華中科技大學(xué)流體力學(xué)第七章2

1、習(xí)習(xí) 題題7-17-1，7-27-27.2 7.2 速度環(huán)量與旋渦強(qiáng)度速度環(huán)量與旋渦強(qiáng)度速度環(huán)量速度環(huán)量 - 沿封閉曲線的切向速度積分1 1速度環(huán)量速度環(huán)量 ddddLLu xv yw zs v vddddxyzsijkuvwijkv v正方向：逆時(shí)針， 沿正方向行進(jìn)時(shí)，曲線所圍區(qū)域總是在左手邊。 Ldsv v例例 設(shè)速度分布為 u = -6y，v = 8x，求繞圓 x2 + y2 = 1 的速度環(huán)量。在圓 x2 + y2 = 1上,cosxsiny22006sin d(cos )8cos d(sin )14其速度環(huán)量為dd6 d8 dLLu xv yy xx y解解2 2旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度渦量

2、渦量 - 速度場(chǎng)的旋度 2 v v12 v v面積面積A上的渦通量上的渦通量 - - 渦量在 A 上法向分量的積分 dd2dAAAIAAAnnn v v也稱為旋渦強(qiáng)度旋渦強(qiáng)度(或渦強(qiáng)渦強(qiáng)) n - 面積 A 上的法向單位矢量。 當(dāng)面積 A 在 xoy 平面上，nx = 0，ny = 0，nz = 1 所以z2dAIA旋渦強(qiáng)度類似于體積流量，它表示通過指定面積旋渦量，這就是它被稱為渦通量渦通量的原因。 2d2dxxyyzzAAIAnnnAn 例例 設(shè)速度分布為 u = -6y，v = 8x，求 x2 + y2 = 1所 圍圓面積上的旋渦強(qiáng)度。在面積 A上旋渦強(qiáng)度2d27d2 714zAAIAA1

3、186722zvuxy解解 旋轉(zhuǎn)角速度與上個(gè)例題中速度環(huán)量相等。3 3斯托克斯斯托克斯( (Stokes) )定理定理根據(jù)數(shù)學(xué)定理: 如果 A 是封閉曲線 L 所圍的單連通區(qū)域，則dddcoscoscosdLAP xQ yR zRQPRQPn,xn,yn,zAyzzxxy令 P = u， Q = v， R = w，2xRQwvyzyzcosxn,xn2yPRuwzxzx2zQPvuxyxycosyn,yncoszn,znLAd2dLAAIsn v vAL nddd2dxxyyzzLAu xv yw znnnA 封閉曲線 L 上的速度環(huán)量與 L 所圍單連通區(qū)域 A 上的旋渦強(qiáng)度之間具有等量關(guān)系。

4、 斯托克斯定理中的 A 可以是空間曲面 面積，而不一定要求是平面面積。 無旋流動(dòng)無旋流動(dòng) - 沿流場(chǎng)中任意封閉曲線 的速度環(huán)量均為零2Ivr例例 測(cè)出龍卷風(fēng)旋轉(zhuǎn)角速度為 = 2.5 rad/s，風(fēng)區(qū)最大 風(fēng)速為 vmax = 50 m/s。求出整個(gè)龍卷風(fēng)區(qū)域的風(fēng)速 分布。I 是龍卷風(fēng)的旋渦強(qiáng)度。解解 龍卷風(fēng)可以被看成是一股垂直于地面的旋轉(zhuǎn)流體， 它的中心部分(渦核區(qū))以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)， 并帶動(dòng)周圍流體繞其轉(zhuǎn)動(dòng)，其流動(dòng)是無旋的。在渦核區(qū)內(nèi) r R ，流體速度分布為由兩個(gè)區(qū)域的速度表達(dá)式可以看出，最大速度發(fā)生在渦核區(qū)的外緣，即 r = R 處。由渦核區(qū)速度表達(dá)式得max5020 m2.5vR

5、21000 m/s2IRvrrr 2.5 m/s , 20 m1000 m/s , 20 mr rv rr222IRvR龍卷風(fēng)的旋渦強(qiáng)度等于沿 r = R 圓周的速度環(huán)量渦核外速度為龍卷風(fēng)區(qū)域的風(fēng)速分布7.3 7.3 旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念旋渦運(yùn)動(dòng)的基本概念1 1渦線與渦管渦線與渦管渦渦線線 - 處處與渦矢量 相切的空間曲線。渦線也可以被看成是流體質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。 2 由于ddd, , , , , , ,xyzu x y z tv x y z tw x y z t流線方程 2 1 3 4ddd, , , , , , ,xyzxyzx y z tx y z tx y z t渦線方程渦線不相交，并且

