利用極坐標(biāo)解圓錐曲線題

1、利用極坐標(biāo)解題知識(shí)點(diǎn)精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn) )的距離和一條定直線 (準(zhǔn)線 )的距離的比等于常數(shù) e 的點(diǎn)的軌跡 ?以橢圓的左焦點(diǎn) (雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn))為極點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F 作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線，垂足為 K，以 FK 的反向延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系?橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：ep.?1 ecos?其中 p 是定點(diǎn) F 到定直線的距離，p 0?當(dāng) 0 e 1 時(shí)，方程表示橢圓； ?當(dāng) e 1 時(shí)，方程表示雙曲線，若0，方程只表示雙曲線右支，若允許0，方程就表示整個(gè)雙曲線；?當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向右的拋物線.引論（ 1）若ep1+e cos

2、則 0 e 1 當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng) e 1 方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線（2 ）若ep1-esin當(dāng) 0 e 1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng) e 1 時(shí) !方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線ep（3）1+esin當(dāng) 0 e 1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng) e 1 時(shí) !方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線例題選編（1）二次曲線基本量之間的互求例 1.（復(fù)旦自招）確定方程10表示曲線的離心率、焦距、長(zhǎng)短軸長(zhǎng)。解法一：25 3cos3105313 cos53

3、10e， P5 313 cos5c33c25a5aa58b21051015c3a c3c38b(25)2(15)25882315長(zhǎng)軸長(zhǎng)25，短軸長(zhǎng)5方程表示橢圓的離心率 e，焦距，454解法二：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)（ 2）圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題若圓錐曲線的弦 MN 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) F，1、橢圓中， pa 2cb2， MNepep) a22ab2.cc1 ecos1 ecos(c2 cos2若橢圓方程為，半焦距為，焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)的直線的傾斜角為交橢圓于A、 B 兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)。解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長(zhǎng)。同理可求得焦點(diǎn)在y 軸上的過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為（ a 為長(zhǎng)半軸， b 為短半軸，

4、c 為半焦距）結(jié)論：橢圓過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：2、雙曲線中， （注釋：雙曲線問(wèn)題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若 M 、 N 在雙曲線同一支上，MNepep2ab2；ecos1ecos() a2c2cos21若 M 、 N 在雙曲線不同支上，MNepep2ab2ecos1ecosc 2 cos2a21設(shè)雙曲線直線的傾斜角為，交雙曲線于，其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為A、 B 兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng) |AB|。，過(guò)的解：（ 1）當(dāng)時(shí)，（如圖2）直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、 B在同一交點(diǎn)上，連，設(shè)，由余弦定理可得，由雙曲線定義可得整理可得，同理，則可求得弦長(zhǎng)。（2）當(dāng)或時(shí)，如圖3，直線l 與雙曲線交點(diǎn)A、 B在兩支上，連，設(shè)

5、，則，由余弦定理可得，整理可得，則因此焦點(diǎn)在x 軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為同理可得焦點(diǎn)在y 軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式其中 a 為實(shí)半軸， b 為虛半軸， c 為半焦距，為 AB 的傾斜角。pp2 p3、拋物線中， MN1 cos() sin 21 cos若拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線相交于 A、 B 兩點(diǎn)，若的傾斜角為，求弦長(zhǎng) |AB| ？（圖 4）解：過(guò) A、 B 兩點(diǎn)分別向則點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為x 軸作垂線，點(diǎn)B 橫坐標(biāo)為為垂足，設(shè)，由拋物線定義可得，即則同理的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為，所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為例 2 已知拋物線 y2=2px（ p>0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為 k 的直線交拋物線于 A，B 兩點(diǎn)，求 A

6、B 長(zhǎng).練習(xí) 1：過(guò)雙曲線 x 2- y21的右焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線與A、 B 兩點(diǎn)，453求AB解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系即得53cosA(,),B( 2,)215353| 80AB|12 | |23cos23cos()733附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè) P（ x,y）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若 F1、 F2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF1aex， PF2aex；2、若 F1、 F2 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 在雙曲線右支上時(shí)，PF1exa ， PF2exa ；當(dāng)點(diǎn) P 在雙曲線左支上時(shí)，PF1aex ， PF2aex；3、若 F 是拋物線的焦點(diǎn)

