2017_2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章幾個(gè)重要的不等式學(xué)案選修

1、第二章幾個(gè)重要的不等式§ 1柯西不等式1.1簡(jiǎn)單形式的柯西不等式尹自主預(yù)習(xí)3課前預(yù)皂區(qū)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .認(rèn)識(shí)并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式2 .會(huì)用柯西不等的代數(shù)形式和向量形式證明比較簡(jiǎn)單的不等式，會(huì)求某些函數(shù)的最值預(yù)習(xí)自測(cè)1 .柯西不等式若 a, b, c, de R,則(a2+b2)( c2+ d2) > (ac+ bd)2,等號(hào)成立？ ad= bc.2 .柯西不等式的向量形式設(shè)a , 3為平面上的兩個(gè)向量，則| a - 3 I < U | 3 I ,當(dāng)且僅當(dāng)3是零向量，或存在實(shí)數(shù)k,使a =k3時(shí)，等號(hào)成立.自主探究1 .如何證明:a1, a2, b1, bz

2、C R時(shí),(a2+a2)( b2+b2)>( ab+a2b2)2?提木(a2+a2)( b2+b2) (ab1 + a2b2)2n 0? a2b2+ a2b2+ a2b2+ a2b2- a1b1 a2b2 2aba2b2> 0? a2b22a1b1a2b2 + a!b2> 02? (a1b2 a2b1) > 0.上式中等號(hào)成立？ a1b2= a2b1.2 .設(shè)平面上兩個(gè)向量為a = (a1, a2), 3 = (b1, b2),你能證明| a | 3 I I a , 3 嗎？主目一 .a , 3a b1 + 32b2- COSa, 3一 I 11 qi j 2f. 2

3、2=i，| 3 |Na1 + aNb1+b222(ab+a2b2), cos 3= g2+a2) (b2 + b2)"即(a1+a2)( b2+b為，( ab+a2b2)2,4a2+ a2 61Tbi> | a1b1 + a2b2|.'.I a | 3 | >1 a 3 | ,等號(hào)成立的充要條件為a =入3 (入W0).講練互動(dòng) J課堂講練區(qū)典例剖析知識(shí)點(diǎn)1利用柯西不等式證明不等式【例1】 已知3x2+2y2W6,求證：2x+ywyii.2i證明 由于 2x+y=hj3x) +-(V2y).3 X Xi -X2)+ y yi - y2).證明 ( x2+y2+ ,

4、x2+y2)2=x2+ y2+ 2xi+ y2 x2 + y2 + x2+ y2一 2 .22>xi + yi+ 2| X1X2+ yiy2| + X2+ y >Xi+ yi 2( XiX2+ yiy2)+ X2+ y 2 ,2222=Xi 2xiX2+ X2+ yi 2yiy2+ y2= (Xi X2) + ( yi y2)yjx； + yi + Rx2+ y2nyj (xi X2)(yi -y2)2【反思感悟】在平面中設(shè)a = (Xi,yi), 3 =(X2,y2),則a + 3 = (Xi+ X2,yi± y2),由向量加法的三角形法則知:|a|+l 31 引 a

5、+ 3|? Xi + yi + X2 + y2 4(Xi + X2)2+ (yi+y2)2,由向量減法的幾何意義知: |a|十|3|>| a - 3 I ?.Xi + yi +X2 + y2 >4 (xi X2) 2+ (yi y2)2.察變式訓(xùn)練a2+ b22.利用柯西不等式證明：由柯西不等式(aibi + a2b2) &( a2 + a2)( b2 + b2)得(2X+y)2wii6=-X6=ii, 6|2 x+y| </ii,2x+y<ii.【反思感悟】 柯西不等式(a2 + a2)( b2+b2) >(aibi+a2b2)2? /a2+ a2 Jb

6、2+b2引 aibi + a2b2| ,應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵是對(duì)已知條件的變形.總變式訓(xùn)I練i.已知 a,b,c, de R,x>0,y>0,且x2= a2 + b2,y2=c2 + d2,求證：Xy >ac+ bd.證明由柯西不等式知:ac+ bdw a2 + b2 ； c2 + d2 = x2 - y2= Xy. .Xy >ac+bd.2222【例2】（二維形式的三角不等式）設(shè)X1,y1,X2,y2eR,用代數(shù)的方法證明X2+ y2 +2+y2證明知識(shí)點(diǎn)2利用柯西不等式求函數(shù)的最值【例3】 求函數(shù)y = 5#十寸0 2x的最大值.解 函數(shù)的定義域?yàn)閤|1WxW5.y= 5jx

