初中數學銳角三角函數的知識點復習

1、初中數學銳角三角函數的知識點復習一、選擇題1.如圖，正方形BC 4, DEABCD中，點E、F分別在邊1 ,則GF的長為（）CD , AD 上,BE與CF交于點G .若AF13 A.5【答案】A【解析】12B.5C.1916 D5根據正方形的性質以及勾股定理求得BE CF5,證明BCECDF ,根據全等三角形的性質可得 CBE DCF ,繼而根據cos CBEBC CG cos ECG ,可BE CE求得CG的長，進而根據GF CF【詳解】CG即可求得答案.四邊形ABCD是正方形, BCCDAD 4,BC 4,BCE CDF 90 , AFDFDECEBECF32在BCE和CDF42中，5,B

2、C CDBCECDFCE DFBCECDF (SAS),cosCBECBECBECG GFCFCEBECGCEB 90 CGE ,cosCGCGECG BCBECGCE '125135故選A.【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，三角函數等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數形結合思想的運用.2 .在Rt祥BC中，/ C=90°,如果 AC=2, cosA=-,那么 AB的長是（）3A. 3B. 4C. 75D. 133【答案】A【解析】根據銳角三角函數的性質，可知cosA=£C=2,然后根據AC=2,解方程可

3、求得 AB=3.AB 3故選A.點睛：此題主要考查了解直角三角形，解題關鍵是明確直角三角形中，余弦值AcosA= "口卜人,然后帶入數值即可求解.斜邊3 .公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解周髀算經時給出的趙爽弦圖”如圖所示,它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如果大正方形的面積是125,小正方形面積是 25,則sin2cos ()P 3,5C. D.根據正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5 、一 5，小正方形的邊長為 5,再根據直角三角形的邊角關系列式即可求解.【詳解】解：大正方形的面積是125,小正方形面積是 25,，大正方形的邊長為 5,. 5 ,

4、小正方形的邊長為 5,5而cos5而sin5 ,cos sinsin cos故選：A.【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關鍵是正確得出cos sin4 .如圖，對折矩形紙片 ABCD,使AD與BC重合，得到折痕 EF,把紙片展平，再一次折疊 紙片，使點A落在EF上的點A'處，并使折痕經過點 B,得到折痕BM,若矩形紙片的寬 AB=4,則折痕BM的長為（）C. 8D. 8,3A.晅3【答案】A【解析】【分析】根據折疊性質可得1.,一一BE=AB, A B=AB=4/BAM=/A=90 , / ABM=/MBA ,可得/2EAB=30 °

5、;,根據直角三角形兩銳角互余可得/EBA =60 °,進而可得/ ABM=30° ,在RtAABM中，利用/ ABM的余弦求出BM的長即可.【詳解】.對折矩形紙片 ABCD,使AD與BC重合，AB=4,1 -BE=-AB=2, Z BEF=90°,2 把紙片展平，再一次折疊紙片，使點 A落在EF上的點A'處，并使折痕經過點 B,.AB=AB=4, / BAM=/A=90°, / ABM=/MBA； . / EAB=30° , ./ EBA=60°, . / ABM=30 , .在 Rt祥BM 中，AB=BM cos/ ABM,

6、即 4=BM cos30 ；解得：BM=8/3 ,3故選A.【點睛】本題考查了折疊的性質及三角函數的定義，折疊前后，對應邊相等，對應角相等；在直角 三角形中，銳角的正弦是角的對邊比斜邊；余弦是角的鄰邊比斜邊；正切是角的對邊比鄰 邊；余切是角的鄰邊比對邊；熟練掌握相關知識是解題關鍵5.如圖，AABC內接于半徑為 5的。O,圓心。到弦BC的距離等于3,則/ A的正切值等C. 3D.4試題分析：如答圖，過點O作OD，BC,垂足為D,連接 OB, OC, OB=5, OD=3, 根據勾股定理得 BD=4. /A=1/BOC,/A=/BOD.2BD 4 tanA=tan / BOD= -.OD 3故選D

7、.考點：1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.勾股定理；4.銳角三角函數定義.6.同學們參加綜合實踐活動時，看到木工師傅用主弧法”在板材邊角處作直角，其作法是：如圖：(1)作線段AB,分別以點A, B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點 C;(2)以點C為圓心，仍以 AB長為半徑彳乍弧交 AC的延長線于點 D;(3)連接 BD, BC.根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是()-0A. /ABD= 90°B. CA= CB= CDC. sinA= X3D. cosD= 1【答案】D【解析】【分析】由作法得CA= CB= CD= AB,根據圓周角定理得到/ ABD=90。，點C是A

8、ABD的外心，根 據三角函數的定義計算出/D= 30°,則/ A=60°,利用特殊角的三角函數值即可得到結論.【詳解】由作法得 CA= CB= CD= AB,故B正確； 點B在以AD為直徑的圓上，丁./ ABD=90°,故 A 正確；.點C是AABD的外心，_AB1在 RtABC中 sin/ D=-=-'AD2 ' ./ D= 30°, / A = 60°, .sinA=Y3,故C正確；cosD= ,故D錯誤，故選：D.【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三

