第二章假設(shè)和利率計算方法PPT課件

1、第二章假設(shè)和利率計算方法主講人：劉箐，亓彬，崔龍本章結(jié)構(gòu) 2.1 定價模型的一系列假設(shè)2.2 影響現(xiàn)金流隨時間變動的利率計算方法2.3 &2.4 貼現(xiàn)債券和息票債券的定價問題2.5 利率和到期期限的關(guān)系2.6 普通股定價總結(jié)2.1.1 不存在無成不存在無成本的套利機會本的套利機會IBM：NYSE：$120.75PCE：$120.252.1 基本假設(shè)基本假設(shè)2.1.2 無摩擦市場無摩擦市場1) 無交易成本無交易成本2) 沒有稅收沒有稅收3) 可以無限制地按可以無限制地按 無風(fēng)險利率借貸無風(fēng)險利率借貸4) 可以自由地利用可以自由地利用 任何資金做空任何資金做空5) 可以隨時交易可以隨時交易2.2

2、利率計算方法：復(fù)合利率第一條：以年利率的形式表達(dá)第一條：以年利率的形式表達(dá)第二條：大部分利率報的都是名義利率第二條：大部分利率報的都是名義利率限制利率的規(guī)則限制利率的規(guī)則（1+r/m）m-1er-1F=PerT2.3.1貼現(xiàn)債券的定價貼現(xiàn)債券的定價2.3.2 風(fēng)險管理風(fēng)險管理2.3.3 市場上交易的貼現(xiàn)債券市場上交易的貼現(xiàn)債券2.3 貼現(xiàn)債券貼現(xiàn)債券2.3.1 定價貼現(xiàn)債券或零息債券是未來只有一個現(xiàn)金流F的證券，F(xiàn)通常被稱為債券的面值。如果貼現(xiàn)債券的年回報率為r%，到期日為T年，那么B=Fe-rT其價格為：其價格為：其回報率其回報率TBFr)/ln(例例2.3.1 定價 計算貼現(xiàn)債券的隱含收益

3、計算貼現(xiàn)債券的隱含收益 20世紀(jì)80年代早期，一些銀行為其零售客戶提供的貼現(xiàn)債券主要是作為其為子女未來大學(xué)教育的花費而進行的長期儲蓄。當(dāng)時的市場利率相當(dāng)高，因此經(jīng)?？梢钥淬y行在廣告中宣傳今天投資4美分，25年后就能獲得1美元。該投資隱含的年回報率是多少？B=Fe-rT2.3.2 風(fēng)險管理 303320220)(61)(21)(rrdrBdrrdrBdrrdrdBdB 01)0001.0(DVTFedBrT)(/0rrdrBdBBdBTFeTFeBdrdBdrBdBDURrTrT/例2.3.2 風(fēng)險管理假設(shè)你在25年前買了價值4000美元的貼現(xiàn)債券，當(dāng)時的收益率為12.876%，如果利率上升10

4、0個基點，債券價格會怎樣變化？ 債券定價函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：在泰勒級數(shù)式中加入二階項：TextText2.3.2 風(fēng)險管理凸性20220)(/21)(/rrdrBBdrrdrBdBBdB貼現(xiàn)債券的凸性：rTFeTdrBd222222222/TFeFeTBdrBddrBBdCVXrTrT貼現(xiàn)債券貼現(xiàn)債券2.3.3 市場上交易的貼現(xiàn)債券國庫券國庫券財政拆財政拆分債券分債券2.3.3 市場上交易的貼現(xiàn)債券-財政拆分證券定義定義美國財政部拆分債券也屬于貼現(xiàn)債券，美國財政部并不直接發(fā)行這些證券，事實上他們只發(fā)行附息債券和到期日為30天的票據(jù)，這些原始發(fā)行的息票債券被拆分，即將每個息票和本金作為獨立單位予以出

5、售。在不存在無成本套利機會的情況下，從原始息票債券拆分出來的貼現(xiàn)債券的價格總和必須等于息票債券的價格。 Cycle DiagramTextTextTextTextTextCycle nameAdd Your TextDiagramTextTextTextAdd YourTitle TextText 1Text 2Text 3Text 4Text 5Add YourTitle TextText 1Text 2Text 3Text 4Text 5TextTextDiagramConceptAdd Your TextTextTextTextTextTextTextAdd Your TextAdd Y

