高等數(shù)學(xué) 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束1/51多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用及其應(yīng)用第七章第七章習(xí)題課習(xí)題課一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算的題類三、關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算的題類四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類1.幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用.2.極極(最最)值值機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2/51本章基本概念及其關(guān)系本章基本概念及其關(guān)系連續(xù)性連續(xù)性 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 方向?qū)?shù)存在方

2、向?qū)?shù)存在可微性可微性1. 多元函數(shù)的定義、極限多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù)、連續(xù) 定義域及對應(yīng)規(guī)律定義域及對應(yīng)規(guī)律 判斷極限不存在及求極限的方法判斷極限不存在及求極限的方法 函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2. 幾個基本概念的導(dǎo)出關(guān)系幾個基本概念的導(dǎo)出關(guān)系機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束3/51偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可可 微微連連 續(xù)續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在極限存在極限存在極限存在極限存在【必須【必須熟練掌握熟練掌握本章以下幾個概念之間的關(guān)系本章以下幾個概念之間的關(guān)系】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束4/51一、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類一

3、、關(guān)于多元函數(shù)極限的題類二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多，計算二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限要復(fù)雜得多，計算也更困難：也更困難：【例【例1】2200limyxxyyx 求求【解【解】取路徑取路徑 y = k x，則，則 , 1)1(limlim22220220kkxkkxyxxyxkxyx 與與k有關(guān)有關(guān),故不存在故不存在.【例【例2】2201)ln(limyxexyyx 計算計算初等函數(shù)初等函數(shù).(1,0)定義域定義域內(nèi)點內(nèi)點.連續(xù)連續(xù).代入法代入法【例【例3】2322222200)(sinlim yxyxyxyx 求求換元換元,化為一元化為一元函數(shù)的極限函數(shù)的極限機動機動 目錄目錄

4、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束5/51【閱讀與練習(xí)【閱讀與練習(xí)】求下列極限求下列極限; )0( )sin(lim)1(0 axxyayx;)11(lim)2(222yxxayxx ;)sin1(lim)3(100 xyyxxy 【解【解】 )sin(lim)1(0ayxyxyayx 原式原式 1)11(lim)2(022 exyxxxayx原式原式 )sin1(lim)3(sinsin100exyxyxyxyyx 原式原式【提示【提示】可以引用一元函數(shù)求極限的各種技巧可以引用一元函數(shù)求極限的各種技巧4422lim)4(yxyxyx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

5、束結(jié)束6/51【例【例4】【解【解】222limxyxxyyx 求求由于由于22221|2|022xxxxyxyyxxy 且且021lim2 xx故原極限故原極限=0夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 0lim22224422 yxyxyxyxyx原式原式,214422 yxyx0)11(limlim222222 xyyxyxyxyx(4) 【法【法】【法【法】0220,4444444422 yxyxyxyxyxyx夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束7/51二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類二、關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微的題類1.一般來說，討論一般來說，

6、討論二元二元函數(shù)函數(shù)z = f (x,y)在某點的連續(xù)性、可在某點的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性以及可微性時，都要用相應(yīng)的偏導(dǎo)性以及可微性時，都要用相應(yīng)的定義判定定義判定；尤其是；尤其是分段函數(shù)在分段函數(shù)在分界點分界點的上述的上述“性態(tài)性態(tài)”就是要用各自的就是要用各自的定義定義判斷判斷.連連 續(xù)續(xù)),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可微可微點點220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其中其中內(nèi)含三條，缺一不可內(nèi)含三條

7、，缺一不可包括高階偏包括高階偏導(dǎo)數(shù)定義等導(dǎo)數(shù)定義等機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束8/512.【二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束9/51偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如u = f (x , y , z) 在在(x , y , z) 處處 ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 3.【多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)【多元函數(shù)

8、的偏導(dǎo)數(shù)】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束10/514. 【偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義【偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義】,),(),(,(00000上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束11/51 xyz),(00yx0MxTyTo0 x0y0M 00),(yyyxfz 00),(xxyxfz機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束12/51【5.5.幾何意義】幾何意義】 . tan . tan ? )5 , 4 , 2(44 . 522的傾角是多少的傾角是多少軸軸處的切線對于處的切線對于在點在點

