命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件試題

1、命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件試題作者：日期：2§ 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、選擇題1設(shè)集合A x R| x 2 0 ， B x R| x 0 ，C x R| x( x 2) 0 ，則“ x A B”是“ x C”的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析： A B x R|x 0或 x 2 ， C x R|x 0 或 x 2 ， B是xC的充分必要條件AB CxA答案： C2已知命題 p： ? n N,2n 1 000 ，則綈 p 為 () A ?n N,2 n1 000B? N,2 n 1 000nC ? n N,2

2、n1 000D?n N,2 n 1 000解析特稱命題的否定是全稱命題即p：? x M， p( x) ，則綈 p：? x M，綈 p( x) 故選A.答案A3命題“若1 x 1，則 x21”的逆否命題是()A若 x1或 x 1，則 x21B若 x2<1，則 1<x<1C若 x2>1，則 x>1 或 x< 1D若 x21，則 x1或 x 1解析：若原命題是“若p，則 q”，則逆否命題為“若綈q 則綈 p”，故此命題的逆否命題是“若 x21，則 x1或 x 1”答案： D4已知 ， 角的終邊均在第一象限，則“ ”是“ sin sin ”的 () A充分不必要條件

3、B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件1解析( 特例法 ) 當(dāng) 時，令 390°， 60°，則 sin 390° sin 30° 2 sin60°3 sin 時，令 60°， 390°滿，故 sin sin 不成立；當(dāng) sin2足上式，此時 ，故“ ”是“ sin sin”的既不充分也不必要條件答案D【點評】本題采用了特例法，所謂特例法，就是用特殊值特殊圖形、特殊位置代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷. 特例法的理論依據(jù)是：命題的一般性結(jié)論為真的先決條件是它的特殊情況為真，即普通

4、性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等. 這種方法實際是一種“小題小做”的解題策略，對解答某些選擇題有時往往十分奏效.5命題“若f ( x) 是奇函數(shù)，則f ( x) 是奇函數(shù)”的否命題是()A若 f ( x) 是偶函數(shù)，則f ( x) 是偶函數(shù)B若 f ( x) 不是奇函數(shù)，則f ( x) 不是奇函數(shù)C若 f ( x) 是奇函數(shù)，則f ( x) 是奇函數(shù)D若 f ( x) 不是奇函數(shù)，則f ( x) 不是奇函數(shù)解析：否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論答案： B6設(shè)集合M 1,2 ， N a2 ，則“ a1”是“ N? M”的 ()A充分不必要條件

5、B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件解析：當(dāng) 1 時， 1，此時有?，則條件具有充分性；當(dāng)?時，有a2 1或2aNN MN Ma2 得到 a11， a2 1，a32，a42，故不具有必要性，所以“a1”是“ N? M”的充分不必要條件答案： A7若實數(shù) ，滿足a0， 0，且ab0，則稱a與b互補記 (， ) a2b2aa bba bb，那么 ( a， b) 0 是 a 與 b 互補的 () A必要而不充分的條件B充分而不必要的條件C充要條件D既不充分也不必要的條件解析 若 ( a，b) 0，即a2b2 a b，兩邊平方得ab0，故具備充分性 若 a0，b0， 0，則不妨設(shè) 0.

6、 (，) 22 20. 故具備必要性故選 C.abaa baba bbb答案C二、填空題8. 若不等式成立的充分不必要條件是，則實數(shù)的取值范圍是_1 , 4答案：2 39有三個命題： (1) “若xy 0，則 x， y 互為相反數(shù)”的逆命題；(2) “若 a b，則 a2b2”的逆否命題；(3) “若 x 3，則 x2 x 60”的否命題其中真命題的個數(shù)為_( 填序號 ) 解析 (1) 真， (2) 原命題假，所以逆否命題也假，(3) 易判斷原命題的逆命題假，則原命題的否命題假答案 110定義：若對定義域D上的任意實數(shù)x 都有 f ( x) 0，則稱函數(shù) f ( x) 為 D上的零函數(shù)根據(jù)以上

7、定義，“f ( x) 是 D上的零函數(shù)或 g( x) 是 D上的零函數(shù)”為“ f ( x) 與 g( x) 的積函數(shù)是 D上的零函數(shù)”的 _條件解析 設(shè) ( 1,1)(x0， x 1，0 ，) Dfx， x，x， x1， 0，g( x) 顯然 F( x) f ( x) ·g( x) 是定義域 D 上的零函數(shù)，但 f ( x) 與0，x，g( x) 都不是 D上的零函數(shù)答案充分不必要11 p：“向量a 與向量 b 的夾角 為銳角”是q：“ a·b>0”的 _條件a· b解析： 若向量 a 與向量 b 的夾角 為銳角， 則 cos |a| · |b|