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9、tleTitleTitleTitleTitleOOOOOTitleOOOOOTitleOOOOOTitleOOOOOTitleOOOOOTitleOXOXODiagramTextTextTextTitleTextTextTextAdd Your TextBlock DiagramAdd Your Text付息債券v1.付息債券的定價v2.付息債券的久期和凸性（利用收益率曲線）v3.付息債券的久期和凸性（到期收益率）v4.風(fēng)險管理v5.市場上交易的息票債券 2.4 附息債券附息債券v1.定價v下標(biāo)i表示第i個貼現(xiàn)債券，第i個貼現(xiàn)債券的價格用表示，代表第i個債券的到期日收到的現(xiàn)金流，代表將現(xiàn)金流貼

10、現(xiàn)到現(xiàn)在的零息債券貼現(xiàn)率，代表現(xiàn)金流i的發(fā)生時間。在債券到期前，現(xiàn)金流等于息票利息，如圖2-3所示，利息的數(shù)量COUP等于息票債券的約定利率乘以債券的面值。到期時，現(xiàn)金流等于息票利息加債券面值， niTriniidciieCFBB11,inCF CO U P Fv例例2-4: 給定零息債券的回報曲線，計算附息債券價格給定零息債券的回報曲線，計算附息債券價格v 假設(shè)當(dāng)前零息債券收益率曲線由以下函數(shù)給出v其中，Ti以年來計量。對于息票利率為7%，每半年付一次息，期限為5年的附息債券，其價格的計算如下。v要計算債券價格，我們需要知道對應(yīng)每次現(xiàn)金流的零息債券利率，這就需要運用期限結(jié)構(gòu)公式。例如，第一個

11、貼現(xiàn)債券是半年到期的，其對應(yīng)的零息債券回報率是，v半年后的現(xiàn)金流是0.07 / 2100 = 3.50，因此第一個貼現(xiàn)債券的價格為 。重復(fù)這一步驟（即息票債券定價公式（2-20），5年期、息票利率為7%的債券價格為105.0902，單個貼現(xiàn)債券的情況匯總于下表)1ln(01. 004. 0iiTr0.040.01ln(1 0.05)4.405%ir 0.04405(0.5)3.503.4237e 2.風(fēng)險管理久期和凸性，它們是組合中貼現(xiàn)債券久期和凸性的加權(quán)平均，權(quán)重則是第i個貼現(xiàn)債券在息票債券價格中的比重。令代表第i個貼現(xiàn)債券所占的權(quán)重 v息票債券的久期為v首先，債券的期限越長，遠(yuǎn)期現(xiàn)金流在息

12、票債券價格中所占的比重越大，從而久期和利率風(fēng)險也越高；其次，債券的息票利率越高，較早收到的現(xiàn)金流在債券價格中所占的比重越大，久期和利率風(fēng)險也就越??；再次收益越高，遠(yuǎn)期現(xiàn)金流在債券價格決定中的重要性越低，久期也就越短，利率風(fēng)險越低。 11,1cniidniiBBwniiiniidicTwDURwDUR11.v息票債券的凸性為v與久期的情況一樣，息票債券的凸性（2-23）是組合中貼現(xiàn)債券凸性的加權(quán)平均，權(quán)重是第i個貼現(xiàn)債券在息票債券價格中的比重 niiiniidicTwCVXwCVX121,v例2-5: 計算息票債券的久期及久期/凸性的近似值v息票債券的期限為5年，息票利率為7%，每半年付息一次，