9、曲線曲線xyyxz tan)5,4,2( xz機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束13/51【例【例1】【解【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf設(shè)設(shè) )0 , 0(),(？處是否連續(xù)處是否連續(xù)在點在點問問yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx 0 0222 yyxyx)0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(處是連續(xù)的處是連續(xù)的在點在點即即yxf機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束14/51【解】【解】 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yx

10、yz.72213 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束15/51【證】【證】 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立 【證完】【證完】機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束16/51例4. 計算函數(shù)計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例5. 計算函數(shù)的全微分. zyeyxu2sin解解: udyz,yxeyyxex)d2d(2yxe機動 目錄 上頁

11、下頁 返回 結(jié)束 ?機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束17/51作業(yè)作業(yè) p100 同濟同濟p62, p69機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束18/51三、三、關(guān)于高階偏導(dǎo)數(shù)、關(guān)于高階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計算的題類全微分計算的題類),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfxyzyzxyx 二階純偏導(dǎo)數(shù)二階純偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)1. 【高階偏導(dǎo)數(shù)的定義【高階偏導(dǎo)數(shù)的定義】 , ),(2yxfyxzxzyxy 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束19/51【定義式】【定義式】xyxfy

12、xxfyxfxxxxx ),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfxxyxy ),(),(lim),(0其余類推其余類推(2) 同同樣可得：樣可得：三階、四階、三階、四階、以及、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)。階偏導(dǎo)數(shù)。(3) 【定義【定義】二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)。【解】【解】xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束20/51【解】【解】,co

13、sbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束21/51yxe22例3. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束2

14、2/51(4)【問題】【問題】具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)即混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān). .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束23/512. 【多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則】(1) 【可導(dǎo)充分條件【可導(dǎo)充分條件】內(nèi)層函數(shù)偏導(dǎo)存在內(nèi)層函數(shù)偏導(dǎo)存在, 外層函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)外層函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)(2) 【復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t】全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù) dtdvvzdtduuzdtdz uvxzxyyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz uvtzt),(yxufz yxuyxxuufxfxz

15、yuufyfyz 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束24/51例1. 設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束25/51【例【例2】【解【解】 ., 0, 0,求一階偏導(dǎo)求一階偏導(dǎo)設(shè)設(shè) yxxuzy ;1 zyzxyxu );)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuz

16、yz 【注意【注意】 )( zyyzzyxxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束26/51例3.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束27/51【例【例4】【解【解】，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè)

17、) (),(3fxyxyfxz )1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 【分析】抽象函數(shù)無中間變量【分析】抽象函數(shù)無中間變量,引入記號引入記號f 1 , f 12等等.xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx .,222yxzyzyz 求求)(222212xyfyfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束28/51為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zy

18、xzyxf例5. 設(shè)設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) p100 p100 同濟同濟p69,p75p69,p75機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束29/513.【全微分全微分】 全微分各偏微分之和全微分各偏微分之和u,v是自變量是自變量或中間變量或中間變量4.【隱函

19、數(shù)的求導(dǎo)法則【隱函數(shù)的求導(dǎo)法則】(1)公式法公式法(2)推導(dǎo)法推導(dǎo)法( (直接法直接法) )方法步驟方法步驟0),( yxF)(xfy yxFFdxdy x、y、z 等各變量地位等同等各變量地位等同0),( zyxF),(yxzz zxFFxz zyFFyz 0),(0),(vuyxGvuyxF ),( , ),( yxvvyxuu 公式不必記公式不必記,要求掌握要求掌握推導(dǎo)法推導(dǎo)法解由解由得到的得到的方程方程(組組), 解出要求的偏導(dǎo)數(shù)解出要求的偏導(dǎo)數(shù).形式不變性形式不變性dvvzduuzdz 搞清哪個搞清哪個(些些)是是因變量因變量、中間變量中間變量、自變量自變量；將方程將方程(組組)兩邊

20、同時兩邊同時對對某個某個自變量自變量求求(偏偏)導(dǎo)導(dǎo)；其余自變量的偏導(dǎo)數(shù)同理可求其余自變量的偏導(dǎo)數(shù)同理可求.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束30/51例1. 設(shè)設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再對 x 求導(dǎo)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束31/51解法2 利用公式利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxx

21、z2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束32/51例2. 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移項得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束33/51 ,sin, 0),()

