數學經典易錯題會診與高考試題預測1

1、經典易錯題會診與2012屆高考試題預測(一)考點1 集合與簡易邏輯集合的概念與性質 集合與不等式 集合的應用 簡易邏輯充要條件 集合的運算邏輯在集合中的運用 集合的工具性真假命題的判斷 充要條件的應用經典易錯題會診命題角度1 集合的概念與性質 1(典型例題)設全集U=R，集合M=x|x1，P=x|x21，則下列關系中正確的是 ( ) A.M=P BPM C.MP DCUP= 考場錯解 D 專家把脈 忽視集合P中，x-1部分對癥下藥 C x21 x1或x-1故MP 2(典型例題)設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q=a+b|aP，bQ，若P0，2，5，Q=1，2，6，則P+Q中元素的個數是

2、（ ） A9 B8 C7 D6 考場錯解 A P中元素與Q中元素之和共有9個 專家把脈 忽視元素的互異性，即和相等的只能算一個對癥下藥 B P中元素分別與Q中元素相加和分別為1，2，3，4，6，7，8，11共8個 3(典型例題)設f(n)=2n+1(nN)，P=l，2，3，4，5，Q=3，4，5，6，7,記=nN|f(n) P，=nN|f(n) 則(CN) (CN)等于 ( ) A0，3 B1，7 C3，4，5 D1，2，6，7 考場錯解 D PCNQ=6，7QCNP=1，2故選D 專家把脈 未理解集合 的意義. 對癥下藥 B =1，3，5=3，5，7CN=1. CN=7故選B 4(典型例題)

3、設A、B為兩個集合，下列四個命題： A B對任意xA,有x B；A B AB=;A B A B;A B存在xA, 使得xB.其中真命題的序號是_. 考場錯解 A B，即A不是B的子集，對于x A，有x B;A B=，故正確 專家把脈 對集合的概念理解不清A B，即A不是B的子集，但是A，B可以有公共部分，即存在x A，使得x B.不是對任意x A,有x B，故正確“A B”是“任意x A，有xB”的必要非充分條件同. 對癥下藥 畫出集合A，B的文氏圖或舉例A=1，2，B=2，3，4，故、均不成立，A1，2，3，B=1,2,A B但BA，故也錯.只有正確，符合集合定義故填 5(典型例題)設A、B

4、、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯誤的是 ( ) A（CIA）B=I B(CIA) (CIB)=I CA(CIB)= D(CIA)(CIB)= CIB 考場錯解 因為集合A與B的補集的交集為A，B的交集的補集故選D 專家把脈 對集合A，B，I滿足ABI的條件，即集合之間包含關系理解不清 對癥下藥 如圖是符合題意的韋恩圖. 從圖中可觀察A、C、D均正確，只有B不成立或運用特例法，如A=1，2，3，B=1，2，3.4，I=1，2，3，4，5逐個檢驗只有B錯誤 專家會診 1解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP，要緊緊抓住豎線前

5、面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，充分運用數形結合(數軸，坐標系，文氏圖)或特例法解集合與集合的包含關系以及集合的運算問題，直觀地解決問題2注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB，則有A=或A 兩種可能，此時應分類討論考場思維訓練 1 全集U=R，集合M=1，2，3，4，集合N=，則M(CUN)等于 ( ) A4 B3，4 C2，3，4 D 1，2，3，4答案：B 解析：由N=CUN=2 設集合M=x|x=3m+1，mZ，N=y|y=3n+2，nZ，若x0M,y0N，則x0y0與集合M,N的關系是 ( ) A.x0y0M Bx0

6、y0MMM C.x0y0N Dx0y0N答案：C 解析：xo3 設M=x|x4a，aR，N=y|y=3x，xR，則 ( ) AMN= BM=NC. MN D. MN 答案：B 解析：M=4 已知集合A=0，2，3，B=x|x=ab,a、bA且ab，則B的子集的個數是 ( )A4 B8 C16 D15 答案：解析：它的子集的個數為22=4。5 設集合M=(x，y)|x=(y+3)|y-1|+(y+3)，-y3，若(a，b)M，且對M中的其他元素(c，d)，總有ca，則a=_.答案：解析：依題可知，本題等價于求函數不勝數x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在（1） 當1y3時，x=(y