13、假設(shè)零息債券收益率曲線從v變?yōu)?，計算該債券價格的實際變化率，并將其與久期和凸性所近似反映的債券價格變化率相對比。v 第一步先計算該附息債券的久期和凸性。下表詳細(xì)列明了計算方法，第一行所代表的現(xiàn)金流現(xiàn)值，在息票債券價格中所占的比重為3.258%，即v該貼現(xiàn)債券的久期是0.5，因此其對息票債券久期的貢獻(xiàn)是0.032580.5= 0.01629。該貼現(xiàn)債券的凸性是，因此其對息票債券凸性的貢獻(xiàn)是0.032580.25=0.00814。每行都重復(fù)此運算，然后加總可得息票債券的久期是4.3714，凸性則為20.3825。0.040.01ln(1)iirT0.050.01ln(1)iirT03258. 0

14、0902.1054237. 30902.10550. 3)5 . 0(04405. 0ev該貼現(xiàn)債券的久期是0.5，因此其對息票債券久期的貢獻(xiàn)是0.032580.5= 0.01629。該貼現(xiàn)債券的凸性是，因此其對息票債券凸性的貢獻(xiàn)是0.032580.25=0.00814。每行都重復(fù)此運算，然后加總可得息票債券的久期是4.3714，凸性則為20.3825v接下來分別基于久期以及久期/凸性，計算債券價格的預(yù)期變化率。僅基于久期，預(yù)期的債券價格變化是v而根據(jù)久期和凸性計算的預(yù)期債券價格變化為v如果零息債券的收益率曲線上移 100個基點，債券的價格將由105.0902變?yōu)?00.6585，或者變化率為

15、-4.2174%。這樣我們了解了每種方法的近似誤差，僅根據(jù)久期計算的近似值高估了價格變化率0.1003%，而根據(jù)久期和凸性計算的近似值則低估了價格變化率0.0016%。4.3174 0.014.3174% 14.3174(0.01)(20.3825)(0.0001)4.2155%2 v3 息票債券規(guī)則到期收益率：其計算方法是，令債券當(dāng)前價格與其未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值恰好相等，求解等式中的y，即可得到期收益率v單一貼現(xiàn)率的假設(shè)下，息票債券的久期由下式給出v凸性 niyTicieCFB1inicyTicTBeCFDURi121inicyTicTBeCCVXiv注意利用（2-25）和（2-26）式計算的久

16、期和凸性只是（2-22）和（2-23）實際值的近似。第i個現(xiàn)金流的現(xiàn)值并不等于第i個貼現(xiàn)債券的價格，即 ,iyTid iCFeBv例例2-6: 給定收益率曲線計算附息債券的到期收益率給定收益率曲線計算附息債券的到期收益率v假設(shè)零息債券當(dāng)前的即期利率的期限結(jié)構(gòu)由下面的曲線給出：v其中，以年為單位。息票債券的到期期限為5年，息票利率為7%，半年付息一次，計算其價格和到期收益率。如果該附息債券的購買價格為104美元，能否進行無成本套利？如果可以，怎樣進行？v 從例2-4我們知道，5年期、息票利率7%的債券價格是105.0902，令該債券的價格等于其現(xiàn)金流的現(xiàn)值，可以求出該債券的到期收益率v滿足上式的

17、貼現(xiàn)率為5.729%0.040.01ln(1)iirT1050.10350. 30902.10591yTiyTeeiv需要注意的是，息票債券的到期收益率小于例2-5中5年期零息債券的零息利率5.792%。之所以如此，是因為從經(jīng)濟學(xué)角度看，5年期附息債券的期限并不是5年，該債券在存續(xù)期間的付款有效縮短了其總期限。v 如果附息債券的購買價格為104美元，那么進行無成本套利。具體方法是，買入息票債券，然后按照每筆現(xiàn)金流的數(shù)量和期限賣出零息債券，即賣出6個月到期、面值3.50的零息債券，1年到期、面值3.50的零息債券，等等。這樣，從附息債券上收到的利息將恰好等于在空頭債券上的支付額。由于附息債券的購

18、買價格為104美元，而零息債券組合（使用零息債券收益率曲線）的賣出價格為105.0902美元，因此該無成本套利的利潤是1.0902美元。v例例2-7: 利用到期收益率計算息票債券的久期和凸性利用到期收益率計算息票債券的久期和凸性v 假設(shè)當(dāng)前零息債券收益率曲線有下面的函數(shù)給出v其中，以年為單位。息票債券的到期期限為5年，息票利率為7%，半年付息一次，利用例2-6中的單一到期收益率5.729%計算債券的久期和凸性。v首先，利用一個固定的到期收益率計算現(xiàn)金流的現(xiàn)值。自然地，利用到期收益率計算的貼現(xiàn)債券價格總和為105.0902，回顧例2-6，這實際上是到期收益率的計算辦法。接下來，計算每個貼現(xiàn)債券在

