第三章文科導數及其應用知識點

1、第三章導數及其應用知識體系總覽平均變化率導數概念瞬時變化率導導數的幾何意義數幾個初等函數的導數導數的運算法則函數的單調性導數在研究函數中的應用函數的極值和最值生活中的優(yōu)化問題3.1 導數的概念知識梳理1. 平均速度：物理學中，運動物體的位移與所用時間的比稱為平均速度， 即一段時間或一段位移內的速度；若物體的運動方程為 sf (t ), 則物體從 t 到 tt 這段時間內的平均速度 v(t ,t )f (tt ) f (t) ；一般的，函數 f ( x) 在區(qū)間 x1, x2 tf ( x2 )f ( x1 )上的平均變化率為x2x1。2. 瞬時速度：是某一時刻或位置物體的速度，方向與物體運動方

2、向相同。我們測量的瞬時速度是用很短時間內的平均速度來代替的， 是對物體速度的一種粗略的估算。當平均速度 v(t , t)f (tt) f (t ) 中的 t 無限趨近于 0 時，平均速度tv(t , t )f (tt )f (t)的極限稱為在時刻t 的瞬時速度v(t ) ，記作 v=s=ttf (tt ) f (t)0)。求瞬時速度的步驟為：( tt(1) 設物體的運動方程為 sf (t) ；(2) 先求時間改變量t 和位置改變量sf (tt)f (t);( 3) 再求平均速度sf (tt)f(t )v(t, t)tt(4) 后求瞬時速度：瞬時速度 v=s =f (tt)f (t ) ( t

3、0) .tt3. 求函數 y f (x) 的導數的一般方法：（ 1）求函數的改變量yf (xx)f ( x) （ 2）求平均變化率yf (xx)f ( x) xx（ 3）取極限，得導數y /f ( x)yx(x0) 4. 常見函數的導數公式： C '0 ； (x n )'nxn 1 ； (sin x) 'cosx ； (cosx)'sin x ； ( a x ) 'a x ln a ； (ex ) 'ex ； (log a x) '1； (ln x)'1x ln ax5. 導數運算法則：1fxg xfxgx；2f x g xf x

4、 g xf x g x；fxfx g xfxg x3gxgx2g x 06、由導數的定義可知，求函數yf (x) 的導數的一般方法是：（ 1） . 求函數的改變量 yf ( xd)f ( x) 。（ 2） . 求平均變化率yf ( xd )f ( x) 。dd（ 3）當 d0 時，得f (u d ) f (u)f / ( x0 )d7、曲線 C：y=f （x）在其上一點 P（x0， f （ x0 ）處的切線方程為yf （x0） = f （x0）（xx0）8、若質點的運動規(guī)律為s=s（t ），則質點在t =t 0 時的瞬時速度為v= s （ t 0 ）.這就是導數的物理意義 .二 .函數的單調性

5、1、利用導數的符號判斷函數的單調性：一般地，設函數 yf ( x) 在某個區(qū)間可導， 如果 f ' ( x)0 ，則 f ( x) 為增函數；如果 f ' ( x)0 ，則 f (x) 為減函數；如果在某區(qū)間內恒有f ' ( x)0 ，則 f ( x)為常數；2、對于可導函數 yf (x) 來說， f ' ( x)0 是 f ( x) 在某個區(qū)間上為增函數的充分非必要條件，f ' (x)0 是 f ( x) 在某個區(qū)間上為減函數的充分非必要條件。3、利用導數判斷函數單調性的步驟：求函數 f ( x) 的導數 f ( x).令 f ( x) 0 解不等式，

6、得 x 的范圍就是遞增區(qū)間 .令 f ( x) 0 解不等式，得 x 的范圍，就是遞減區(qū)間 .4、已知函數的單調性求參數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“若函數單調遞增，則 f ' (x)0 ；若函數單調遞減，則 f ' (x)0 ”來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否則漏解三 .函數極大值、極小值1、極大值：如果 xc 是函數 f(x) 在某個開區(qū)間 (u, v) 上的最大值點，即不等式 f ( c)f ( x)對一切 x(u, v) 成立，就說函數f(x) 在 xc 處取到極大值f (c) ，并稱 c 為函數 f(x)的一個極大值點，f (c)

7、 為 f(x)的一個極大值。2、極小值：如果 xc 是函數 f(x) 在某個開區(qū)間 (u, v) 上的最小值點， 即不等式 f (c) f ( x) 對一切 x (u, v) 成立，就說函數f(x)在 x c 處取到極小值f (c) ，并稱 c 為函數 f(x) 的一個極小值點， f (c)為 f(x)的一個極小值。3、極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點；若f (c)0 ，則 xc 叫做函數 f(x) 的駐點；可導函數的極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。4、判別 f ( c) 是極大、極小值的方法 : 若 x0 滿足 f (c)0 ，且在 c 的兩側f ( x) 的導

8、數異號，則c 是 f ( x) 的極值點， f (c) 是極值，并且如果f (x) 在 c 兩側滿足“左正右負” ，則 c 是 f ( x) 的極大值點，f (c) 是極大值；如果f ( x) 在 c兩側滿足“左負右正” ，則 c 是 f ( x) 的極小值點，f ( x0 ) 是極小值5、求可導函數 f ( x) 的極值的步驟 :(1) 確定函數的定義區(qū)間，求導數 f ( x)(2) 求 f(x) 的駐點，即求方程 f ( x)=0 的根(3) 用函數的導數為 0 的點，順次將函數的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間， 并列成表格 . 檢查 f ( x) 在方程根左右的值的符號， 如果左正右負， 那么 f ( x) 在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么 f ( x) 在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么 f ( x) 在這個根處無極值三 函數的最大值和最小值在區(qū)間 a ，b 上連續(xù)的函數 f ( x) 在a ，b 上必有最大值與最小值。求閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數 f (x) 的最大值和最小值的思想方法和步驟：（ 1）求函數?( x) 在(a ，b) 內的極值；（ 2）求函數?( x) 在區(qū)間端點的值?(a) 、?(b) ；（ 3）將函數? ( x) 的各極值與?(a) 、?(b) 比較，其中最大的是最大值，其中