7、+3)(y-1)+(y+3)=y2+3y=(y+)2-命題角度 2 集合與不等式1(典型例題)集合A=，B=x|x-b|a，若“a=1”是“AB”的充分條件，則b的取值范圍是 ( ) A-2b2 B-2b2 C-3b-1 D-2b2 考場錯解 A 當a=l時，A=x|-1x1且B=x|b-1xb+1AB.b-11且b+1-1.故-2b2只有A符合 專家把脈 AB時，在點-1和1處是空心點，故不含等于對癥下藥 D 當a=1時，A=x|-1x1B=x|b-1xb+1此時AB的充要條件是b-11且b+1-1即-2b2故只有D符合 2(典型例題)(1)設集合A=x|4x-19，xR，B=x|0，xR，

8、則AB=_.考場錯解 x|x-3或x 專家把脈 0x(x+3)0而此時x+30故不含x=-3對癥下藥 A=x|x-3或xB=x|x-3或x0AB=-3或x 3(典型例題)已知f(x)=(xR)在區(qū)間-1，1上為增函數 (1)求實數a的值所組成的集合A； (2)設關于x的方程f(x)=的兩根為x1,x2，試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|對任意aA及t-1,1恒成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由 考場錯解 (1)因為f(x)=(xR)，所以f(x)=，依題意f(x)0在-1，1上恒成立，即2x2-2ax-40在-1，1上恒成立 當x=0時，aR;當0x

9、1時，ax-恒成立，又y=x-在(0，1)上單調遞增，所以y=x-的最大值為-1，得a-1,當-1x0時，t恒成立，所以-1,解得m2；當m0時，t恒成立，所以1，解得m-2 綜上：故不存在實數m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|對任意aA及t-1，1恒成立 專家把脈 (1)討論x求參數的范圍，最后應求參數的交集而不是并集因為x-1，1時,f(x)0恒成立(2)注意對求出的m的值范圍求并集而不是交集 對癥下藥 (1)因為f(x)=(xR)，所以f(x)=，依題意f(x)0在-1，1上恒成立，即2x2-2ax-40在-1，1上恒成立 當x=0時，aR；當0x1時，ax-恒成立，又y=x-在

10、(0，1)上單調遞增，所以y=x-的最大值為-1，得a-1;當-1x0時，t恒成立，所以-1，解得m2；當m0時，t恒成立，所以1，解得m-2 綜上：存在實數m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|對任意aA及t-1，1恒成立，m的取值范圍是m|m2或m-2(注意對求出的m的取值范圍求并集)方法2：方程f(x)=變形為x2-ax-2=0，|x1-x2|=,又-1a1，所以|x1-x2|=的最大值為3，m2+tm+1|x1-x2|對任意aA及t-1，1恒成立等價于m2+tm+13在t-1，1恒成立，令g(t)=tm+m2-2，有g(-1)=m2+m-20，g(1)=m2-m-20，解得m|m2

11、或m-2(注意對求出的m的取值范圍求交集)專家會診討論參數a的范圍時，對各種情況得出的參數a的范圍，要分清是“或”還是“且”的關系，是“或”只能求并集，是“且”則求交集.考場思維訓練1 設x表示不超過x的最大整數，則不等式x2-5x+60的解集為 ( ) A(2，3) B2，3C2，4 D2，4 答案：C 解析：由x2-5x+60,解得2x 3,由x的定義知2x4所選C.2 已知不等式|x-m|1成立的充分非必要條件是，則實數m的取值范圍是 ( ) A. B.C. D. 答案：B解析：因不等式|x-m|1等價于m-1xm+1,依題意有3 設A、B是兩個集合，定義A-B=x|xA，且xB若M=x

12、|x+12,N=x|x=sin|等R,則M-N等于 ( ) A-3，1 B-3，0C0，1 D -3，0 答案：B4 已知集合A=x|(x-2)x-(3a+1)0, B=x|. (1)當a=2時，求AB； (2)求使BA的實數a的取值范圍解析：（1）當a=2時，A=（2，7），B=（4，5）（2）B=（2a,a2+1）,當a1時，則超過2個元素，注意區(qū)間端點 對癥下藥 由S(a，a+1)的元素不超過兩個,周期1又有a使S(a，a+1)含兩個元素，周期12故(，2) 2(典型例題)設函數f(x)=-(xR)，區(qū)間M=a,b(a0f(x)=-1+,f(x)在(0，+)上為減函數，即y=f(x)在a