19、息票債券價格總額中所占的比例 0.040.01ln(1)iirT01618. 0092.105/4012. 3)5 . 0(05729. 0ev最后，計算每個貼現(xiàn)債券對息票債券久期和凸性的貢獻(xiàn)，并予以加總。根據(jù)收益率計算的久期是4.3240，而利用零息債券收益率曲線計算的久期則為4.3174；根據(jù)收益率計算的凸性是20.4273，根據(jù)零息債券收益率曲線計算的凸性則是20.3825。盡管我們本例中這些差異很小，但它們會隨債券的息票利率、到期期限以及收益率曲線的斜率等因素而變化 v4 風(fēng)險管理風(fēng)險管理v 損失的可能性損失的可能性v風(fēng)險風(fēng)險v 不確定性不確定性v套期保值就是通過買入或賣出與我們所持資

20、產(chǎn)價格變化幅度相同的其它資產(chǎn)，來降低頭寸風(fēng)險。就債券和利率風(fēng)險管理來說，完全的套期保值就是資產(chǎn)價格的變動幅度相同，但方向相反，即()dddrdr 未保值頭寸的價格)保值證券的價格v如果利率變化，久期和凸性可以度量資產(chǎn)組合和保值證券的價格變化。要對利率風(fēng)險暴露進行完全保值，必須確定買入或賣出的保值證券的單位數(shù)量，以便當(dāng)利率變化時保值資產(chǎn)組合的總價格維持不變，即v其中，是所持債券頭寸的價格，是一單位套期保值證券的價格，因為等式兩邊都有dr，所以省略了。以久期為基礎(chǔ)進行套期保值，指的是以久期和債券價格的乘積作為債券價格變化的近似值，因此，買入或賣出的保值債券數(shù)量單位由求解下式得出0HHpdBndB0

21、HHPBDURnDURHHHPPHBDURBDURnv例例2-8: 利用久期為債券組合的利率風(fēng)險套期保值利用久期為債券組合的利率風(fēng)險套期保值v 假設(shè)你擁有一份面值為3000萬美元、息票利率10%、到期期限為10年的附息債券，當(dāng)前的到期收益率為8%。假設(shè)你預(yù)期未來幾天利率可能上升，打算對利率風(fēng)險暴露進行套期保值。但不幸的是，你持有的債券缺乏一個富有流動性的市場，從而無法迅速地出售。但是，你可以賣出一個更富流動性的債券，其息票利率為9%，期限為12年，面值10萬美元，到期收益率為7%。你需要賣出多少債券呢？假設(shè)兩種債券都是每半年付一次息，第一次利息支付是在六個月后。列圖說明當(dāng)收益率在-5%到+10

22、%的區(qū)間變動時，保值證券組合的價格變化以及保值的有效性。v第一步就是計算債券的價格和久期。由于不知道零息債券的收益率曲線，所以可利用基于收益的計算公式 v同時考慮反映債券價格變化的久期和凸性，可改善保值的效果，但是要做到這點，需要兩種保值證券。要確定買入或賣出的保值債券的合適數(shù)量，就要使得欲保值債券組合的久期和凸性與保值證券的久期和凸性相一致。為抵消資產(chǎn)組合的久期風(fēng)險，久期必須滿足下面的限制式 v上述限制式僅說明，在調(diào)整好和后將不存在久期風(fēng)險暴露。同時，還要滿足下面的凸性限制式02,2,2,1 ,1 ,1 ,HHHHHHPPBDURnBDURnBDUR02,2,2,1 ,1 ,1 ,HHHHH

