常微分方程試卷及復(fù)習(xí)資料

1、電-1 =口 dx uu-arctgu=x+c2010-2011學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試AB卷答案理學(xué) 院 年級信息與計算科學(xué)專業(yè)填空題(每題4分，共20分)1 .形如y' P(x)y Q(x) ( P(x),Q(x)連續(xù))的方程是一階線性微分方程，它的通解為 y e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx c .2 .形如y y 0的方程是二階 齊次.(齊次”還是“非齊次" 常.系數(shù) 的微分方程，它的特征方程為3 1 0.d nd n 1dv3 .形如xnd* a1xn1Y LL an1x1dy any 0的方程為 歐拉 方程,可通 dxdxdx過變換x et把它

2、轉(zhuǎn)化成常系數(shù)方程.,214 . y dx (x 1)dy 0,湎足初始條件：x =0, y=1的特解y 1 ln 1 x5 . 5.微分方程dy f (x,y),滿足y(%) y0,R: x x° a, y y° b的解存在且唯 dx一的條件是：f(x, y)在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件、下列微分方程的解(每題 5分，共30分)1.嘰 dx (x y)y-arctg(x+y)=c.2. x 4ydx 2xdyy3 3ydx 5xdy 023. x y dx解：令曳p,則y x p2, dx兩邊對x求導(dǎo)，得 p 1 2P曲解：兩邊同乘以x2y得:4x3y2dx 2x4ydy3

3、x2y x 4x 5x 2t 3解：特征方程3 4 2 50有根1 0, 21, 3 5齊線性方程的通解為x= ge t c2e5t c3t 3dx 5x3ydy 0 34235d x y d x y 0423 5故方程的通解為：x y x y c 5dx電3dx 2p解之得 x 2p In p 1 2 c ,所以 y 2p p2 In p 1 2 c, 4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.54. x(5)4x 0解：特征方程5 4 3 0有三重根 0,4 2,52 3又因為 0是特征根，故可以取特解行如 媯Atc .、一 14Bt2代入原方程解得A.,故通解為 x ce2tC2e 2tC

4、3t2c4t C5 5B=2 c故通斛為x=Ge Qe c3t -t6. xy yln y0,初值條件:y(1)=e解：原方程可化為dy Mny1dx x分離變量可得 .3yln y x兩邊積分可得ln y cx .4將初值代入上式求得方程的解：lny 2x 5二、求下列方程（組）的通解（每題 10分，共30分）1.求一曲線，使其任一點的切線在OY軸上的截距等于該切線的斜率.由題意得即也即兩邊同除以x2,得即dydxxdxydx xdyydx xdy2xdxdx解：設(shè)p（x,y）為所求曲線上的任一點，則在 p點的切線l在Y軸上的截距為: y xdydx7d(-)dln xxy cx xln10

5、為方程的解。2. :' 4x23y滿足初值條件x(0)y(0)解:方程組的特征值1 5, 21,對應(yīng)特征值15的特征向量應(yīng)滿足(A41E)U4U1U2對任意常數(shù)0, u對應(yīng)特征值21的特征向量V(A2E)v2v14 v2對任意常數(shù)0,所以基解矩陣為：(t)5te2e5t飛)5t e2e5tt et e1323u21,得u應(yīng)滿足V21,得v13131 5te31 5te3e32 te31 , e31 e35t5t1 t e31 t-e32e5t4e5t3.求方程dy 2x 1 3y2通過點(1,0)的第二次近似解. dx解：令0(x) 0 ,于是x22i(x) yo1 2x 1 3 o

6、(x)dx x x, 5x9142(x) yo1 2x 1 3 2(x)dx 14 x x2 x 3xv 5(3)20 5x5, 10五、應(yīng)用題（10分）全速時停止了發(fā)動機，過了 20秒鐘后,33.摩托艇以5米/秒的速度在靜水運動,艇的速度減至v1 3米/秒。確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運動速度成正比例。解：Fmak1vdv mdtdv dtkv其中kk1m解之得ln vktv 3。又t 0時,故得1 , 3ln -, 20 5ln5從而方程可化為當(dāng)t 2 60 120時，有v(20) 53組 (3)2050.23328 米/秒即為所求的確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。六