7、-1 + *r5 xw E+2x 1 +5x= 427x2= 6y3當(dāng)且僅當(dāng)5y/5x =/ 9口127即x=行時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為 6木.【反思感悟】解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，使形式上適合應(yīng)用柯西不等式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時(shí)的自變量的值.獷變式訓(xùn)練3 .已知x + y=1,求2x2+3y2的最小值.解 2x2+3y2=(/x)2+(V3y)26c11 2 62 6>5嚴(yán)正淄yR=5(x+y) =5.課堂小結(jié)1 .二維形式的柯西不等式(a2 + a2)( b1+b2) n (a1bd a2b2)2,當(dāng)且僅當(dāng) ab2= ab 時(shí)等號(hào)成立.2 .推論：(1)( a+b)

8、 - (c+ d) >(yac+/bd)2；3 2) Ra1 + a2 jb + b2 刁 ab+a2b2| ； 遍Hal -4b2 + b2 刁 abl + | a2b2|.4 .柯西不等式的向量形式| a - 3 | W I a | 3 | ,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)入W0,使a =入3時(shí)等號(hào)成立.5 .二維形式的三角不等式(1) Ja + a2 + yjb + b2>yj (aH- b1) + ( a+ b2)- (或迎+ a2 + >/b2+ b2 > yj (a1 b+ 2+ ( a2 b2)2)；(2) X(a1 bO + ( & 一 b) +。(b1 C1

9、) + ( b2 C2)- nM (a c) 2+ ( a2 2.隨堂演練1 .寫出空間直角坐標(biāo)系中柯西不等式的代數(shù)形式解(a1+ a2 + a3)( b1+ b2 + b3)b2, b3c R).2,(ab +a2b2+a3b3)(ai, a2, a3, bi,ai a2 a3.當(dāng)且僅當(dāng)£=E=反時(shí)等號(hào)成立.2 .寫出空間代數(shù)形式的三角不等式解有兩種形式分別對(duì)應(yīng)定理3、定理4.定理 3 為,ai + a2 + a3 + ,bi + b2 + b3, yj ( ai + b)2+ ( a2+ b2)2 + ( a3 + b3)2定理 4 為'(ai bi)- ")T

10、-( a3 b3)2 +y (bi ci) 2+ ( b2 c2)2+ ( b3 c) 2(aici) 2+ (a2c2)2 + (a3c3)2.3 .已知 a2+b2 + c2=i, x2+y2 + z2=i.求證：ax+by+czwi.證明由柯西不等式得:(a2 + b2+ c2)( x2+ y2+z2) >( ax+ by+ cz)2.a2+ b2+ c2= 1, x2+y2+z2=1,| ax+by+ cz| < 1.ax+ by+czw 1.尹課時(shí)作業(yè) 課后鞏固區(qū)一、選擇題1.下列說法:二維形式的柯西不等式中a, b, c, d沒有取值限制二維形式的柯西不等式中a, b,

11、 cd只能取數(shù)，不能為代數(shù)式柯西不等式的向量式中取等號(hào)的條件是其中正確的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè)C.3個(gè)解析 由柯西不等式的概念知，只正確,答案 Aa = 3 .B.2個(gè)D.0個(gè)a, b, c, d是實(shí)數(shù)，沒有其取值限制2.函數(shù)y=X+1:92，勺最小值是（）A.20B.25C.27D.182929解析y = L2x+（1-2x）攵 +=（必）2 + （小2x）3.設(shè) a、be（0 ,+8）,且a2 b2Ab, p= - + pQ= a+ b,則（A.P>QB.P> QC.P<QD.Pw QVa j= （a+ b）2,軻+（也）2解析2-=a+ b.a>0, b>0,a

12、+ b>0. - 1a' +1'（a?a+ bb a a+ b又 awb,而等號(hào)成立的條件是Qa2 b2Q即 a= b, 1. + a>a+ b.即 P>Q答案 A二、填空題I 、， 一1,222,一一I4 .設(shè)a、b、c是正頭數(shù)，且 a+b+c=9,則:+1 十二的取小值是a b c解析.(a+b+c),+b+c 尸 (洞 2+(祗2+gr(jaj+/|+/ij5 .若 a2+ b2 + c2= 2, x2 + y2 + z2 = 4,則 ax+ by+ cz 的取值范圍是 . 解析(a2 + b2+ c2)( x2+y2+ z2) >( ax+ by

13、+ cz)2, ，(ax+by+ cz)2< 8,， 2gwax+by+ cz<22.答案22, 226 .設(shè) a, b, m nCR,且 a2+ b2= 5, m什 nb= 5,則m2+ n2的最小值為 解析運(yùn)用柯西不等式求解.根據(jù)柯西不等式(m升 nb) 2< ( a2+b2)( m2+ n2),得 25W5(m2+nj, m2+ n2>5,4m2+ n2 的最小值為5.答案 ，5三、解答題7 .若2x+ 3y= 1,求4x2+ 9y2的最小值，并求出最小值點(diǎn).解 由柯西不等式(4x2+9y2)(1 2+12)>(2x+3y)2=1,-4x2+ 9y2>