23、HPPBCVXnBCVXnBCVXv例例2-9: 利用久期利用久期/凸性為債券組合的利率風(fēng)險凸性為債券組合的利率風(fēng)險套期保值套期保值v本例相關(guān)問題同例2-8，另外假設(shè)存在第二個保值債券，其息票利率為5%，期限為20年，面值為10萬美元，到期收益率為7.5%。如果想對所持資產(chǎn)組合的久期和凸性風(fēng)險同時進行保值，每種保值債券應(yīng)賣出多少？列圖說明，當(dāng)收益率在-5%到+10%的區(qū)間內(nèi)變動時，被保值的資產(chǎn)組合價格變化是多少？并將基于久期/凸性進行的保值與僅基于久期進行的保值相對比，說明哪種保值更有效?v 無風(fēng)險套期保值的解為 =317.661， =71.572 0)32.139,73)(5501.11()

24、65.965,114)(8916. 7()77.782,719,33(7539. 62,1 ,HHnn0)32.139,73)(5095.185()65.965,114)(6506.79()77.782,719,33(4665.572,1 ,HHnn,1Hn,2Hnv5 市場上交易的息票債券 v 最著名的息票債券可能要數(shù)美國財政部發(fā)行的長期債券和中期票據(jù)，這兩類都屬于息票債券，其區(qū)別在于，財政部票據(jù)的初始發(fā)行期限為2到10年，而財政部長期債券的初始發(fā)行期限一般在10年以上。表2-2同樣列出了財政部附息債券。該表的報告要符合某些規(guī)則。首先，與拆分債券類似，息票債券價格也是用冒號，而非采用十進制法

25、表示，這是因為冒號右邊的數(shù)字是32進制法，而非十進制法。價格為92:08，意味著面值的92.25%。v 盡管表中的報價沒有明確說明，第二個規(guī)則則是息票利息每半年（即六個月）支付一次。例如，“6 1/4s of May 2030”意味著在債券有效期內(nèi)每年11月15號和5月15號按面值的3.125%支付息票利息，最后一次利息和面值將在2030年5月15日支付。v v第三個規(guī)則是財政部債券和財政部票據(jù)的報價不含當(dāng)前附息期間的新增利息。新增利息等于半年的息票利息乘以自上次付息以來的天數(shù)占當(dāng)前付息期間的比例，即v所報的債券價格為其當(dāng)前價格減去新增利息，因此，如果我們當(dāng)天購買該債券，需要支付債券的報價加新

26、增利息。這種做法似乎有些愚蠢，也確實有點。但是，該慣例幾十年前就形成了，有時很難打破傳統(tǒng)。用債券交易商的說法，不含新增利息的債券價格被稱為“清潔價格”，而包含新增利息的債券價格則稱為“骯臟價格”、“總價”或“全價v 第四個規(guī)則在表2-2中只出現(xiàn)了一次，即某些財政部債券是可隨時兌現(xiàn)的。在表第二列的上端我們看到“11 Nov 09-14”的標(biāo)示，其含義是，美國財政部有權(quán)利在2009年11月15日和2014年11月15日之間任何一個付息日將所有債券贖回，他們是否會這樣做，取決于任何可贖回日的利率水平。因為該“買入期權(quán)”有利于財政部，所以其價格低于沒有贖回特征的類似債券。注意報價為“11s of No

27、v 09-14”的債券比表中相鄰債券承諾的到期收益率更高。v 新增利息這個“實際/實際”的定義僅適用于財政部票據(jù)和債券；公司債券和市政債券的新增利息以360天為基礎(chǔ)，每月30天，因此其表達(dá)方法被稱為“30/360”。v與國庫券類似，財政部票據(jù)和債券也有一營業(yè)日的結(jié)算期，而公司債券的結(jié)算期一般為三天。()AICOUP自上次付息以來的天數(shù)當(dāng)前付息期間的總天數(shù)v例例2-10: 利用華爾街日報的價格計算息票利息流的現(xiàn)值利用華爾街日報的價格計算息票利息流的現(xiàn)值v 表2-2中，2030年5月到期的“bp”拆分債券所報的詢價價格是21:13，標(biāo)示為“6s of May 2030”債券所報的詢價價格為108:

28、12，不用債券定價公式，試計算標(biāo)示為“6s of May 2030”債券息票利息的現(xiàn)值。v 因為到期日在2030年5月的附息債券只有一種，2030年5月到期的“bp”拆分債券必定來自于“6s of May 2030”的債券，因此附息債券本金的現(xiàn)值應(yīng)是面值的21.40625%。為了求得息票利息的現(xiàn)值，首先需要確定“6s of May 2030”債券的價格。以十進制法表示的詢價價格是面值的108.375%，截至8月31號當(dāng)前付息期間已經(jīng)過去了108天，而當(dāng)前付息期間的總天數(shù)為184，因此新增利息為(6.25/2)(108/184)=1.8342。息票利息的現(xiàn)值是108.3750+1.834221.

29、4062=88.8030。下面的過程匯總?cè)缦聉例例2-11: 計算附息債券贖回權(quán)利的價格計算附息債券贖回權(quán)利的價格v 假設(shè)財政部債券價格（以32進制法表示）如下所示v息票利率為8%的債券可以在2010年到2015年間任何一個5月15號按面值贖回，根據(jù)所報價格計算該贖回權(quán)利的價格。v 可利用復(fù)制定價法來推導(dǎo)贖回權(quán)利的價格。根據(jù)問題所給信息，我們可用息票利率為12%的附息債券和零息債券構(gòu)建一個不能贖回的息票利率為8%的附息債券。為了復(fù)制8%的息票利息，我們需要買入個單位的息票利率12%的債券。盡管這一買入可以創(chuàng)造想要的現(xiàn)金流，但2015年償還的本金僅為68.75，為了彌補這個差異100-68.75

30、=31.25，我們需要買入0.3125個單位的零息債券，這樣在不存在無成本套利的機會下，該無贖回權(quán)、息票利率為8%的附息債券價格為v因此，該贖回權(quán)的價格為106.5410-103.59375=2.9473。v債券等價收益率債券等價收益率v “6s of May 2030”債券連續(xù)復(fù)利的到期收益率可用公式（2-24）計算，為5.5847%。但表2-2中，“6s of May 2030”債券所報的到期收益率卻是5.66%，該報告利率稱為債券的等價收益率。盡管本書此后各章并不都使用債券等價收益率這個概念，但要協(xié)調(diào)市場報價和實際的經(jīng)濟學(xué)意義上的價格，還是很有必要了解一下債券市場所采用的報價規(guī)則。v 債

31、券等價收益率是一個名義收益率 ，令債券的市場價格等于其現(xiàn)金流的現(xiàn)值，求解 ，可得債券等價收益率，即vsysyv其中，是當(dāng)前付息期間剩余的天數(shù)，是當(dāng)前付息期間的總天數(shù)。實際上，公式（2-34）右邊意味著，先計算債券在下次付息日的價格，然后利用貼現(xiàn)因子將該價格貼現(xiàn)，貼現(xiàn)因子的大小取決于當(dāng)前付息期間的剩余天數(shù)在總天數(shù)中的比例。需要注意的是，當(dāng)計算債券在下次付息日的價格時，加總式中第一個利息不需要貼現(xiàn)，因為該利息是立刻支付的。此外還需注意，報告中的債券等價收益率是基于詢價價格，而非報價價格，其原理是，如果買入該債券，債券的等價收益率可作為將債券持有至到期所得回報率的近似值 本規(guī)則僅適用于財政部債券和票

32、據(jù)，而公司債券和市政債券采用不同的天數(shù)計算規(guī)則。10/)2/1 (2/1niTSinnScidcpdryCFyBv例如，“6s of May 2030”債券等價收益率由下式?jīng)Q定v其中，等于每期的息票利息3.125，但最后一次付款是息票利息加到期日償還的本金103.125 1600184/76)2/1 (2/12092.110iTSiSiyCFy2.5 利率期限結(jié)構(gòu) 我們從表2-1所報的貼現(xiàn)債券的利率可以看出，零息債券利率（或即期利率）隨到期期限的變化而變化。即期利率和到期期限的關(guān)系稱為利率的期限結(jié)構(gòu)，即期利率的期限結(jié)構(gòu)，以及零息債券的收益率曲線，這些稱呼可互換。 在運用息票債券定價公式 時，需

