CH101二重積分的概念與性質(zhì)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高特點：平頂特點：平頂.柱體體積柱體體積=？特點：曲頂特點：曲頂.),(yxfz D一、問題的提出一、問題的提出曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè) 一 立 體 的 底 是設(shè) 一 立 體 的 底 是xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 它的側(cè)面是以它的側(cè)面是以D的邊界的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行曲線為準(zhǔn)線而母線平行于于z軸的柱面軸的柱面 它的頂它的頂是曲面是曲面zf(x y) 這這里里f(

2、x y)0且在且在D上連上連續(xù)續(xù) 這種立體叫做曲頂這種立體叫做曲頂柱體柱體 解法解法: 類似定積分解決問題的思想類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xOy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱軸的柱面面求其體積求其體積.“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求求 極限極限” D),(yxfz 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積D),(yxfz 1)“大化小大化小”用任意曲線網(wǎng)分用任意曲線網(wǎng)分D為為 n 個區(qū)域個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為以

3、它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個個2)“常代變常代變”在每個在每個k, ),(kk3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk那那么么中任取一點中任取一點小曲頂柱體小曲頂柱體k),(kk4)“4)“取極限取極限”的的直直徑徑為為定定義義k kk,PPPP2121max)(令令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk步驟如下：步驟如下：xzyoD),(yxfz i),(kk .),(lim10kknkkfV 用小平頂柱體的體積近似用小平頂柱體的體積近似代 替 小 曲 頂 柱 體 的 體 積代 替

4、 小 曲 頂 柱 體 的 體 積Vk V k f (k k)k 用小平頂柱體的體積之和用小平頂柱體的體積之和近似代替整個曲頂柱體體近似代替整個曲頂柱體體積積 將分割加細將分割加細 取極限取極限 求求得曲頂柱體體積的精確值得曲頂柱體體積的精確值用曲線網(wǎng)把用曲線網(wǎng)把D分成小區(qū)域分成小區(qū)域 1 2 n “大化小大化小, , 常代變常代變, , 近似和近似和, ,取極限取極限” nkkkkfV1),( 播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取

5、極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割

6、、求和、取極限取極限的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示有一個平面薄片有一個平面薄片, 在在 xOy 平面上占有區(qū)域平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質(zhì)量計算該薄片的質(zhì)量 M .度為度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)設(shè)D 的面積為的面積為 ,那么那么M假設(shè)假設(shè)),(yx非常數(shù)非常數(shù) , 仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代變常代變,近似和近似和, 求極限求極限” 處置處置.1)“大化小大化小”用任意曲線網(wǎng)分用任意曲線網(wǎng)分D 為為 n 個小區(qū)域個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小塊相應(yīng)把薄片也分為小塊 .DyxO求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量yx2)“常代變常代變”中任取一

7、點中任取一點k在每個),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第則第 k 小塊的質(zhì)量小塊的質(zhì)量O兩個問題的共性：兩個問題的共性：(1) 解決問題的步驟相同解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和,取極限取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的概念二、二重積分的概念 積分號積分號 v二重積分的定義二

8、重積分的定義積分中各部分的名稱積分中各部分的名稱 f(x y) 被積函數(shù)被積函數(shù) f(x y)d 被積表達被積表達式式 d 面積元素面積元素 x y 積分變量積分變量 D 積分區(qū)域積分區(qū)域 iiiniDfdyxf),(lim),(10 積分和積分和 iiinif ),(1 對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值 在直角坐標(biāo)系下用平行于在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域坐標(biāo)

9、軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為DyxfVd),(引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(二重積分存在定理二重積分存在定理:若函數(shù)若函數(shù)),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略證明略)定理定理1.在在D上可積上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù)限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù) ,積積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù), 那么那么若有界函數(shù)若有界函

10、數(shù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上除去有上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在在 D :10 x10 y上二重積分存在上二重積分存在 ;yxyxf 1),(但但在在D 上上 二重積分不存在二重積分不存在 . y1x1DO性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng)K為常數(shù)時，被積函數(shù)中的常數(shù)因子為常數(shù)時，被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面，即可以提到積分號前面，即.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì).),(),(),(21 DDD

11、dyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì)3 (對積分區(qū)域的可加性對積分區(qū)域的可加性) 如果閉區(qū)域如果閉區(qū)域D被有限條曲線分被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域為有限個部分閉區(qū)域, 則則D上的上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上二重積分等于各部分閉區(qū)域上二重積分的和二重積分的和. 例如例如D可分為兩可分為兩個閉區(qū)域個閉區(qū)域D和和D，那么，那么性質(zhì)性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 則有則有性質(zhì)性質(zhì) DMdyxfm),(（二重積分估值不等式）（

12、二重積分估值不等式）性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） ),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,),(maxd),(1),(minyxfyxfyxfDDD由連續(xù)函數(shù)介值定理由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點至少有一點D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD使使因而因而例例1 比較下列積分的大?。罕容^下列積分的大?。?）Ddyx2)(與與Ddyx3)(其中其中D:2) 1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在區(qū)域解：在區(qū)域 D內(nèi)，顯然有內(nèi)，顯然有, 1 yx故在故在D內(nèi)內(nèi)32)()(yxyx DDdyxdyx32)()

13、(解解2 yxoxy121D例例3 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個有界閉域是第二象限的一個有界閉域 , 且且 0 y 1, 那那么么,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序為的大小順序為 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA 提示提示: 因因 0 y 1, 故故;212yyy D故在故在D上有上有, 03 x又又因因323321xyxyxy yOx1D,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab ab 區(qū)域區(qū)域D的面積的面積 x,16)(1),(2 yxyxf)0(41 yxM

14、5143122 m)2, 1( yx. 5 . 04 . 0 I解解yox2D1練習(xí)練習(xí) 估計下列積分之值估計下列積分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)6100200 I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyO220yx 0)ln(22 yx例例6 判斷判斷的正負的正負.) 10(dd)ln(122yxyxyx解：當(dāng)解：當(dāng)1yx時，時，故故0)ln(22 yx又當(dāng)又當(dāng)時，時，1 yx于是于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx111

15、1xyOD二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）四、小結(jié)思考題思考題1 將二重積分定義與定積分定義進行比較，將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)思考題解答思考題解答思考題思考題2證明證明:, 2d)cossin(122Dyx其中