14、2.當(dāng)且僅當(dāng)2x - 1 = 3y - 1,即2x=3y時(shí)取等號(hào)2x=3y, 由i|2x+3y= 1.c c 14x2+9y2的最小值為2,最小值點(diǎn)為8 .設(shè) a, be(0 , +oo),若 a+b= 2,求；+b的最小值.1 1解.(a+by+bJ=(洞2+(軻母?+加231)一-2 '-+1 |>4,即 1 + 1>2.a b a b1小忑,即a=b時(shí)取等號(hào),當(dāng)且僅當(dāng) a1 ,b當(dāng)a= b= 1時(shí)，-十二的最小值為2.a b9 .已知 a2+ b2 = 1, a, be R,求證：| acos 0 + bsin 0 | < 1. 證明 (acos 0 + bsi

15、n 0 )2<(a2+ b2)(cos 2o + sin 2 0) = 11=1,| acos 0 + bsin 0 | < 1.1.2一般形式的柯西不等式廠自主預(yù)習(xí) J課前預(yù)習(xí)區(qū)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，過渡到柯西不等式的一般形式2 .會(huì)用三維形式及一般形式的柯西不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值預(yù)習(xí)自測(cè)1 .定理2,設(shè)a1, a2,，an與b1, b2,，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a2 + a2+ a2)(b2+b2+ + b2)n( ab + a2b2+ anbn)2,當(dāng)向量(a1,a2,，an)與向量(b1,b2,，bn)共線時(shí),等號(hào)成立.2 .證明柯

16、西不等式的一般形式白勺方法稱為參數(shù)配方法.3 .推論設(shè) a1, a2, a3, bs b2, b3 是兩組實(shí)數(shù)，則有 (a2+ a2+ a2)( b1+ b2+ b2)4(&匕+ a2b2+ a3b3)2. 當(dāng)向量(a1, a2, a3)與向量(b, b2, b3)共線時(shí)“=”成立.自主探究1 .由二維的柯西不等式的向量式| “ | 3 I >1 a 3 ,你能推導(dǎo)出二維的柯西不等式的代數(shù)式嗎？提不 設(shè) a = (a1, a2), 3 = (b1, b2),則 a , 3 = a1b1+ a2b2代入向量式得：(a1+ a2)( b2+ b2) >( ab+ a2t2)2.

17、當(dāng)且僅當(dāng)a1b2 = a2b1時(shí)，等號(hào)成立.2 .在空間向量中，| a | 3 I >1- 3 I ,你能據(jù)此推導(dǎo)出三維的柯西不等式的代數(shù)式嗎？提不 設(shè) a = (a1，a2, a3), 3 = (b1, b2, b3),則a , 3 = abi+a2b2+a3b3代入向量式得(ai + a2 + a3)( b1+ b2 + b3)(aibi + a2b2+ a3b3)2.當(dāng)且僅當(dāng)“與3共線時(shí)，即存在一個(gè)數(shù) k,使得ai=kbi ( i =1, 2, 3)時(shí)，等號(hào)成立.3 .你能猜想出柯西不等式的一般形式并給出證明嗎？提示柯西不等式的一般形式為：若ai,a2,，an,bi,b2,，bn都

18、為實(shí)數(shù)，則有(a2 +a2+ a2)( b2 + b2+ + bj >( aibi+a2b2+ anbn)2,證明如下：若ai = a2 = 3= an= 0,則不等式顯然成立，故設(shè) ai, a2,，an至少有一個(gè)不為零，則a2 +a2+ a2>0.考慮二次三項(xiàng)式 (a2+a2+ a2)x2 +2(aibi + a2b2+ anbn)x+(b2+b2+ bn)=(aix+ bi)2+ (a2x+ b2)2+ (anx+ bn)2> 0.對(duì)于一切實(shí)數(shù)x成立，設(shè)二次三項(xiàng)式的判別式為A,則* = (aibi + a2b2+ anbn)2(a2 + a2+ a3( b2+b2+ b2

19、) <0.所以(a2+a2+ a2)( b2+b2+ + b2)>(aibi + a2b2 + + anbn)2.ii即(a2+a2+ a2) 2( b2+b2+ b，2 刁 aibi + a2b2+ anbn|營(yíng)講練互動(dòng)課堂講練區(qū)典例剖析知識(shí)點(diǎn)1利用柯西不等式證明不等式【例1】設(shè)a, b,c為正數(shù)且互不相等，求證:a+ b+ b+ c" c+ a a+ b+c證明2( a+ b+c)b+ c+ c+ az=(a+b) + (b+c) + (c+a)a+ b+b+ c+ c+aj=(=a+ b) +(業(yè)+ c) + (yjc+ a) ,2229a+ b+ b+ c+ c+