6、具有瞬時(shí)性。渦渦管管 - 由渦線組成的管狀曲面。渦管強(qiáng)度渦管強(qiáng)度 - 渦管橫截面積上的渦通量。 渦管的例子：渦管的例子： 龍卷風(fēng)渦核部分像柱形的剛體一樣高速旋轉(zhuǎn)，其流體質(zhì)點(diǎn)都具有很大的旋轉(zhuǎn)角速度；渦核區(qū)以外的流體在渦核區(qū)流體的帶動(dòng)下作圓周運(yùn)動(dòng)，但其質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度卻為零。龍卷風(fēng)渦核區(qū)的外邊界可以被近似地看成是一個(gè)渦管。 類似地，江水、河水中的旋渦也可以被近似地當(dāng)作渦管處理。海姆霍茨定理 任一瞬間沿渦線方向渦管強(qiáng)度不變。 證明證明 0 1 2ddAAAVAVn 00n 0 v v 1 2ddAAAA nn 在渦管管壁 A0 上有 n0n1n2A0A2A1推論推論 在流場(chǎng)中渦管不能中斷。 渦管只可

7、能以下列三種形式出現(xiàn)： 一端或者兩端延伸到無窮遠(yuǎn)； 自身形成封閉環(huán)； 端部中止于物面或者其它邊界。例例 抽煙者吐出的煙圈是封閉的渦環(huán)； 龍卷風(fēng)一端始于水面，另一端升入云層； 河水中的旋渦一端始于水底河床，另一端終于水面。 2 2開爾文（開爾文（Kelvin）定理）定理 在討論無旋流動(dòng)時(shí)，很自然要提出的問題是： 開爾文定理指出了旋渦生成的原因，因而能夠幫助我們對(duì)上述問題做出回答。定義定義 如果質(zhì)量力矢量可以表示為某函數(shù)的梯度，即，f例例 重力場(chǎng)是最常見的有勢(shì)力場(chǎng)， ggzfkgz- 力勢(shì)函數(shù)力勢(shì)函數(shù)則該質(zhì)量力場(chǎng)為有勢(shì)質(zhì)量力場(chǎng)有勢(shì)質(zhì)量力場(chǎng)。例例 科里奧利力是非有勢(shì)質(zhì)量力。gzgzgzgzgxyzi

8、jkk定義定義 如果流體密度只是當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)的單值函數(shù)，即 pFP- 壓強(qiáng)函數(shù)壓強(qiáng)函數(shù) 該流體為正壓流體正壓流體。此時(shí)，可以定義一空間函數(shù) dFpPpddFpP或11dddddd1ddddddddFFFFFFFFFFPPPpppxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzPPPpppxyzxyzxyzxyzpPijkijkijkijkijkijkpPF1又可以表示為正壓條件ddFpP定義定義 如果流體密度只是當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)的單值函數(shù)，即 p dFpPpFP- 壓強(qiáng)函數(shù)壓強(qiáng)函數(shù) 該流體為正壓流體正壓流體。此時(shí)，可以定義一空間函數(shù)pPF1或者 FpPC例例 等熵流動(dòng)的均質(zhì)氣體 是是 正壓流體, pC1F

9、pP例例 密度是常數(shù)的均質(zhì)不可壓縮流體 是是 正壓流體, 例例 大氣層中的空氣 不是不是 正壓流體，因?yàn)樵诖髿鈱又?空氣的密度不僅隨壓強(qiáng)變化，還與溫度、濕度有關(guān)。 例例 考慮到溫度、鹽含量對(duì)密度的影響，海水 不是不是 正 壓流體。 pPF11111dd111FpccpPpc pppp dFpPp1pp11pp為了證明開爾文定理，首先推導(dǎo)一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。 考察一條封閉的流體線 L，沿該封閉線速度環(huán)量為dL sv v 流體線由流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生運(yùn)動(dòng)，流體線的位置、形狀和長(zhǎng)度都會(huì)產(chǎn)生變化。為了研究沿流體線的速度環(huán)量隨時(shí)間的變化，先研究沿流體線上一個(gè)微段的速度積分對(duì)時(shí)間的變化率。 由矢量相加

