【教案】8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積教學設計高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

1、8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積 (人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第二冊第八章)一、教學目標 1. 數(shù)學抽象：通過圓的面積推導方法由球的表面積推出其體積公式。 2. 邏輯推理：通過例題和練習逐步培養(yǎng)學生將理論應用實際的。3. 數(shù)學建模：本節(jié)重點是數(shù)學中的形在講解時注重培養(yǎng)學生數(shù)形結合能力，有利于數(shù)學建模中數(shù)形結合能力。 4. 數(shù)據(jù)分析：通過利用表面積及體積公式解決一些計算問題。二、教學重難點1. 掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積計算公式和應用；2. 掌握棱柱、棱錐、棱臺有關的組合體的表面積與體積,會解決球的切、接問題 三、教學過程1 創(chuàng)設情景讓學生回顧棱柱、棱錐、棱臺有關的

2、組合體的表面積與體積【設計意圖】把已學知識與新知建立聯(lián)系，溫故知新。并引出本節(jié)新課內容2 新知探究問題1:圓柱、圓錐、圓臺的展開圖是什么？(小組合作，學生回答，教師點撥)生答:圓柱的側面展開圖為矩形:圓錐的側面展開圖是扇形:圓臺的側面展開圖是扇環(huán):問題2:如何求它們的表面積與體積？(提出本節(jié)課所學內容)問題3:圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積與體積公式之間有什么關系？大家能用圓柱、圓錐、圓臺的結構特征來解釋這種關系嗎？小組合作，學生回答，教師點撥問題4:你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、椎體、臺體的體積公式之間又有什么關系？小組合作，學生回答，教師點撥【設計意圖】段煉學生推理能力

3、, 培養(yǎng)學生數(shù)形結合能力.3新知建構圓柱的表面積公式:;圓柱的體積公式:r是底面半徑，h是高,則;圓錐的表面積公式:;圓錐的的體積公式:r是底面半徑，h是高,則;圓臺的表面積公式:;圓臺的體積公式:, 其中S ，分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）的高球的表面積公式：（R為球的半徑）;球的體積公式:設球的半徑為R，則球的體積：利用圓的周長求圓的面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積。如圖，把球O的表面分成n個小網(wǎng)格，連接球心O和每個小網(wǎng)格的頂點，整個球體就被分割成n個“小錐形”。當n越大，每個小網(wǎng)格越小時，每個“小錐體”的底面就越平?！靶∽刁w”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R，設

4、O-ABCD是其中一個“小椎體”，它的體積是S0-ABCD13SABCDR ,由于球的體積就是這n個“小椎體”的體積之和，而這n個“小椎體”的底面積之和就是球的表面積。因此，球的體積V球=13S球R=134R2R=43R3 .【設計意圖】段煉學生類比推理能力， 使學生宏觀理解多個公式之間的關系.4 數(shù)學運用例一：如圖，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成的，半球的直徑是0.3m.圓柱高0.6m.如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（取3.14) 解：一個浮標的表面積為2*0.15*0.6+4*0.15=0.8478（m）所以給

5、1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)【設計意圖】培養(yǎng)其解決實際問題能力，對已學知識進行鞏固，段煉其計算能力.例二：如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。解：設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，V球=43R3, V圓柱=R22R=2R3, V球：V圓柱=2:3 .【設計意圖】段煉其發(fā)散思維，培養(yǎng)其解決實際問題能力。變式題1：內接球問題設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為( )A. 3a2 B. 6a2 C. 12a2 D. 24a2解： 作出圖形的軸截面如圖所示，點O即

6、為該球的球心，線段AB即為長方體底面的對角線，長度為 a2+2a2 = 5a ，線段BC 即為長方體的高，長度為a，線段AC即為長方體的體對角線，長度為 a2+(5a)2 = 6 a， 則球的半徑 R=AC2=6a2 ,所以球的表面積S=4R2=6a2.總結：（1）.球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內切球，此時球的半徑為 r1=12a ，過在一個平面上的四個切點作截面如圖(1)(2).長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，過球心作長方體的對角線，則球的半徑為12a2+b2+c2，如圖

7、(2)【設計意圖】對已學知識進行檢驗，對學生新知掌握程度有所了解，培養(yǎng)學生理論與實際相結合的能力.變式題2：九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思是：“在屋內墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知一斛米的體積約1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放米堆約有（ ）A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛【設計意圖】對已學知識進行檢驗，了解數(shù)學史，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)學生理論與實際相結合的能力.課堂小結1. 圓柱、圓錐、圓臺的表面積 S圓柱=2r(r+l)S圓錐=rr+lS圓臺=（r,2+r2+r,l+rl）2. 圓柱、圓錐、圓臺的體積V圓柱=r2h（S為底面面積，h為高）