20、 :a+ b+c. a, b, c互不相等，等號(hào)不可能成立，從而原不等式成立【反思感悟】有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，就可以達(dá)到利用柯西不等式的目的冷變式訓(xùn)練1 .已知a1, 32, a3為實(shí)數(shù)，b1, b2, b3為正實(shí)數(shù).2222“十 a1 a2 a3(a1+ a2+ a3)求證：b1+b2 + b3> b1+b2+b3.證明由柯西不等式得:b1 + b2+ b3)a1a2a3 2，底正+而而+而呵=(a1+ a2+ a3) 2.222/、2a1a2a3(al+a2+a3)+ -+ > ；b1 b2b3b + b2 + bs知識(shí)點(diǎn)

21、2利用柯西不等式求函數(shù)的最值例2 已知a, b, ce(0 ,+8)且a+ b+c= 1,求14a+1 + /4b+ 1 +小c+ 1的最大值.解甲a+1 + /4b+ 1 + *c+ 1 =個(gè) 4a+ 1 1 + =4b+ 1 1 +，4c+1 1 w(4 a+ 1 + 4b+ 1 + 4c+ 1)1 +12+ 12) g =6淄=聲.4a+14b+14c+1當(dāng)且僅當(dāng)h=h= h一時(shí)取等號(hào)1.即a=b=c=3時(shí)，所求的取大值為 421.【反思感悟】 利用柯西不等式，可以方便地解決一些函數(shù)的最大值或最小值問題.通過巧拆常數(shù)、重新排序、改變結(jié)構(gòu)、添項(xiàng)等技巧變形為能利用柯西不等式的形式冷.變式訓(xùn)練

22、2.設(shè) 2x+3y+5z=29,求函數(shù) u=2x+1 + 3y+4 +5z+6的最大值.解根據(jù)柯西不等式120=3(2 x+ 1) + (3y+4) +(5z+6) >(1 X 也+ 1 + 1X3y+ 4+1X pz + 6)2,故 2x+1+ 3y+4+ 5z+6<2 30.當(dāng)且僅當(dāng) 2x+1 = 3y+4=5z+6,3728晨y=萬，Umax= 2 30.22z= 77時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)15知識(shí)點(diǎn)3利用柯西不等式解方程【例3】在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程x2+ y2+ z2=94-8x+6y-24z= 39.解 由柯西不等式，得(x2+y2+z2)( - 8) 2+ 62+(- 24)2

23、>(-8x+6y-24z)2. (x2+y2+z2)( - 8) 2+ 62+( -24) 2=|x (64 + 36+ 576) =39：又(-8x+ 6y- 24y) 2= 39；. .(x2+y2+z2)( - 8) 2+ 62+( -24) 2=(-8x+6y-24z)2,即不等式中只有等號(hào)成立，從而由柯西不等式中等號(hào)成立的條件，得它與8x + 6y-24z= 39聯(lián)立，可得x=- 6-, 丫 =烹 z=- 18. 13 y 2613【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，關(guān)鍵是由不等關(guān)系轉(zhuǎn)換成相等關(guān)系，然后再通過等 號(hào)成立的條件求出未知數(shù)的值 紿變式訓(xùn)練3.利用柯西不等式解方程：2

24、,1 2x + g + 3 = #5.2/1 2x +：4x+3 =小山4x +1 44x+ 3 ，2 4x+ 4x+3 - /2Tl =5 3 = /15.又由已知21-2x +44x+3 =#5.所以等號(hào)成立, 由等號(hào)成立的條件 小4x - 1 = *x+ 3 木得：24x= 8x+ 6, x=, 3即方程的解為x = -1.3課堂小結(jié)柯西不等式的證明有多種方法,如數(shù)學(xué)歸納法；教材中的參數(shù)配方法（或判別式法）等，參數(shù)配方法在解決其它問題方面也有廣泛的應(yīng)用.柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛，常見的有證明不 等式，求函數(shù)最值，解方程等 .應(yīng)用時(shí)，通過拆常數(shù)、重新排序、添項(xiàng)、改變結(jié)構(gòu)等手段改 變題設(shè)條件

25、，以利于應(yīng)用柯西不等式隨堂演練1.ABC勺三邊長(zhǎng)為a、b、c,其外接圓半徑為 R,求證:(a1 2 + b2+c2)sin 2A+ sin 2B+ sin 2c36R2.、一 ，一，一一、一一a證明由三角形中的正弦定理得sin A<= ,2R弟，同王里'=422,白=空a sin B b sin C c于是左邊二(a2+ b2 + c2)b22R2R故原不等式獲證2.已知 ab 82,an都是實(shí)數(shù)，求證:w a1 + a2 + + an.證明 (1n(ad a2+ an)+ 12+ + 12)( a2 + a2+ a2)2>(1 x ai + ixa2+ ix an).,2

26、222，n(ai+a2+ an) ( ai + a2+ an) ，n( ai+a2+ an)2w a2+a2+ + a2.h課時(shí)作業(yè) 課后固區(qū)、選擇題i.設(shè) a, b, cC(0, 十°°)且 a+b+c=3,則1+!+的最小值為(a b cA.9解析B.3C. 3D.i(下)2+(m)2+(#)2 即(a + b+ c)又,a+b+c=3,-+ + _3,最小值為 3.a b c答案 B2.已知 ai+a2+ a2= i, x2+x2+ x：= i,則 aiXi+a2X2+ anxn 的最大值為()A.iB. nC. nD.2解析由柯西不等式(a2+a2+ + a2)(x