22、,(2xyzexzyxfuy 設(shè)設(shè)【例【例3 3】【解【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 顯然顯然,dxdz求求得得的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊求兩邊求對對,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 【分析【分析】 確定確定y=y(x), z=z(x), u=u(x) )三方程兩邊同時對三方程兩邊同時對x求導(dǎo)求導(dǎo). .于是可得于是可得, ,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0) ,(dxduzf求求且且，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 機動機動 目錄目錄 上頁上頁

23、下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束34/51【例【例4】【分析【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).【解【解】 公式法公式法.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)),(),( 22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 則則.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy x,y,z .地地位位等等同同機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束35/51,)()(22yzyyzyzf yyzfyzz )(22yzyfzx .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得

24、【解【解】 推導(dǎo)法推導(dǎo)法（直接法）（直接法）【例【例4】【分析【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)z是是x,y的函數(shù)的函數(shù)兩邊同時對兩邊同時對y求導(dǎo)求導(dǎo)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束36/512)()(22yzdyydzyzf ydyyzfzdzxdx dyyzfyzyzfxdxdzyzfz)()(2)(2 .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得)(22yzyfzx 【解【解】全微分法全微分法【例【例4】【分析【分析】隱函數(shù)，含抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)隱函數(shù)，含

25、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù).),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設(shè)設(shè)（作業(yè)（作業(yè) p100 p100 同濟同濟p89p89）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束37/51四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類四、關(guān)于多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用的題類1.【幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用】空間曲線空間曲線有有切線切線和和法平面法平面退化情形退化情形切向量切向量)(),(),(tzztyytxx )( ),(xzzxyy 0),(, 0),( zyxGzyxF)(),(),(tztytx )(),(, 1(xzxy ),(),(,),(),(,),(),(yxGFxzGFzyGF 空間曲線空間曲

26、線T平面曲線平面曲線C切向量切向量)(xfy 0),( yxF)(, 1(xf ),(xyFF T(P85; 同濟同濟p94)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束38/51空間曲面空間曲面有有切平面切平面和和法線法線退化情形退化情形0),( zyxF),(yxfz ),zyxFFF（)1,( yxff法向量法向量空間曲面空間曲面n平面曲線平面曲線C法向量法向量)(xfy 0),( yxFn)1),(xf ),(yxFF(P88; 同濟同濟p98)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束39/51【例【例1】【解【解】處處的的切切平平面面在在點點求求曲曲面

27、面)14, 1, 2(23022 Myxz方程、法線方程和向上法線的方向余弦方程、法線方程和向上法線的方向余弦. , 12)1, 2( xf , 4)1, 2( yf 1)1, 2( zf切平面切平面0)14()1(4)2(12 zyx法法 線線 11441122 zyx向上法線方向與向上法線方向與z 軸正向夾角為銳角，故所求方向余弦為軸正向夾角為銳角，故所求方向余弦為 16112)1()4(1212cos222 ; 1614cos 1611cos 2223),(yxyxf 由由機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束40/51【解【解】 設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,

28、 ,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 【分析【分析】為隱式情形（待定常數(shù)法）為隱式情形（待定常數(shù)法）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束41/51因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 z

29、yx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束42/51【解【解】, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束43/51【例【例4】【解【解】【分析【分析】的交線的交線和平面和平面求求06222 zyxzyx . )1 , 2, 1(處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程在

30、點在點 M空間曲線方程為一般式，理論上化為參數(shù)式，空間曲線方程為一般式，理論上化為參數(shù)式，再用隱函數(shù)求導(dǎo)的推導(dǎo)法（直接法）求導(dǎo)再用隱函數(shù)求導(dǎo)的推導(dǎo)法（直接法）求導(dǎo).曲線方程為曲線方程為 00222zyxzyx )()( xzzxyyxx 010222dxdzdxdydxdzzdxdyyx , 0)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzzxdxdy , 1)1 ,2, 1()1 ,2, 1( yzxydxdz切切 線：線： 11021 zyx法平面：法平面： 0 )1()1( zx 0 zx 0211 yzx（即（即P87例例2同濟同濟p96例例5）（作業(yè)（作業(yè) p105 同濟同濟p100）機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束44/51二元函數(shù)極值的判定定理二元函數(shù)極值的判定定理0),(,