13、，b上為減函數，y=f(x)的值域為 ,N M=N，MNa，且b，故有無數組解 專家把脈 錯誤地理解了M=N,只是MN,忽視了M=N，包含MN和NM兩層含義 對癥下藥f(x)=，y=f(x)在a，b上為減函數 y=f(x)的值域為N=y|y=f(x)，N表示f(x)的值域-bM=N，,而已知ab，滿足題意的a、b不存在，故選A. 3(典型例題)記函數f(x)=的定義域為A，g(x)=1g(x-a-1)(2a-x)(a1)的定義域為B. (1)求A； (2)若BA，求實數a的取值范圍 考場錯解 (1)由2-0，得x-1或x1A=x|x0，得(x-a-1)(x-2a)0a2a，B=(2a，a+1)

14、 BA 2a1或a+1-1 a或a-2又a1a-2或a1 專家把脈 利用集合的包含關系時，忽視了端點的討論 對癥下藥 (1)由2-0，得x-1或x1 (2)由(x-a-1)(2a-x)0，得(x-a-1)(x-2a)0a2a，B=(2a，a+1) BA,2a1或a+1-1，即a或a-2，而a1,a0且2 設集合P=3，4，5，Q=4，5，6，7定義PQ=(a，b)|ap，bQ，則PQ中元素的個數為 ( )A3 B4 C7 D12 答案：D3 已知關于x的不等式0的解集為M. (1)a=4時，求集合M；答案：(1)當a=4時，原不等式可化為，即 (2)若3M且5M，求實數a的取值范圍答案：由3

15、由由、得命題角度4 簡易邏輯 1(典型例題)對任意實數a、b、c，給出下列命題： “a=b”是“ac=bc”的充要條件；“a+5是無理數”是“a是無理數”的充要條件；“ab”是“a2b2”的充分條件；“a5”是“aab時，非充分條件，正確 2(典型例題)給出下列三個命題 若ab-1，則 若正整數m和n滿足mn，則 設P(x1，y1)為圓O1：x2+y2=9上任一點，圓O2以Q(a，b)為圓心且半徑為1當(a-x1)2+(b-y1)2=1時，圓O1與圓O2相切其中假命題的個數為 ( ) A0 B1 C2 D3 考場錯解 A 專家把脈 中(a-x1)2+(b-y1)2=1時，即圓 O2與O1上任一

16、點距離為1，并不一定相切 對癥下藥 B 3(典型例題)設原命題是“已知a，b，c，d是實數，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，則它的逆否命題是( ) A.已知a，b，c，d是實數，若a+cb+d，則ab且cd B.已知a，b，c，d是實數，若a+cb+d，則ab或cd C.若a+cb+d，則a，b，c，d不是實數，且ab，cd D.以上全不對 考場錯解 A 專家把脈 沒有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”. 對癥下藥 B 逆否命題是“已知a，b，c，d是實數，若a+cb+d，則ab或cd” 4(典型例題)已知c0，設P：函數y=cx在R上單調遞減；Q：不等式x+|x-2c|1的

17、解集為R，如果P和Q有且僅有一個正確，求c的取值范圍 考場錯解 由函數y=cx在R上單調遞減，得0c1的解集為R，所以2c1，得c 如果P真，得0c 所以c的取值范圍是(0，+)專家把脈 將P和Q有且僅有一個正確，錯誤理解成P正確或Q正確 對癥下藥 由函數y=cx在R上單調遞減，得0c1的解集為R，所以2c1，得c 如果P真Q假，則0c；如果Q真P假，則c1所以c的取值范圍是(0, )1,+專家會診1在判斷一個結論是否正確時，若正面不好判斷，可以先假設它不成立，再推出矛盾，這就是正難則反2求解范圍的題目，要正確使用邏輯連結詞，“且”對應的是集合的交集，“或”對應的是集合的并集考場思維訓練 1