27、i+x2+ + x2) ( aixi + &x2+ + anxn)2 得i i>( aixi+&x2+ anxn)2,aixi+a以2+ anxnW i.所求的最大值為 i.答案 A3.已知2x+ 3y+4z=i0,則x2 + y2+z2取到最小值時(shí)的x, y, z的值為()5 i0 5A.3 5, 6i i4' 9解析x2+y2 + z2 =(x2+y2+z2) ( 22+ 32+ 42)29(2x+3y + 4z) 2 i0029= 29 '當(dāng)且僅當(dāng)iy= 3k,時(shí)，等號(hào)成立，則 4k+ 9k+i6k= 29k=i0, z= 4k20* X = 77)

28、291030解得 k=29'? '' y 丫=項(xiàng)選 b.40 z =29.答案 B二、填空題4 .已知實(shí)數(shù) a, b, c, d, e 滿足 a+b+c+d + e=8, a2+b2+c2+d2+e2= 16,則 e 的取值 范圍為.解析 4(a2+b2+c2+d2) = (1 + 1+ 1 + 1)( a2+b2+c2+d2)2>(a+ b+ c+ d)即 4(16 -e2) >(8- e)2,即 64-4e2>64-16e+e2 .5e2T6eR0,故0與答案0,引5 .設(shè)a, b, c>0且a+b+c= A（ A為常數(shù)）.則1+1 + 1的

29、最小值為 a b c1 11-+ -+ - (a + b+ c)111abe解析答案A-+ -+ -=:a b cA三、解答題6.已知實(shí)數(shù) a, b, c, d 滿足 a+b+c + d=3, a2+2b2+3c2+6d2=5,試求 a 的最值.解由柯西不等式得，有,22,2 1 11.,2(2b+3c+6d)- i>(b+c+d),236即 2b + 3c + 6d> (b+ c+ d)由條件可得，5-a2>(3-a)22b3c6d111解得，1waw2當(dāng)且僅當(dāng) 上廠=乂=-i(一廣時(shí)等號(hào)成立，代入b=2, c=3, d = 6時(shí)，amax=:2: 3: 62.b=1)c=

30、 T-, d = a 04,amin = 1.337.設(shè) a1>a2> >a>an+1,求證:a1 a2a2 a3an - an+1an+1 a1證明a1-an+1 = (a一 a2) + (& a) + + (an an+1), (a1a2)+ (a2a3)+(anan+1),j 111a a & a3an an+11 1(/a1 a2 -f, + 一 a3 , + +a1 - a2',：. ： 比 一 a3Y an- an+1 ) = n >1.,an an+ 1 (a1 an+1)a2 a3+ + >1.an an+ 1rr 1

31、1即+a1 a2 a2 一 a3an an+1 a1 - an+ J一 11故+a1 一 a2 a2 a3an an + 11卜>0.an+1 a18.設(shè)P是 ABCft的一點(diǎn)，x, v，z是P到三邊a,b, c的距離.R是 ABCM接圓的半徑,證明：qx+yy+qzw/亞+，+c2.證明由柯西不等式得,1c& ax + by+ cz /+ + -設(shè)S為ABC勺面積，則ax+ by+ cz= 2S= 277 4Rabc abc2R'ab+ bc+ ca abcabc2R=-Zab+-bc+"ca< 12R2R返+ b2+ c2,故不等式成立.9.已知 a&

32、gt;0, b>0, c> 0,函數(shù) f (x) = | x + a| + |x b| + c的最小值為4.(1)求a+ b+ c的值;,1 21 22 ,(2)求4a +9b+c的取小值 解 (1)因?yàn)?f(x) =| x+ a| +|x b| +c引(x + a) (x b)| + c=| a+ b| +c, 當(dāng)且僅當(dāng)一awxwb時(shí)，等號(hào)成立.又 a>0, b>0,所以 |a+b|=a+b.所以f(x)的最小值為a+b+c.又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c= 4,由柯西不等式，得1 21.223a +§b +c (

33、4 + 9+1)> iax 2+bx3+ cxi f =(a+b+ c) 2= 16,2 3即;a2+；b2+ c2>|.4972a 3b8182118當(dāng)且僅當(dāng) =即 a= b= , c=時(shí)等號(hào)成立，故 22+石9+c2的最小值是 -. 231777497§ 2排序不等式菱自主預(yù)習(xí) J課前強(qiáng)習(xí)區(qū)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .了解排序不等式的“探究一猜想一證明一應(yīng)用”的研究過程2 .初步認(rèn)識(shí)排序不等式的有關(guān)知識(shí)及簡(jiǎn)單應(yīng)用預(yù)習(xí)自測(cè)1 .定理1：設(shè)a, b和c, d都是實(shí)數(shù)，如果 a> b, c> d,那么ac+ bdR ad+ bc,此式當(dāng)且 僅當(dāng)a= b(或c=d)時(shí)取&quo

