數(shù)列大題訓練三答案

1、數(shù)列專題訓練三21. a2 , a5是方程x 12x27 0的兩根，數(shù)列an是公差為正的等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項和為Tn ,1且 Tn 1bn n N .二隹 _2-(I )求數(shù)列 an解：(,bn的通項公式Cn = an bn，求數(shù)列Cn的前n項和Sn 在TnI )由 a?a512, a> a27 .且d 0得a23, a 5 9a5a231bn中,令n22 , a11 an2n 1 n兩式相減得bn1,得 bi(n )Cn2n 1bn2nSn=212 2a319a2設bn2 bn4nn32 -.當n3.bn 1bn 1Sn£ I *2 時，Tn=1* 2bn1bn , T

2、n 12211 bn 1 ,22nN33311 i3 n 11 132n 3n32n2 132Sn3325332 1 232n 13n133 an滿足，并證明：a32n 13n 11 1 123 32n3n4n 4Sn1n32n22n 1n 1323n3na10 且 Sn 12S n1n( n 1), (n2*)；N *)anan 1 an ( n 三 N*),求證:n nbnN1 2bn 1 ；(3)求數(shù)列 an( n N *)的通項公式。( 4分)解答:(1)由已知S2 2S1 1,即a1a2 2a11,a21dpi=wS32S23，即a1 a2 a32(a1a2 )3,有 a34S由n1

3、2Sn1 n(n 1)，有 Sn2Sni 11 ( n1)(n n2)22)11Sn 1Sn2(S nSnQn(n1)n(n 1)22即an 12ann,( n2)同時，a22 a1 11, Mikan 12ann, (nN*)At涉 M(2) 由(1 )：an 12ann，有 an 22an 1n1即an 2an 1未1u2(an1 an)1bn1 2bn1(3 )由(2): bn i 12(b n 1)而b11a2a11 2 ,卜 th1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，n 1_ nn /bn1 2 22, bn 21n 即 an 1 an 21，而 an 1 2a n n ,有：2ann

4、an 21,nan2 n 1(nN*)3.已知 an 是等差數(shù)列， bn 是等比數(shù)列， Sn是 an 的前 n項和，a1 = b1 = 112,b2*11 11(H)若 a bn Nan 是公比為9的等比數(shù)列，求證：S1S2 S3Sn解:設等差數(shù)列 a n的公差為d ,等比數(shù)列 bn 公比為q.12 *12(I)T S2a1a1d，而 ab2b1 q1 = b1 =1，則q ( 2 + d )=12 .又 t b2是a 1,a3的等差中項，a1 + a 3 = 2b 2，得1 + 1 + 2d=2q，即1 + d = q .d 2,d5,聯(lián)立，解得或iq 3,q4.a(I)若b2是a1, a3

5、的等差中項，求n與bn的通項公式;n 1所以 an = 1 + ( n 1) 2 = 2 n 1, bn = 3 ；或 an = 1 +(n 1)( 5) = 6 5n,n 1bn = ( 4 )()/ an Nba n 1qnd(n 1)dbanq由(I)知 q ( 2 + d ) = 12*a1 = 1 , an N 二d可為1或2或4, an=2n 1 ,112Sn n(n1=1 2( 13顯然，當a1 n 1 呂 q1 ( n 1) d 1 q(n 1) d ,即 q =32.，得 q 12 .2 d，二d為正整數(shù)，從而根據(jù)知但同時滿足兩個等式的只有n(1 2n 1)0.5)(n0.5

6、)11S1S2oSn1 ) ( 1 1)55 7n = 1時，不等式成立.4 .已知函數(shù)f ( X)ax2cx(I)若c 0時，2(q > 1且q也為正整數(shù)，d = 2 , q = 3 ,2n12I 2n121 2 3(n > 2).12 V 1 2(312(12(2n 11)2n 111)51V5 .2n1 2n 13 2n 13*1115故n N，SSS312n(a ,b , c為常數(shù)，a0 )5n(b數(shù)列 an 滿足條件：點(n, an)在函數(shù)f (x)ax2cx的圖象上，求 an 的前n項和Sn ;（H）在（I）的條件下，若a37, S424 , p, q N ( p q