33、要知道每次現(xiàn)金流的零息利率，但息票債券現(xiàn)金流的期限可能介于市場上零息債券到期期限之間。例如，假設(shè)需定價的債券將在4個月后有一筆現(xiàn)金流，現(xiàn)在將到期的零息債券只有3個月期和6個月期的，但不管怎樣，必須要找到4個月期的零息債券利率。一種方法是線性插入法，即對3月期和6月期零息債券利率簡單地進行加權(quán)平均，3月期債券利率的權(quán)重為2/3，6月期債券利率的權(quán)重為1/3。另一種方法是利用最小二乘回歸或者三項式加權(quán)組合法等技術(shù)對所有零息債券利率進行一次性平滑 。niTriniidciieCFBB11,表2-1：華爾街日報所報的國庫券貼現(xiàn)率（2000年9月1號，星期五）。 我們假設(shè)已經(jīng)對整個利率期限結(jié)構(gòu)進行了平滑

34、，該結(jié)構(gòu)可由以下這樣數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)： 圖2-1繪出了根據(jù)上式計算的不同到期期限下利率，如圖所示，利率期限結(jié)構(gòu)是向上傾斜的，且收益率的增長率隨到期期限的增加而遞減。圖中還繪出了對應(yīng)于每個零息利率的貼現(xiàn)因子，貼現(xiàn)因子就是未來Ti時刻收到的1美元的今天價格，即 。 0.040.01ln(1)iirTiir TiD Fe2.5.1 隱含的遠(yuǎn)期利率 零息債券收益率曲線代表了到期期限不同的即期貸款利率，貸款從現(xiàn)在開始，直到債券的有效期末T。零息債券收益率曲線也隱含了未來貸款的利率，這些利率被稱為遠(yuǎn)期利率。 我們要推導(dǎo) 時刻開始、 時刻結(jié)束的貸款的遠(yuǎn)期利率，我們需要先根據(jù)零息收益率曲線，找到對應(yīng)于不同到期期

35、限的即期利率 和 。接下來，假設(shè)我們打算將1美元投資 的時間，為此，我們可以直接買入到期期限為 的零息債券，或者也可先買入到期期限為 的零息債券，然后再將到期資金重新投資于到期期限為 的零息債券。 以上從 到 的貸款利率就稱為遠(yuǎn)期利率，只需讓兩種投資方法的終值相等，也就是滿足下面公式，即可求得遠(yuǎn)期利率。 (2-36) 1T2T1r2r1T2T2T21TT1T2T)(122,11122TTfTrTreee 對上述公式兩邊取自然對數(shù)，用i替代下標(biāo)1，用j替代下標(biāo)2，然后變形以求出 ，可以得出更為一般化的 時刻開始、 時刻結(jié)束的貸款隱含遠(yuǎn)期利率： (2-37) 零息債券收益率曲線也可用來推導(dǎo)遠(yuǎn)期貼現(xiàn)

36、因子，由（2-36）式，我們有 (2-38) 其中， 是市場上可觀察到的第i種零息債券的貼現(xiàn)因子， 是 時刻開始、 時刻結(jié)束的隱含遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子。將（2-38）予以變換，隱含的遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子可計算如下 (2-39) 將式（2-39）進一步變形，隱含的遠(yuǎn)期利率也可由下式計算得出： (2-40) . i jfiTjTijiijjjiTTTrTrf,2,112111FDFDFDFiDF, i jFDFijjiDFDFFDF,ijjijiTTDFDFf)/ln(,iTjT 例例2-12: 由零息債券收益率曲線計算遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子由零息債券收益率曲線計算遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子假設(shè)當(dāng)前零息債券的利率期限