34、t;="號(hào).2 .定理2：(排序不等式)設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1 >a2>3 > an及b2>3 > bn,則 (順序和) a1b+a2b2+ anbn>( 亂序和) a1bjd a2bj2+ anbjn >(逆序和)ab+a2bn+ anb1.其中j 1, j 2,，jn是1, 2,，n的任一排列方式.上式當(dāng)且僅當(dāng)a= a =an(或b = b2= - = bn)時(shí)取“=”號(hào).自主探究1 .某班學(xué)生要開聯(lián)歡會(huì)，需要買價(jià)格不同的禮品4件、5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中有單價(jià)為3元、2元和1元的禮品，問有多少不同的購(gòu)買方案？在這些方案中哪種花錢最少？

35、哪種 花錢最多？提示 有多少種不同的購(gòu)買方案，實(shí)質(zhì)上就是禮品和單價(jià)有多少種不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系.與單價(jià)3元對(duì)應(yīng)的禮品可以是 4件的禮品，也可以是 5件或2件的禮品共有三種對(duì)應(yīng)關(guān)系，與單價(jià)2元對(duì)應(yīng)的只還有剩下的2種.與單價(jià)一元對(duì)應(yīng)的只有一種.由乘法分步計(jì)數(shù)原理知共有3X2X1= 6種不同的購(gòu)買方案.根據(jù)生活的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)， 花錢最少的方案應(yīng)是最貴的禮品買最少的件數(shù)，最便宜的禮品買最多的件數(shù)，即1X5+2X4+3X2= 19元，花錢最多的方案應(yīng)是：?jiǎn)蝺r(jià)最高的禮品買最多的件 數(shù),單價(jià)最低的禮品買最少的件數(shù)，即1X2+2X4+3X5= 25元.2 .設(shè)有兩組實(shí)數(shù)，ai<a2<a3, bi<t2

36、<b3,設(shè)c、C2、C3是bi、b2、b3的任一個(gè)排列，作和 aici +a2c2+ a3c3,你能猜測(cè)和的最大值及最小值分別是怎樣的和式嗎？提示 由問題1我應(yīng)得到啟發(fā)，和最大的應(yīng)該為 aibi+a2b2+a3b3,和最小的應(yīng)該是 ait+a2b2 + a3bi.3 .有10個(gè)人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=i, 2,，10)個(gè)人的水桶需要ti分，假設(shè)這些ti各不相同，問只有一個(gè)水龍頭時(shí)，應(yīng)如何安排10人的順序，使他們等候的總時(shí)間最小？這個(gè)最少的總時(shí)間等于多少？(根據(jù)排序原理回答)提示 不妨設(shè)ti<t2< - <tio,1<2<3<- &l

37、t;10,由排序原理知逆序和最小，即10t1 + 9不+ ti。最小，所以按注水時(shí)間由小到大的順序注水，則他們10人等候的總時(shí)間最小，最少的總時(shí)間為10t1+ 9t 2+ t 10.聲講練互動(dòng) J課堂講練區(qū)典例剖析知識(shí)點(diǎn)1利用排序原理證明不等式【例1】 已知a, b, c為正數(shù)，求證:b2c2+ c2a2 + a2b2> abca+ b+c證明根據(jù)所需證明的不等式中a, b1 1c的“地位”的對(duì)稱性，不妨設(shè)Ab",則1一，bc< ca< ab. c由排序原理：順序和 亂序和，得:bc ca ab bc ca ab a b c i c a b.口口 b2c2+c2a2

38、+a2b2u即abc>a+b+ c,因?yàn)閍, b, c為正數(shù)，所以abc>0, a+b+c>0,十日 b2c2 + c2a2 + a2b2 于是一ZT接 abc.a+ b + c察變式訓(xùn)練1.已知 aiwazwwan, biwbzww bn,求證：(aibi+ a2b2+ anbn) >n( ai+ a2+ an)( bi+ b2+ bn).證明 令 S= aibi +a2b2+ + anbn,則S>> ab+a2b3+ + anbi,S> aib3+a2b4+ anb2,S> aibn + a2bi + + anbn i,將上面n個(gè)式子相加，并

39、按列求和可得nS> ai( bi+b2+ bn) + a2(bi+b2+ bn)+ an(bi + b2+ bn)= (ai+a2+ an)( bi+b2+ bn)i. . S> (ai+a2+ + an)( bi + b2+ bn)即(aibi + a2b2+ + anbn)、i(ai+&+ an)( bi+bz+ bn). ni i ia2 a3【例2】 設(shè)ai, a2,，an是n個(gè)互不相同的正整數(shù)， 求證：i+3 + 3+%w ai + y+1+an+孑證明12<22<32<-<n2,設(shè)Ci,C2 ,，Cn 是 ai ,，an由小到大的一個(gè)排列