7、)，證明:SP(S2 p2S2 q )；解：（I）依條件有因為點（° ）n小因為an 1;所以 an 是首項是a1 a b，公差為d a的等差數(shù)列.f (x) ax'an7在函數(shù)f (x) ax b的圖象上，所以anana( n 1) b (an b)所以 Sn n( a b) n(n 1) a nb n(2 _n 1)2f (n) an?即數(shù)列 an的前n項和Snnb n( n 1)1 2(a b) 2a 7,?（H）證明:依條件有4( a b) 4 3a2十即24.3a b 7,解得 10a 4b 24.a2,b1.所以an2 1.n因為2Sp q (S2p2所以 Snn

8、 1an ) n2 2 -S2q ) = 2( p q) 2( p q)2n.0 q，所以 2Sp q (S2 pg2 F(4 p 4 p) (4q1S2 q ) 0 .即 Sp q(S2 pS2 q24q)2( Pq)2 ,21 .已知數(shù)列判斷數(shù)列若數(shù)列解：(1) an4a117當k1時，7(2)由（11當k時7所以，數(shù)列(3)an 1(1)1ananan為遞)ana14714n 1743k _7（n N * ）的各項滿足：a11 3k , an 4n 1 3an 14n an是否成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列7anan的通項公式;ch為遞增數(shù)列，求ao的取值范圍.可知當k曾數(shù)4n3an3k .當

9、4 n171k 時，73an374a1。護上74n/ n3(a n 4 ),7 4n0 ,貝擻列an則數(shù)列 an1時，7不是等比數(shù)列;4n 、 是公比為4nan7，也符合上式,的通項公式為4n 17an3k4n列，二3k)(3)的等比數(shù)列.an33k )7n 1(3)(37123k)4n3)124n73k3 4n 123n 1120恒成立.當n為奇數(shù)時；有34n123n1 12n 13 k 0，即 k114恒成立，7773n 1電1 1t4 1A_'X* I由140得k0 .33n 13 k 0，即 kn1當n'為偶數(shù)時，有/pSbJb34n123n1 1211 4恒成立，7

10、"773n 117"得k1由14 141 *1 .故k的取值范圍是0,V V V33 A3335.設數(shù)列 an是首項為a (a），公差為2的等差數(shù)列，其前n項和為Sn ,且S1 , S2 , S3成等差數(shù)列I11 Xn 1Tn ,bn求Tn（I）求數(shù)列 an的通項公式；（H）記的前n項和為解：（i）： S1 a1 , S2 a1v V v由 S1 , S2 , S3成等差數(shù)列得， 解得a1a22 S2Oi2n2a12, S3 a1Sia2 a33a1 6,VVS3，即 22aiai3ai 6 ,1，故 an 2n 1 ；() bnan1 : Tn1得，2得，1TT2 n12

11、n 1(22n(2(1 )1 3 (21 2 n 1 ()3 (1)321)J T , "35 ()2(2 n -1) C 1 )n ,2)4(2 n 3)(2 n 1)(1 )n 1212(2)2 (2 3)2詁)1(2 n1)22 (1 2n)1(2n1)(1)n 1312n1 ,41 2222n1 2n112i42n12n 3二 Tn33只n222an =2n一11 1法2 :bn2 n2nn2n 12 nnnk 1設Fnk，記f ( X)(kx ),k 12 1k1則 f (x)n一Xkn k Xs y nX X11(n 1n x)xk 1k11 X(1、nx)*1n 1JI