7、，PFxp.2利用弦長(zhǎng)求面積2 2例 3設(shè)過(guò)橢圓 xy1 的右焦點(diǎn)的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面積。251622練習(xí) 2（ 08 年海南卷）過(guò)橢圓 xy1 的焦點(diǎn) F 作一條斜率為2 的直線與橢圓交于A，54B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB 的面積簡(jiǎn)解：首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|2ep求弦長(zhǎng)，然后利用公式e2cos211| AB |OF | sinAFO 直接得出答案。S AOB2年全國(guó)高考理科 )已知點(diǎn) F 為橢圓 x2練習(xí) 3 (2005y 21的左焦點(diǎn) .過(guò)點(diǎn) F 的直線 l1 與橢2圓交于 P 、 Q 兩點(diǎn)， 過(guò) F 且與 l1 垂直的直線 l 2 交橢圓于 M

8、 、 N 兩點(diǎn)， 求四邊形 PMQN 面積的最小值和最大值 .2解析：以點(diǎn) F 為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：22 cos12設(shè)直線 l1 的傾斜角，則直線 l2的傾斜角為900 ，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式知：|PQ|2，|MN |221 cos21 cos2 (900 )1 sin 2111222用他們來(lái)表示四邊形的面積S1 | PQ |g| MN |111112sin221sin2224gcos2161即求的最大值與最小值1 1 sin2 22 16由三角知識(shí)易知：當(dāng) sin 21時(shí)，面積取得最小值16 ；當(dāng) sin 20 時(shí)，面積取得最大值 29利用弦長(zhǎng)公式解決常量問(wèn)題x

9、2y21 (ab 0)例 4過(guò)橢圓 a 2b 2的左焦點(diǎn) F，作傾斜角為 60的直線 l 交橢圓于 A、 B兩點(diǎn)，若 FA2 FB ，求橢圓的離心率 .簡(jiǎn)解：建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為e pe pe p1ecos則 FA1 ecos 60 0 , FB1 ecos 240 0 ， e p2e p，解得 e2；ee31122練習(xí) 4求過(guò)橢圓距離。2的左焦點(diǎn)，且傾斜角為的弦長(zhǎng) AB 和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的3 cos42解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：3則離心率 e121， ep，331 cos3p2所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè) A(1,5) ，代入極坐標(biāo)方程，則

10、弦長(zhǎng)),B( 2,44AB1222245173cos3cos4（3）定值問(wèn)題4例 5.拋物線y22 px( p 0) 的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b 的兩段，證明：11定值。ab解：以焦點(diǎn)F 為極點(diǎn)，以FX 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為p，設(shè) A(a, ), B(b,)1 cos將 A,B 兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得ap, bpcos1cos()1則 11=1cos1cos() =2 （定值）abppp點(diǎn)睛：引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦MN 經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) F，則有112MFNFep例 6經(jīng)過(guò)橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB 和弦 CD,求證11AB為定值。CD證明

11、：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為ep，又設(shè)1 ecosA1,1,B2,+ ,C3,2+,D4 ,3+則代入可得2|AB|2ep，| AB|12ep則11= 2-e21e2 cos2e2 sin 2ABCD2ep注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣 1 若經(jīng)過(guò)橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣 2 若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例 7 (2007重慶理改編 )中心在原點(diǎn) O 的橢圓 x2y21 ，點(diǎn) F 是其左焦點(diǎn)，在橢圓上任3627取三個(gè)不同點(diǎn) P1,P2 ,P3 使 P1FP 2 P2 FP3

12、 P3 FP11200 證明：111FP 2為定值，并求此定值FP1FP3解析：以點(diǎn) F 為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：9，設(shè)點(diǎn) P1 對(duì)應(yīng)2cos的極角為，則點(diǎn) P2 與 P3 對(duì)應(yīng)的極角分別為1200 、1200 ， P1 、 P2 與 P3 的極徑就分別是|FP1|9、|FP2|9與 |FP3 |2cos2cos(1200)9，因此2cos(120 0)1112 cos2 cos(1200 )2cos(120 0)FP1FP 2FP3999，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們知道coscos(1200 )cos(1200)0 ，因此1112為定值FP1FP 2FP33點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示| FP1 |、 | FP2 |與 | FP3|，這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑就不會(huì)象解析幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn)推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例 8（ 2006全國(guó)聯(lián)賽江蘇）橢圓x 2y21 的右焦點(diǎn)為 F， P12242516，P， ， P 為 24 個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P1 是橢圓的右頂點(diǎn)，并且P1FP2= P2FP3= P3FP4= =P FP . 若這 24 個(gè)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的倒數(shù)和為S，