10、的運(yùn)算法則得到 t 時(shí)刻：dst+ t 時(shí)刻：ds1ddtt ssv vv vdd sv v1dddtssv vv vv vv v設(shè) 0 點(diǎn)速度矢量為 v v，0 點(diǎn)速度矢量為v v ，沿 ds 的切向速度積分是沿 ds 的切向速度積分是1002dddddlimlimddd dddddd2tttttttVtt sssv vv vv vv vv vv vv vv vv v2 dddddddddddd2LLLVttttsv vdddddLttsv vd 對(duì)時(shí)間的變化率為 沿整條曲線 L 的速度環(huán)量 對(duì)時(shí)間的變化率為 沿封閉流體線速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的變化率等于加速度環(huán)量。 = 01ddtsv vv vv

11、 vdd sv v 理想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，沿任意封閉流體線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。證明證明 理想流體的運(yùn)動(dòng)方程為d1dptfv vFPp1f對(duì)于正壓流體：對(duì)于有勢(shì)質(zhì)量力：ddFPtv v ddddd0ddFFLLLPPttssv v定理得證開爾文開爾文( (湯姆森湯姆森) )定理定理 由斯托克斯定理，沿封閉流體線的速度環(huán)量等于流體線所圍曲面面積上的旋渦強(qiáng)度。既然速度環(huán)量不隨時(shí)間變化，旋渦強(qiáng)度也不會(huì)隨時(shí)間變化。 如果在某一時(shí)刻流動(dòng)無旋，則任意流體面上的旋渦強(qiáng)度都等于零，在推論條件下，旋渦強(qiáng)度不隨時(shí)間變化，因此在此前和此后的所有時(shí)刻旋渦強(qiáng)度也必定為零，所以流動(dòng)也是無旋的。 推論推論 理

12、想、正壓流體在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下，只要在某一時(shí)刻流動(dòng)無旋，在此前和此后的所有時(shí)刻流動(dòng)也必定無旋。如果流動(dòng)是由靜止?fàn)顟B(tài)啟動(dòng)的，它將始終無旋。開爾文爵士(Lord Kelvin, 1824-1907) 1824年生于愛爾蘭的貝爾法斯特，原名威廉.湯姆森(WilliamThomson)，1845年畢業(yè)于劍橋大學(xué)，1846年起任格拉斯哥大學(xué)物理學(xué)教授，因在裝設(shè)大西洋海底電纜中的突出貢獻(xiàn)，1892年被封為開爾文爵士 。 開爾文在熱學(xué)、電磁學(xué)、流體力學(xué)、光學(xué)、地球物理、數(shù)學(xué)、工程應(yīng)用等方面都做出過杰出貢獻(xiàn)，一生發(fā)表論文600余篇，取得發(fā)明專利70余種，其中在熱學(xué)和電磁學(xué)等方面取得的成就尤為出色，熱力學(xué)溫度

13、(K)使用了他的名字命名。 流體具有粘性，流體是非正壓的和非有勢(shì)質(zhì)量力的作用是產(chǎn)生旋渦運(yùn)動(dòng)的原因。 流體粘性生成旋渦的例子流體粘性生成旋渦的例子 當(dāng)流體流經(jīng)物面時(shí)形成邊界層，邊界層是很薄的旋渦層。 速度的間斷面會(huì)產(chǎn)生旋渦。3 3旋渦運(yùn)動(dòng)的生成旋渦運(yùn)動(dòng)的生成 流體非正壓生成旋渦的例子流體非正壓生成旋渦的例子 大氣層中的空氣及海洋中的海水都是非正壓流體。 海陸風(fēng)、季風(fēng)、赤道地區(qū)的貿(mào)易風(fēng)是大氣層中空 氣非正壓所產(chǎn)生的旋渦運(yùn)動(dòng)； 海洋環(huán)流是海水非正壓所產(chǎn)生的旋渦運(yùn)動(dòng)。 非有勢(shì)質(zhì)量力生成旋渦的例子非有勢(shì)質(zhì)量力生成旋渦的例子 拔掉澡盆的塞子會(huì)出現(xiàn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的渦； 北半球逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的臺(tái)風(fēng)和龍卷風(fēng)； 地球自