng)有輸出g(k)如上 式所示。根據(jù)Z變換的定義，即有對(duì)上式求Z變換G(z)= ' g(k)z"k=0乂1<j+j 閃skT_k交換和積順序求級(jí)數(shù)和的閉式八：G(s)e dszkk=0 2 二 j1；j "skT -k、.j：G(s)' (e z )ds2 二 jk =0壷二Gwds按留數(shù)定理G( z)ResG(s) i=1 i1-sT -1e z(2.34)因此，沖擊響應(yīng)等效法也是留數(shù)計(jì)算法。顯然，此式與式(2.30)的留數(shù)法相同。此式

38、用來(lái)對(duì)信號(hào)的G(s)求其G(z)時(shí)是嚴(yán)格正確的，但是，用來(lái)對(duì)被控對(duì)象的G(s)求其G(z)時(shí)卻是不對(duì)的。此代換不易操作，特別是不易計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。S到z的映射關(guān)系分析如下。若G(s)有一個(gè)極點(diǎn)gS =則G(z)定有一個(gè)極點(diǎn)2兀iT j( J -門(mén).)Te ij diT其中 r = eiT 1,di(T顯然，S平面=z平面,單值映射Z平面=S平面,多值映射主域圖10沖擊響應(yīng)等效法的穩(wěn)定性遺傳3T 31 灼 1如果只考慮S平面的主值域，即i ' T"T ，則有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在主值域內(nèi)有di 一 '，因此，頻軸無(wú)畸變。求式(2.34)的穩(wěn)態(tài)增益lim G (z) Lt =旳T

39、 ： 0z -1可見(jiàn)G(z)的穩(wěn)態(tài)增益受采樣周期T響應(yīng)很大。因此，穩(wěn)態(tài)增益畸變嚴(yán)重一使得本法很少使用。當(dāng)T足夠小時(shí)，一定可使所有 S域極點(diǎn)均落在主域之內(nèi)，此時(shí)的映射可相當(dāng)于一一對(duì)應(yīng)的。主域一一整個(gè)Z平面；左半平面一一單位圓內(nèi)；右半平面一一單位圓外；虛軸單位圓；容易理解，如果在§(k)的激勵(lì)下也引入零階保持器時(shí)，&k)和8(t)就成為等 價(jià)的了(為什么？)，于是式(2.34)成為,m1- e"Ts1(2.35)G( z)=' ResG(s) st ti=1 i s1- e z.m 1 1=(1 - z_ 比 Res G( s)srTr1 i s 1- e z由

40、下式可以證明穩(wěn)態(tài)增益無(wú)畸變G(z) |z=_i、J1 1-(1 -G(s)s+ |(V z莊 R丿(1 - z )遲 Res-G(s)、i s1 - Z1 - z二 G(s)|esTzzG(s)(2.36)s Z0f系統(tǒng)等效法n階躍響應(yīng)不變法提法：設(shè)有G(s)和G(z),若G(s)在1(t)的激勵(lì)下的響應(yīng)e(t)在kT處的采樣值 e(kT)與G(z)在1(k)的激勵(lì)下所得之響應(yīng)相等，即稱(chēng)G(z)和G(s)是階躍響應(yīng)不變(等價(jià))的。在階躍輸入的特殊情況下，在1(t)的后面有無(wú)零階保持器是無(wú)區(qū)別的(?)。有.1 1.，11Z G(z)=L皿)兩邊求z變換，得G匚1 1ZL G(s) I sRes-

41、G(s)- Si s 1 - e z可得,G(z)= (1 -z1)'i =11 .Re于(s)E(2-37)sTS到z的映射關(guān)系與沖激響應(yīng)不變法相同;從變換關(guān)系式可知，無(wú)頻軸畸變。由下式可知，無(wú)增益畸變m11、G1C(1-z花 Res1G(s)PL-11 - z1_zG(s)+s=0(1- Z)' Ress=0G(s) 1s(VesTr1h1二 G(s)s -0對(duì)比式(2.36)和式(2.37)可知，引入零階保持器時(shí)的沖激響應(yīng)等效法 式(2.36) 與不引入零階保持器時(shí)的階躍響應(yīng)等效法式(2.37)二者是等價(jià)的。G 部分分式法事實(shí)上，部分分式法是留數(shù)計(jì)算法的一個(gè)變形，也是留數(shù)