7、、證明題 (10分)1、試證：非齊次線性微分方程組的疊加原理：即：設(shè)Xi(t),X2(t)分別是方程組xA(t)x f1(t)XA(t)x f2(t)的解，則Xi(t) X2(t)是方程組'一一x A(t)X fi(t)f2(t)的解.證明：x' A(t)x f1(t)(1), , 、 、 ，一、X A(t)x f2(t)(2)分別將Xi(t),X2(t)代入(1)和(2)' 則 X1 A(t)X1f1'X2A(t)x f2(t). 5則 X1X2A(t)X1(t) X2 ff2 (t)X1(t) X2 (t)A(t)X1(t)X2(t)f1(t)f2(t)令

8、x x1(t) x2(t)t-t t-t1,、，、，、即證 x A(t)xf1 (t)fz(t) 102010-2011學(xué)年第 二 學(xué)期常微分方程考試B卷答案理學(xué) 院 年級 信息與計算科學(xué) 專業(yè)、填空題(每題4分，共20分)1. M(x,y)dx N(x, y)dy 0是恰當(dāng)方程的充要條件是 ;其通解可用曲線積分表示為M (x, y)dxM (x, y)dx dy c.2.方程y xy (y),(可彳散)叫 克萊羅方程，其通解是y cx (c),其奇解是x (p) 0, y xp (p),3 .形如y 4y x2的方程是2 階 非齊次(齊次”還是“非齊次”)常系數(shù)的微分方程，它的特征方程的特征

9、根為2, 24 .若 (t),(t)是同一線性方程 出 A(t)X的基解方陣，則它們問有關(guān)系dt(t) C (t), C為可逆矩陣.5 . 5.微分方程dy f(x,y),滿足y(x() y0,R: x x0 a, y 、0b的解存在且唯dx一的條件是：f(x, y)在R上連續(xù)且滿足利普希茨條件、下列微分方程的解(每題5分,共30分)1. dy2 y y3 x x解:則:dydxdux dx得到駕1-u xdx-2xdux一dx2故u故xy C.5另外y 0也是方程的解。2. dy = y sin x dx解:dxy= e (dxsin x edx c)3.t,4.=ex - 1e2=c e

10、x- 123ydxx( sin x(sin xcosx)+ccosx）是原方程的解。3t2dy y6t1 tldt6 t 3dt6t6t解為2t23t21C1ty 2y 10y解：特征方程2100有復(fù)數(shù)根11 3i, 21 3i,3故通解為 x je t cos3tc?e t sin 3t5 .xdy ydx 0解：原方程可化為dxy 06 . x 6x 8x e 2t解：特征方程 2 68 0有根1 -2, 2 -4 1故齊線性方程的通解為x=cie 2t C2e 4t 3-2是特征方程的根，故 Ate 2t代入原方程解得A= 1 44故通解為 x=c1e t c2e 5t - e2t 54

11、三、求下列方程(組)的通解(每題 10分，共30分) 2 x1.y 2ay a y e解：特征方程2 2a a2 0有2重根 -a .2當(dāng)a=-1時，齊線性方程的通解為s=c1et c2tet,1是特征方程的2重根，故 At 2S代入原方程解得 A= 2通解為 S=Ge, c2tet 1t2, .62當(dāng)a -1時，齊線性方程的通解為S=c1e at c2te at,1不是特征方程的根，故x Ag代入原方程解得A二(a 1)故通解為 S=ceat c2te at+2"et .10(a 1)2x yx 2y求其基解矩陣dx2 dt .dy dt解:det (E A)=0 得 1 = J3

12、 ,2 = - v 3對應(yīng)于1的特征向量為對應(yīng)于2的特征向量為v=1.3v=是對應(yīng)于2的兩個線性無關(guān)的特征向量(t尸(2e 3t3)e *e 3t(2.3)e 3t是一個基解矩陣3.求方程dy dxy2通過點(1,0)的第二次近似解.解：令0(x)于是1(x)V。x1x0 (x)dx12,2(X)V。x1x21 (x)dx11301 5一x ,2010五、應(yīng)用題(10分)1.求一曲線，過點(1,1),其任一點的切線在OY軸上的截距等于a2.解：設(shè)p(x,y)為所求曲線上的任一點，則在p點的切線l在Y軸上的截距為:y xdy dx由題意得兩邊同除以x2,得即y xdy dxdydx2y axd ln y a2d In x3 5. 7cx8將X 1,y 1代入上式得c a2 1 o .10六、證明題 (10分)1、試證：如果 。)是乂 =Ax滿足初始條件(t0)=