8、>0，即 a·b>0；由 a· b>0a·b可得 cos |a| · |b|>0，故 為銳角或 0°，故 p 是 q 的充分不必要條件答案：充分不必要12已知 a 與 b 均為單位向量，其夾角為 ，有下列四個命題1a b| 1? 0，2p ：|3p ：| a b| 1? 23 ， 23a b| 1? 0， p ：|34：| | 1? ， pa b3其中真命題的個數(shù)是_ 221解析由 | a b| 1 可得 a 2a·b b 1，因為 | a| 1， | b| 1，所以 a·b2，故 0，221a2a2

9、2a | 1，. 當(dāng) 0，時， ，| | 21，即|33a·b2ba·b bb221故 p1 正確由 | a b| 1可得 a 2a·b b 1，因為 | a| 1， | b| 1，所以 a·b 2，故4正確 3 ， ，反之也成立， p答案2三、解答題13. 設(shè) p ：函數(shù) f ( x) 2|x a| 在區(qū)間（ 4， +）上單調(diào)遞增；q : log a2 1 ，如果“p ”是真命題，“ p 或 q ”也是真命題，求實數(shù)a 的取值范圍。解析： p :f ( x)2|x a| 在區(qū)間（ 4， +）上遞增，u | xa |在（ 4， +）上遞增，故 a4. （

10、 3 分）q : 由 log a21loga a0 a1或 a2. （ 6 分）如果“p ”為真命題，則p 為假命題，即 a4. （ 8 分）又因為 p或 q 為真，則 q 為真，即 0a1或 a20a或a21由 a4可得實數(shù) a 的取值范圍是 a4. （ 12 分）14已知函數(shù)f(x) 是 ( ， ) 上的增函數(shù)，、 R，對命題“若0，則f() a ba baf ( b) f ( a) f ( b) ”(1) 寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2) 寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論解 (1) 逆命題是：若 f ( a) f ( b) f ( a) f ( b) ，則 a

11、b0為真命題用反證法證明：假設(shè) a b 0，則 a b， b a. f ( x) 是 ( ， ) 上的增函數(shù)，則 f ( a) f ( b) ， f ( b) f ( a) ，f ( a) f ( b) f ( a) f ( b) ，這與題設(shè)相矛盾，所以逆命題為真(2) 逆否命題：若 f ( a) f ( b) f ( a) f ( b) ，則 a b 0 為真命題因為原命題 ? 它的逆否命題，所以證明原命題為真命題即可a b0, a b， b a.又 f ( x) 在( ， ) 上是增函數(shù)， f ( a) f ( b) ， f ( b) f ( a) ， f ( a) f ( b) f (

12、a) f ( b) 所以逆否命題為真15判斷命題“若a0，則 x2 x a 0 有實根”的逆否命題的真假解法一寫出逆否命題，再判斷其真假原命題：若a0，則 x2 x a0 有實根逆否命題：若x2 x a 0 無實根，則a 0.判斷如下：x2 x a0 無實根，1 14 0， 0，aa4“若 x2 x a 0無實根，則 a0”為真命題法二利用原命題與逆否命題同真同假( 即等價關(guān)系 ) 判斷a0， 4a0， 4a 10，方程 x2 x a 0的判別式 4a 1 0，方程x2x 0有實根，a故原命題“若a0，則 x2 xa 0 有實根”為真又原命題與其逆否命題等價，“若 a0，則 x2 x a 0

13、有實根”的逆否命題為真命題法三利用充要條件與集合關(guān)系判斷命題 p： a0， q： x2x a 0 有實根，p： A a R| a0 ，： aR|方程x2 有實根 a R| a1q Bxa 04 .即 ?，“若p，則q”為真，A B“若 p，則 q”的逆否命題“若綈q，則綈 p”為真“若 a0，則 x2 x a 0 有實根”的逆否命題為真x2 x60，16設(shè) p：實數(shù) x 滿足 x2 4ax3a2<0，其中 a0， q：實數(shù) x 滿足 x2 2x 8>0.(1) 若 a 1，且 pq 為真，求實數(shù)x 的取值范圍；(2) 若 p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a 的取值范圍解： (1)由x2 4 3 2<0，得 (x3)(x )<0，axaaa當(dāng) a 1時，解得 1<x<3，即 p 為真時實數(shù)x 的取值范圍是 1<x<3.x2 x60，得 2<x3，即 q 為真時實數(shù) x 的取值范圍是 2<x3.由x2 2x 8>0若 為真，則p真且q真，所以實數(shù)x的取值范圍是 2&