42、法的一種使用形 式。一般教科書(shū)中都給出相應(yīng)的表格以供查照。3.4.4離散化方法小結(jié)1) 對(duì)于表示信號(hào)的G(s)的離散化必須直接使用留數(shù)法(部分分式法)2) 在物理上，表示調(diào)節(jié)器的G(s)不需要ZOH，表示被控對(duì)象的G(s)必需要加ZOH3) 無(wú)論對(duì)于表示調(diào)節(jié)器還是表示被控對(duì)象的 G(s)的離散化，都可以使用直 接代換法，也可以使用留數(shù)法(部分分式法)。但是在數(shù)學(xué)上，使用直 接代換法時(shí)不需要ZOH，使用留數(shù)法(部分分式法)時(shí)需要先加上ZOH3.5線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)(特征值)與系統(tǒng)輸出特性的關(guān)系設(shè)線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)G(z)，G(z)二= k n Am(z)Bn(

43、z)n (z- pji 二其中Am(z)為m階首一多項(xiàng)式，并設(shè)pi為單實(shí)根或單共軛復(fù)根的情況，且設(shè)G(z)中沒(méi)有z=1的極點(diǎn)，即有pi工1當(dāng)存在復(fù)根或z=1的極點(diǎn)時(shí)，如下各項(xiàng)分析 結(jié)論仍然成立。當(dāng)存在一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，有j-j 打Pi 二 re , Pi i 二 re當(dāng)輸入為單位階躍序列即魁)z ，此時(shí)輸出為Z-1Y (z)二 G (z) R(z)二 kAm(z)nH (z - Pi)i 2由上一節(jié)討論可知，求上式的Z反變換，可得y(k)=人 ' kr(pjk ' ks(e%kejks /%隹八)prps二 kkr(p)、ksrsTerprps.e（k s飛）二心、K(Pr)k

44、' 2ksskcos(k spprs上式中，ko為與階躍輸入相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng)Pr為單重實(shí)根極點(diǎn)，kr為與Pr相對(duì)應(yīng)的輸出項(xiàng)系數(shù)ps為單重共軛復(fù)極點(diǎn)，其中rs為其幅值，申s為其幅角ks為與極點(diǎn)Ps相對(duì)應(yīng)的輸出項(xiàng)的系數(shù)幅值，二為其相位角s由上式可知，如果|>1，貝U隨著kT=O ，Pi的對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)發(fā)散，不穩(wěn)定如果|p|=1，貝嚇隨著 匕珀,Pi的對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)為恒值（實(shí)根）或等幅振蕩 （共軛復(fù)根），臨界穩(wěn)定。如果Opp|<1，貝U隨著kToO , Pi的對(duì)應(yīng)項(xiàng)收斂，穩(wěn)定。再考察共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)輸出項(xiàng)的相角特性（周期振蕩），令k$ = 2二，則一個(gè)振蕩周期對(duì)應(yīng)的周期數(shù)為kd2, o.:

45、(考慮共軛復(fù)數(shù))s9s顯然，質(zhì)越接近零，kd越大，即振蕩周期越長(zhǎng)，當(dāng)兀時(shí)，kdT 2，輸出正負(fù)交替。震蕩周期為兩個(gè)采樣周期。圖例：Pi對(duì)應(yīng)輸出，發(fā)散， ® s = 22 5 ° kd = 16 P8對(duì)應(yīng)輸出，穩(wěn)定，申=15kd=24穩(wěn)定，/s= 180 ,kd = 2穩(wěn)定，.:s=0 K八臨界穩(wěn)定，s =135 ,kd =2.7臨界穩(wěn)定，s = 45 , kd = 8臨界穩(wěn)定，90 *廠(chǎng)4P6對(duì)應(yīng)輸出,P7對(duì)應(yīng)輸出,R對(duì)應(yīng)輸出,P2對(duì)應(yīng)輸出,P3對(duì)應(yīng)輸出,試分別畫(huà)出與上述各特征根對(duì)應(yīng)的輸出模態(tài)波形的示意圖。由上分析可知：線(xiàn)性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定域是其傳遞函數(shù)的全部特征根均落在Z平面上的單位圓之內(nèi)3.5.2線(xiàn)性離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)不需要解出特征方程的根，只需根據(jù)特征方程的系數(shù)就可判定特征根是否 全部位于單位圓內(nèi)。1.舒