不定積分分部積分法教案

1、第三節(jié)分部積分法教學(xué)內(nèi)容：分部積分法教學(xué)目的：理解分部積分法的思想方法，能針對不同類型函數(shù)之積的被積函數(shù)，正確選取u,v ,熟練掌握分部積分法的步驟。教學(xué)重點(diǎn)：分部積分法及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：在分部積分法中，恰當(dāng)選取u,v。教學(xué)學(xué)時：1學(xué)時教學(xué)進(jìn)程：我們知道，求不定積分是求微分的逆運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)公式不定積分公式；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式換元積分公式；乘積求導(dǎo)公式分部積分公式（不同類型函數(shù)乘積的積分）。1引入用我們已經(jīng)掌握的方法求不定積分x cosxdx分析：被積函數(shù)為兩函數(shù)的乘積不是基本的積分公式。湊微法失效。x cosx第二類換元積分法解：不妨設(shè) cosx t 貝U x arccost ,1原萬程 t a

2、rccost ,出更為復(fù)雜.1 t所以湊微法和第二換元積分法都失效。反之考慮，兩函數(shù)乘積的積分不會，但兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)我們會，比如：（假設(shè)u,v為兩個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)）已知：（u v）' u'v uv'對上式兩邊積分得：uv C u'vdx uv'dx移項(xiàng)得：uv'dx uv u'vdx觀察上式發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)也是兩函數(shù)乘積的形式，注意：uv'dx中v為導(dǎo)數(shù)形式。故，我們可以嘗試來解一下上面的積分。x cosxdx先要化的和要求積分的形式一樣x（sin x）'dxxsin x x'sinxdx xsin x cosx

3、 C通過上面的方法，我們順利的解決兩函數(shù)乘積的積分。其實(shí)上面的公式正是這一節(jié)課要講述的“分部積分法”。2公式設(shè)函數(shù)u u(x)和v v(x)都具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有分部積分公式：uv'dx uv u'vdx (或 udv uv vdu)3例題講解例1 .計算不定積分xexdx .解設(shè) u x , v ex,貝U u 1, v ex (*),于是 xexdx xdex xex exdx xex ex C .注意：(1) (*)處沒有加C,這是因?yàn)槲覀內(nèi)×俗詈唵蔚那闆rC 0。(2)若設(shè) u ex, dv xdx ,貝Uxexdx-x2ex - x2exdx,22u,v非常關(guān)鍵,積分

4、x2exdx比積分 xexdx要復(fù)雜，沒有達(dá)到預(yù)期目的.由此可見，選擇般要考慮下列兩點(diǎn):(1) v要易求；(2)積分 u vdx要比積分 uv dx易計算.練習(xí)：求 xsin xdx例2 .計算不定積分in xdx分析：此為一個函數(shù)的積分，當(dāng)然不能使用湊微法、換元法積分，可是不滿足兩函數(shù) 乘積，能否用分部積分公式呢其實(shí)只需要將被積函數(shù)看作1 in x即可。1解：設(shè) u in x , v 1 ,則 u 一，v x ,x于是in xdxin xdxxln x x dx xxin x x C注意：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重要的是記憶、理解公式，更重要的是靈活應(yīng)用。于是例3 .計算不定積分xarctanxdx。解 設(shè)

5、 u arctan x, v x ;貝U u1 x2，V,1 21xxarctanxdxxarctan x-2dx221x1 21x11x arctan x 2dx22 x 11 2 -1x arctanx 一2 212-(x1)arctanx1(1 -)dxx 11x C21 2,1 ,x arctanx (x arctanx) C22練習(xí)：求 arcsinxdx。例4.計算不定積分x2exdx .2xx解 設(shè) u x , v e ,則 u 2x, v e ,2 x2 x 2 xx x e dx x de x e 2 xe dx2 xx xx e2xee dx2 xxx f"xx

6、e 2xe 2e C如果要兩次分部積分，選取u,v要一致，否則會還原.例5.計算不定積分exsinxdx.解：ex sin xdxsin xdexx e sin xex cosxdxx e sin xxe cosxex sin xdx好像進(jìn)入了死胡同，實(shí)則不然，令ex sin xdx I，則上式變?yōu)?xxe sinx e cosx2Iex sin x ex cosx C1I1(ex sin x ex cosx) C,(其中 C C1)22練習(xí)：求 ex cosxdx 。從這幾個典型例題可以看到，一般情況下，u,v可按下列規(guī)律選擇：(1)形如 xn sinkxdx, xn coskxdx, xn

7、ekxdx (其中n為正整數(shù))的不定積分，令u xn ,余下的湊成v。(2)形如 xn ln xdx, xn arcsinxdx, xn arctanxdx時，令 v xn,余下的湊成 u。(3)形如 eaxsinbxdx, eax cosbxdx的不定積分，可以任意選擇U與v ,但由于要使用兩次分部積分公式，兩次選擇U與v應(yīng)保持一致，只有這樣才能出現(xiàn)循環(huán)公式并求出積分。說明(1)用分部積分法的情況不止于此，總的原則是適當(dāng)選取 U及v ,使uv更加便于積分.(2) 一般被積函數(shù)是不同類函數(shù)函數(shù)乘積時，往往想到用分部積分法.例6.求Inxnexdx的遞推公式，其中n為正整數(shù)，并求出Ii12,l3。n xn xn 1 xn xn 1 xn x用牛：I n x e dx x e nx e dx x e n x e dx x e nl n 1因此可得Inxnexdx的遞推公式為In xnex nIn 1，(n1,2,3,)其中I0exdx ex C ,那么有11 xex 10xex ex C1I2x2ex2I1x2ex2xex2ex C2I3x3ex3I2x3ex3x2ex6xex 6exC3例7 .計算不定積分e、*dx .一 x t解 e xdx e 2tdt 2 tedt