12、i if二 Fn4(n2)，I-1-=2故1(11).Mb2n 3TF22n4 ( n2)1 113nm nnn112 n 122126 .已知數(shù)列= On,bn滿足O12 ,2a n1OnOn 1,bnOn1 ,設數(shù)列bn的前n項和為Sn ,令TnSnS 02 n(1)求數(shù)列 bn的通項公式；(2)求證：Tn 11斗-(1)解：由bnan anbn1代入2anb bn n 1 bn0從而有111，所以b1b n 1bn1n,即 bn1的等差數(shù)列，lbbnnTn (n N )$1 an an 1 得 2(bn 1) 1 (bn 1)(b n 11),整理得31 1 2 1 1，所以，1是首項為

13、1，公差為1bn=u«+17.已知數(shù)列 an中，31 2 , 32 3，其前 n 項和 Sn 滿足 Sn 1 Sn 1 2Sn 1 ( n(1)求數(shù)列 an的通項公式;nn 1an(2)設bn 4 ( 1)2 (為非零整數(shù)，n有bn 1 bn成立.*N )，試確定的值，使得對任意n*N，都解：(1 )由已知，Sn 1 Sn Sn Sn 11n N *(n 2 ,) ,?sa1以疋n nu1 n2為首項，公差為 1的等差數(shù)列.?4 分(2 )van，二bn4n ( 1)n12n 1，要使bn 1 bn恒成立，-bn 1 bn4n12n 22n 10恒成立，n二3 4令=3n 1112n

14、 12n 1恒成立.ap 0恒成立，?n 12 恒成立，(i)當 n當且僅當n 1時，2n 1有最小值為1,1為奇數(shù)時，即n 1?J(ii)當n為偶數(shù)時，即2 一8分n 12恒成立，當且僅當?2時，2n 1有最大值10分綜上所述，存在1 ,使得對任意*N，都有bn1bn6、(理科)已知點Pn ( an , bn滿足an 1bn1 4/，且點P1的坐標為(1,1).(I)求經過點Pi ,P2的直線I的方程;(H)已知點Pn ( sh , bi )( n)在P1，P2兩點確定的直線I上，1求證：數(shù)列是等差數(shù)列Sn(山)在(H)的條件下，求對于所有N，能使不等式(1S1 )(1 S2 )(1 a n

15、 )成立的最大實數(shù)解：(I因為b所以所以過點P1 ,21 4a1 23a2a1 t21 .3所以1 1P2(,).3 3P2的直線I的方程為2x(n)因為Pn (an, bn)在直線1上，所以2an*bn _1.所以bn千由 an 1anbn 1，得 an 1an (1 2a n1 ).即an 1an2anan 1ft*所以 112 .所以是公差為2的等差數(shù)列an 1 anan-11(山)由(n得12(n1).所以12(n1) 2nana1an所以bn12an2n 3依題意k<(1a )(1a )(1 a )2n 112bAl設 F (n)(1a1 )(1az )(1 an )b2b3n

16、 1所以只需求滿足)b因為 F'(1#1)(1a2 ) (1 ran )(1an 1b2b3n 2F (n)(1 a1)(1a2 )(1 a n)b2b3bn 12n2*/I 2 “4n'8n=(1 an 1) bnr14iT-1 2a n 11 所以an12n 1b b b 恒成立.n2 3 n 1k < F (n)的F (n)的最小值.2n 1 2n 3 4n 2 8n 3所以F (n) ( x N )為增函數(shù).所以F (n)mimin F (1)2 3.所以kmax?14分已知點 P1 (a1 ,b1 ), an 是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列。 bn是等比數(shù)列;xP2 ( a2 ,b2 ) , ?,Pn (an , bn ) ( n 為正整數(shù))都在函數(shù) y a (a 0,a 1)的圖像上，其中求數(shù)列 an的通項公式，并證明數(shù)列設數(shù)列 b 的前n項的和S ,求 lim Sn ;nSn 12設Qn (an ,0)，當a 時，問-30Pn Qn的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由;解:(1)an