18、已知條件P：|x+1|2，條件q：5x-6x2，則p是q的 ( ) A.充要條件 B充分但不必要條件C.必要但不充分條件 D.既非充分也非必要條件 答案：解析：p:x1,q:2x3,則q是p的充分但不必要條件，故p是q的充分但不必要條件。2 已知命題p：函數log05(x2+2x+a)的值域為R，命題q：函數y=-(5-2a)x是減函數若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數a的取值范圍是( ) Aa1 Ba2 C1a1a2.若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結果為1a2,故選. 3 如果命題P： ，命題Q： ,那么下列結論不正確的是 ( ) A.“P或Q”為真 B“P且Q”為假C

19、“非P”為假 D“非Q”為假 答案：B4 已知在x的不等式0x2-46x-13a的解集中，有且只有兩個整數，求實數a的取值范圍 答案：解析：原不等式等價于5 已知命題p：方程a2x2+ax-2=0在-1，1上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2+2ax+2a0，若命題“p或q是假命題，求a的取值范圍答案：解析：由a2x2+ax-2=0,得（ax+2）(ax-1)=0,顯然a0 x=x“只有一個實數滿足x2+2ax+2a0”.即拋物線y=x2+2ax+2a與x軸只有一個交點，a2-8a=0, a=0或2, 命題“p或q為真命題”時“|a|1或a=0” 命題“p或q”為假命題a的取值范圍為命

20、題角度5 充要條件1(典型例題)“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要條件 B充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 考場錯解 A 專家把脈 當兩直線垂直時，A1A2+B1B2=0，m2-4+3m(m+2)=0，即m=或m=-2；故不是充分必要條件 對癥下藥 B 當m=時兩直線垂直兩直線垂直時m=或m=-2，故選B 2(典型例題)設定義域為R的函數f(x)=，則關于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同實數解的充要條件是 ( ) Ab0 Bb0且c0 Cb0且c=0 Db0且c=0

21、 考場錯解 B =b2-4ac當c0故f(x)有兩個不同實根，x有7個不同根 專家把脈 f(x)的根為正時，x有4個不同實根應考慮f(x)的根的正負 對癥下藥 C 當x=1時f(x)=0，c=0 當x1時,f(x)=|1g|x-1|，f2(x)+bf(x)+c=1g2|x-1|+b|1g|x-1|=0即，|1g|x-1|(1g|x-1|+b)=0， 1g|x-1|=0或1g|x-1|=-b，x=2或x=0或1g|x-1|=-bb0式有4個不同實根故c=0且b0的解集相同；命題q：，則命題p是命題g的 ( ) A.充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件考場錯解

22、因為，所以不等式a1x2+b1x+c10與a2x2+b2x+c20是等價的不等式，解集相同，所以q能推出p而不等式a1x2+b1x+c10與a2x2+ b2x+c20的解集相同不能得出，所以選B 專家把脈 因為若a1與a2的符號不同，這時a1x2+b1x+c10與a2x2+b2x+c20的解集不相同，如-x2+3x-20與x2-3x+20，盡管=-1，但它們的解集不相同，所以q不能推出P. 對癥下藥 因為，若a1與a2的符號不同，這時alx2+b1x+c10與a2x2+b2x+c20的解集不相同，所以q不能推出p；不等式x2+x+30與x2+1 0的解集相同，但，所以p不能推出q，所以選D專家

23、會診 (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件,因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假. (2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“，反之也真”等 (3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質 (4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條依. (5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又

24、要證明它的逆命題成立(即條件的必要性) 考場思維訓練 1 設ab、是非零向量，則使ab=|a|b|成立的一個必要非充分條件是 ( ) Aa=b Bab Cab Da=b(0)答案：解析：由ab=|a| |b|可得ab;但ab, ab=|a| |b|, 故使ab=|a| |b| 成立的一個必要充分條件是：ab.故選. 2若條件甲：平面內任一直線平行于平面，條件乙：平面平面，則條件甲是條件乙的 ( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C. 充要條件D既不充分又不必要條件 答案：C 解析：甲乙可以互推。選.3.已知函數f(x)=ax+b(0x0是f(x)0在0，1上恒成立的 ( ) A.充分不必