40、,即 Ci <C2<C3< - - <Cn,根據(jù)排序原理中，逆序和w亂序和, 得 0+申+|2+ Cn< ai+11+12+ a23 n 23 n而Ci, C2,，Cn分別大于或等于i, 2,，n,Ci+ C+ Cn> i + ,+ -223 n 23 n,i=1+2+in'.i i.i + 2+3+la2ann<ai+22+-+ n2.紿變式訓(xùn)練2.設(shè)ci, C2,，cn為正數(shù)組 ai, 32,，an的某一排列，求證： +三+n.Ci C2Cn證明 不妨設(shè)0<3132忘W 3n,則一> 一.3l 323n因?yàn)楣?，工是工? *的一

41、個(gè)排序，Ci C2Cn 31 32an故由排序原理：逆序和W亂序和得 31 , F 32 - 1-+ 3n ,一 31323n1 11& 31 ,F 32 F + 3n .C1C2Cnrr31323n即I1-+ - 25 n.2利用排序原理求最值C1C2Cn知識(shí)點(diǎn)b+ c+ c + 3+ 3+ b的最小值.【例3】 設(shè)3, b, c為任意正數(shù)，求解不妨設(shè)3>b>C,1 1貝 U 3+b>3+C>b+C, 7 > > ' t b+C C+3 3+ b由排序不等式得，3b CbC 3b+C c+3 3+ b b+C c+3 3+b b+ c+ c

42、+ 3+ 3+ b> b+c+ c+ 3+ 3+ b上述兩式相力口得：2+, 彥 3.b+c c+3 3+b即 hZ7+3"產(chǎn)3.b+ C c+3 3 + b 2當(dāng)且僅當(dāng)3= b= c時(shí)，+一'取最小值f. b+c c+3 3+b 2獷變式訓(xùn)螺3.設(shè) 0<3W bw c 且 3bc= 1.試求133 （b+ c）1+ b3（3+C）1+ c3（3+ b）的最小值.MG (abc) 2(abc) 2(abc) 2川 Sa3 (b+c) b3 (a+ c) c3 (a+b)bca (b+c)acab- bc+7 ac + 7_-T- ab,b (a+ c) c (a+

43、 b)由已知可得:a (b + c) "b (a+c) "c (a+b)，ab< ac< bc,bcacabS>ri ac+i ab+- bca (b+c)b (a+c)a c(a+b)a (b+c) +b (a+c) +c (a+ b)一 bcacab又 A aTbTcr ab+ bTT bc+c7TbT acba (b+c)+ b (a+c)+c (a+ b)'兩式相加得:S>>即21 1 12S> -F ；-1 > 3 a b ca3 (b+c) + b3 (a+c)3+?7ar的最小值為2.課堂小結(jié)排序不等式有著廣泛

44、的實(shí)際應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)，一定在認(rèn)真分析題設(shè)條件的基礎(chǔ)上觀察要證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，從而分析出要用排序原理中逆序和 亂序和,或是亂序和W順序和， 或者逆序和w順序和.不少命題的證明可能多次用到排序原理隨堂演練1.利用排序原理證明：若a1, a2,，an為正數(shù)，則a + a2+ an&a2證明 不妨設(shè)a>a3>3 > an>0,則有w a1 32an由排序不等式，得a ,2+ a2 , +1+ an a1a2ana+ a2+ an<十 一 + + a1a2n即不ad a2+ ann_+一+a1%1anai+ a2+ ana1a22.已知a, b, c為正數(shù)，a>

45、;b>c.求證:a5 b5 c5 1 1 1而+?+而封 a+b+c.證明- a> b> c>0,a3>b3>c3,a3b3>a3c3>b3c3,肅w亦宙，又a5> b5> c5,由排序原理得:5, 5abb3 c3+ a3c3b5卜 a3b3 > a 3b3 + b3 c35c 一 一+ac3（順序和 亂序和），a5b5c5a2a1a2Q)= 一 十 一 + +a2 a3b2 c2b3c3H3c3H3b3"335又= a2> b2> c2, o3< b3 c3,口a2 b2 c2 a2 b2 c2

46、1 11由亂序和n逆序和將：s+c3+廠Lb3+c3=a+b+c.5 a b3cb5c51 1 1r課時(shí)作業(yè)課后鞏固區(qū)、選擇題i.有三個(gè)房間需要粉刷,已知三個(gè)房間的粉刷面積用（單位：元/m2）分別為粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同（單位：m2）分別為x, y, z,且xvyvz,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)a, b, c,且a< b< c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）A.ax+ by+czB. az+ by+ cxC.ay+ bz+cxD.ay+ bx+ cz解析 法一 用特值法進(jìn)行驗(yàn)證.令x=1, y=2, z=3, a=1b= 2, c =