37、結(jié)構(gòu)由下面的曲線給出 計算從現(xiàn)在開始、截止日從1年到10年不等的貸款的即期利率和貼現(xiàn)因子，并計算開始日為1年后至九年后的一年期貸款的遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子。要計算零息債券即期利率非常容易，只需要需要運用所給的期限結(jié)構(gòu)公式。例如，一年期即期利率為 ，一年期貼現(xiàn)因子為 ，其它的計算與此類似。 要根據(jù)息票債券即期利率計算遠(yuǎn)期利率和遠(yuǎn)期貼現(xiàn)因子，需要運用（2.37）和（2.39），一年后開始發(fā)放的一年期貸款隱含的遠(yuǎn)期利率為：此外根據(jù)隱含的遠(yuǎn)期利率和隱含的貼現(xiàn)因子之間的關(guān)系，也可得：0.040.01ln(1)iirT10.04 0.01ln(1 1)4.693%r 0.04693(1)10.9542DF

38、e1,20.05099(2) 0.04693(1)5.504%2 1f1,2121,2ln(1/)ln(/)ln(1.0566)5.504%2 12 12 1FDFDF DFf 其它期限的遠(yuǎn)期利率計算過程相同，結(jié)果如下圖所示： 需注意，當(dāng)前開始發(fā)放的一年期貸款隱含的遠(yuǎn)期利率等于一年期的即期利率，因為當(dāng)前開始的貸款遠(yuǎn)期利率就是即期貸款利率。還需注意，隱含的遠(yuǎn)期利率可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于即期利率。9年期和10年期貸款的即期利率分別為6.303%和6.398%，而9年后發(fā)放的一年期貸款隱含的遠(yuǎn)期利率則是7.256%。 另外一個比較重要的應(yīng)用就是用遠(yuǎn)期利率來鎖定遠(yuǎn)期貸款的利率如下例：例例2-13: 鎖定遠(yuǎn)期貸款

39、的利率鎖定遠(yuǎn)期貸款的利率若不同期限的即期借貸款利率如下圖所示：根據(jù)上述報價，對于三個月后開始的期限為9個月的貸款，應(yīng)將遠(yuǎn)期利率鎖定在何種水平上？說明如何安排該筆貸款的結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在可以鎖定的利率水平是多少？（假設(shè)所有利率都是連續(xù)復(fù)利。） 為了計算遠(yuǎn)期利率，必須確定未來貸款區(qū)間兩個端點對應(yīng)的即期利率，即到期日分別在遠(yuǎn)期貸款區(qū)間開始和結(jié)束的貸款3月期貸款和1年期貸款的即期利率。因為你打算在該遠(yuǎn)期區(qū)間借款，較長期貸款的即期利率就是借款利率5%；因為接下來的三個月你不需要貸款，較短期貸款的即期利率就是貸款利率3%。這樣，三個月后開始發(fā)放的9月期貸款隱含的遠(yuǎn)期利率為 需要的是在三個月后借款5萬美元，在借款后

40、九個月償還的貸款，對于這筆5萬美元的現(xiàn)金流，你需要將這筆三個月后收到的5萬美元的現(xiàn)值貸出，在該筆存款上可獲得的利率為3%。三個月末收到的5萬元現(xiàn)值為 于是我們通過借入49,626.40美元一年，然后將其貸出三個月，你就構(gòu)建了一筆三個月后發(fā)放、期限9個月的遠(yuǎn)期貸款。且該合約的凈現(xiàn)金流是確定的，如下所示 ：0.25,10.05(1)0.03(0.25)5.667%10.25f0.03(0.25)5000049626.40e2.6 股票定價股票定價股票份額是在公司所有權(quán)中的籌碼，股東通過兩種方式獲得收益，一是通過定期的現(xiàn)金紅利支付，二是通過持股期間的股票價格變化（包括溢和折價兩種情況）。股票的定價與息票債券相似，兩者都是未來預(yù)期現(xiàn)金流的現(xiàn)值，但與債券不同的是，股票未來定期支付的現(xiàn)金流（股息紅利）并不是合同約定好的，即不是固定的。且在不破產(chǎn)的情況下，股票的有效期是無窮的。在股票的定價問題中，預(yù)期未來現(xiàn)金流就是現(xiàn)金紅利，我們用 表示未來第i個現(xiàn)金紅利，且紅利流是無限連續(xù)的，即 ， ，。 表示從現(xiàn)在起到第i個次股息支