25、要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既非充分又非必要條件 答案：B 解析：f(x)0在，上恒成立a+2b0,但a+2b0推不出f(x)0在，上恒成立。4 命題A：|x-1|3，命題B：(x+2)(x+a)0，若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是( ) A(4，+) B4，+C(-，-4) D(-，-4)答案： 探究開放題預測預測角度1 集合的運算 1設I是全集，非空集合P、Q滿足PQI，若含P、Q的一個運算表達式，使運算結果為空集，則這個運算表達式可以是_；如果推廣到三個，即PQRI，使運算結果為空集，則這個運算表達式可以是_.(只要求寫出一個表達式) 解題思路 畫出集合P、Q、

26、I的文氏圖就可以看出三個集合之間的關系，從它們的關系中構造集合表達式，使之運算結果為空集 解答 畫出集合P、Q、I的文氏圖，可得滿足PQI，含P、Q的一個運算表達式，使運算結果為空集的表達式可以是P(CIQ)；同理滿足PQRI，使運算結果為空集的表達式可以是(PQ)(CIR)，或(PQ) (CIR)答案不唯一 2設A=(x，y)|y2-x-1=0，B=(x，y)|4x2+2x-2y+5=0，C=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bN，使得(AB)C=，證明此結論 解題思路 由集合A與集合B中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN，進而可得值 解答

27、 (AB) C=, AC=且BC= k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0 AC= 1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)0，即b21 4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0BC=，2(1-k)2-4(5-2b)0k2-2k+8b-190，從而8b20，即b25 由及bN，得b=2代入由10和2|2x|；;2x2+mx-10 (1) 若同時滿足、的x也滿足，求m的取值范圍； (2) 若滿足的x至少滿足、中的一個，求m的取值范圍 解題思路 (1)若同時滿足、的x也滿足，即求出不等式、的交集是的解集的子集；第(2)問，若滿足的x至少滿足、中的一個，即滿足的x滿足、的并集 解答 (1)由|x+

28、3| 2x|得-1x3，由得0x1或2x4，同時滿足、的集合A=0，1 (2，3)滿足的集合為B，因為BA，所以f(3)0，且f(0)4=x|x-1或x4，補集為(-1，4)，即方程2x2+mx-10的兩根在(-1，4)內，由根的分布可得-m0)，若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍 解題思路 利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清晰命題中條件與結論的關系，再去解不等式，找解集間的包含關系，進而使問題解決 解答 由題意知： 命題：若P是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件 p：|1-|2-2-12-1 3-2x10 q：x2-2x+1-m20x-(1-m

29、)x-(1+m)0 * p是q的充分不必要條件， 不等式|1-|2的解集是x2-2x+1-m20(m0)解集的子集 又m0 不等式*的解集為1-mx1+m m9，實數m的取值范圍是9，+預測角度5 充要條件的應用1設符合命題p的所有元素組成集合A，符合命題q的所有元素組成集合B，已知q的充分不必要條件是p，則 集合A、B的關系是 ( ) AAB BA B CB A DA=B 解題思路 由q的充分不必要條件是p，可得p可推q，但q不能推p，再利用充要條件與集合之間的關系可求解解答 由q的充分不必要條件是p，可得P可推q，但q不能推p，所以A中的元素都是B中的元素，B中至少有一個元素不是A中的元素

30、，所以A B，所以選B 20a是函數f(x)=ax2+2(a-1)+3在(-，4)上為減函數的 ( ) A.充分但不必要條件 B必要但不充分條件 C.充要條件 D既不充分也不必要條件 解題思路 利用二次函數的對稱軸與單調區(qū)間的關系求解解答 若0a，則函數f(x)=ax2+2(a-1)+3為開口向上的二次函數，且對稱軸為x=-14，+，由二次函數的圖像知函數f(x)=ax2+2(a-1)+3在(-，4)上為減函數，所以03，B=x|x2+x-60，則AB= ( ) A(-3，-2)(1，+) B(-3，-2)1，2C-3，-2(1，2) D(-，-3)(1，2) 答案：解析：由|2x+1|3,得x1或xb0，全集U=R，集合M=x|bx，N=x|xa，P=x|bx，則P，M，N滿足的關系是 ( ) AP=MN BP=MNC.P=M(CUN) DP=(CUM)N. 答案：C 解析：取a=4,b=2,畫出數軸可判斷選C.5 命題P：如果x2+2x+1-a20，那么-1+ax-1；命題q：a1，那么q是p的 ( ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D既不充分也不