47、3.A 項(xiàng)：ax+ by+ cz = 1 + 4+9=14; B項(xiàng)：az+ by+cx=3+4 + 3= 10; C項(xiàng):ay+bz+ cx = 2+6+ 3= 11 ；D項(xiàng)：ay + bx+cz = 2 + 2+9= 13.故選 B.法二由順序和亂序和反序和.可得az+by+cx最小.答案 B二、填空題2.設(shè) ab a2, a3,，an為正數(shù)，那么P= a+a2+ an與22an 1an 一十一的大小ana1解析 假設(shè)a1>a2>a3>3> an,則工一anan 1 a a222aia2a3P= ai+ a2+ a3+-4.設(shè)A、R C表示ABC勺三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù),a,

48、 b, c表示其對(duì)邊，求證:aA+ bB+ cC 兀；.a+b+c3,+ an=M+h+h+ , aia2a3a是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理P< Q答案 Pw Q三、解答題2 222r、 ai a2a： i a：3.設(shè) ai, a2,，a：為正數(shù)，求證： -1 1- - >ai+a2+a：.a2 a3a： ai證明 不妨設(shè)ai>a2>>a：>0,則有a2>a2>>a2,1 i i 一一一 、，一也有< <.<,由排序原理：亂序和 、逆序和，得:ai a2a：222222aia2a：aa2a：+ -> + +

49、 + =ai+a2+ a：.a2a3aiaia2a：證明 法一不妨設(shè)A>B>C,則有a>b>c,由排序原理：順序和亂序和aA+ bB+ cC> aB+ bC+ cA; aA+ bB+ cC> aC+ bA+ cB;aA+ bB+ cC= aA+ bB+ cC.上述三式相加得3( aA+ bBH- cC) ( A-l- B+ C)( a+b+c)=兀(a+b+c).aA+ bB+ cC 兀a+b+c > 3.法二 不妨設(shè)A>B>G則有a>b>c,由排序不等式aA+ bBH cC A+ B-F C a+b+c兀aA+ bB+ cC

50、兀即 aA+ bB+ cC> (a+ b+ c),> 3a+ b+ c 35 .設(shè)a, b, c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3+ b3+c3>3abc.證明 不妨設(shè) a>b>c>0, - a2>b2>c2,由排序原理：順序和、逆序和，得：a3+ b3> a2b+ b2a, b3+ c3> b2c+ c2b, c3+ a3> a2c+c2a,三式相加得 2( a3+ b3 + c3) > a( b2 + c2) + b( c2 + a2) + c( a2 + b2).又 a2 + b，2ab, b2 + C 2bc, c2+

51、 a2> 2ca.所以 2( a3+ b3 + c3) >6 abc,a3+ b3+ c3> 3abc.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.a+ b+ c6 .設(shè) a, b, c 是正實(shí)數(shù)，求證：aabbcc> (abc)3 .證明不妨設(shè) a>b>c>0,則 lg a>lg b>lg c.據(jù)排序不等式有：alga+blgb+clgO blga+clgb+ algcalga+blgb+clgO clga+algb+ blgcalga+ blgb+ clgc= alga+ blgb+ clgc上述三式相加得：3( alga+blgb+clgc)&g

52、t;( a+b+c)(lga+lg b+lgc),即 lg( aabbcc) > a+ 廠 ( abc).3故 aabbcc> (abc)a+ b+ c37 .設(shè) xi, yi ( i = 1, 2,，n)是實(shí)數(shù)，且 xi >X2>3> x> yi >y2>3 > yn,而 zi, Z2, Zn是yi, y2,，yn的一個(gè)排列.nn求證：二 1 ( Xi-yi)2>g 1 (Xi-Zi)2.證明 要證i ( Xi - yi) 2>7i ( X -Zi)2 nnnn只需證21y2 2J；Xiyi > 1siz2-2giXiZ

53、i.因?yàn)锳 1y2 = 1Z2,只需證T.XZi w 1X yi.而上式左邊為亂序和，右邊為順序和由排序不等式得此不等式成立 .故不等式榮=1 ( Xi - yi) 2Alsi ( Xi - Zi)2成立.8 .已知 a, b, c 為正數(shù)，且兩兩不等，求證：2(a3+b3+c3)> a2(b+c) + b2( a+ c)+c2(a+b).證明 不妨設(shè) a>b>c>0.貝U a2>b2>c2, a+b>a+c>b+c,a2( a+ b) + b2( a+ c) + c2( b+ c)>a2(b+ c) + b2(a+ c) + c2(a+ b),即 a3+ c3 + a2b+ b2a+ b2c+ c2b>a2(b+ c) + b2(a+ c) + c2(a+ b),又; a2>b2>c2, a>b>c,a2b+ b2a<a3+ b3, b2c+c2b<b3 + c3.即 a2b+ b2a+ b2c+ c2b<a3+ 2b3 + c3,