9、角形的外心.也考查了圓周角定理和解直角三角形.A. 2+ 73B. 2737 .如圖，在 AABC中，AC± BC, Z ABC= 30 °,點D是CB延長線上的一點，且 BD= BA, 則tan / DAC的值為（）C. 3+ .3D. 3 .3【分析】【詳解】 設 AC=x,在 RtAABC 中，/ ABC=30 ,即可得 AB=2x, BC=J3x,所以 BD=BA=2x,即可得 CD=Qx+2x=(4+2) x,在 RtAACD 中，tan / DAC=CD(石 2)x J3 2AC x'故選A.8 .為了方便行人推車過某天橋，市政府在10m高的天橋一側修建

10、了 40m長的余道（如圖所示），我們可以借助科學計算器求這條斜道傾斜角的度數，具體按鍵順序是（）B. 行| 0 | * I 5 I | 二 c.叵 口 H【解析】【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.25,然后利用計算器求銳角/A.【詳解】解：因為 AC= 40, BC= 10,sin/ a=BCAC，所以 sin/A= 0.25.所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數時，按鍵順序為回卬0H目故選：A.點睛：本題考查了計算器-三角函數：正確使用計算器，一般情況下，三角函數值直接可以求出, 已知三角函數值求角需要用第二功能鍵.9 .如圖，e O是VABC的外接圓，AD是e O的直徑，若e O

11、的半徑是4,1 -sin B 則線段AC的長是（）.4cA. 2B. 4C.D. 6【答案】A【解析】【分析】連結CD如圖，根據圓周角定理得到/一14ACD= 90 ，/ D=/ B,貝U sinD=sinB=,然后在4RtAACD中利用/ D的正弦可計算出 AC的長.連結CD,如圖， .AD是。O的直徑,/ ACD= 90 ,. / D= / B,sinD= sinB=,4AC在 RtAACD 中， sinD=AD .AC= -AD= - X8= 2.44故選A.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對

12、的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.10 .如圖，在扇形 OAB中， AOB 120，點P是弧AB上的一個動點（不與點 A、B 重合），C、D分別是弦AP , BP的中點.若CD 3 A 則扇形AOB的面積為（）A. 12B. 2C. 4D. 24【答案】A【解析】【分析】如圖，作OHXABT H.利用三角形中位線定理求出 AB的長，解直角三角形求出OB即可解決問題.【詳解】解：如圖作OHLAB于H.P C、D分別是弦AP、BP的中點. .CD是AAPB的中位線，.-.AB=2CD= 6追， /OHXAB, bh=ah= 3 6 . OA=OB, / AOB= 1

13、20°, ./ AOH= / BOH= 60°,在 RtAAOH 中，sin/AOH= AH-,AOAH 3V3 小.AC ：6 AO=sin AOH V3，22360扇形AOB的面積為：120g g612故選：A.【點睛】本題考查扇形面積公式，三角形的中位線定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會 添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.11.某同學利用數學知識測量建筑物DEFG的高度.他從點 A出發(fā)沿著坡度為i 1:2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，用測角儀測得建筑物頂端D的仰角為37。，建筑物底端E的俯角為30°,若AF為水平的地面，

14、側角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度DE約為（精確到0.1米，參考數據：73 1.73, sin37 0.60 ,cos37 0.80,tan370.75）（）A. 23.0米B. 23.6 米C. 26.7米D, 28.9米【答案】C【解析】【分析】如圖，設CB±AF于N,過點C作CMLDE于M,根據坡度及 AB的長可求出BN的長，進 而可求出CN的長，即可得出 ME的長，利用/ MBE的正切可求出 CM的長，利用/ DCM 的正切可求出DM的長，根據DE=DM+ME即可得答案.【詳解】如圖，設 CB±AF于N,過點C作CMLDE于M, 沿著坡度為i 1

15、: 2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，. BN A一AN 2.4 '.AN=2.4BN,BN2+ （2.4BN） 2=262,解得：BN=10 （負值舍去）， .CN=BN+BC=11.。.ME=11.6, / MCE=30 , .CM= ME =11.6，3, tan30 / DCM=37 , .DM=CM tan37 =8.7 J3 , .DE=ME+DM=11.6+8.7 石= 26.7（米）,故選：C. 【點睛】本題考查解直角三角形的應用，正確構造直角三角形并熟練掌握三角函數的定義及特殊角 的三角函數值是解題關鍵.12.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形 ABCD是菱形，點B

16、的坐標是（0, 4）,點D的 坐標是（8J3, 4）,點M和點N是兩個動點，其中點 M從點B出發(fā)，沿BA以每秒2個 單位長度的速度做勻速運動，到點 A后停止，同時點 N從點B出發(fā)，沿折線BCD以每 秒4個單位長度的速度做勻速運動，如果其中一個點停止運動，則另一點也停止運動，設M, N兩點的運動時間為 x, ABMN的面積為y,下列圖象中能表示 y與x的函數關系的圖 象大致是（）024 YO2A_ x "024 X 0 24 X【答案】D【解析】【分析】根據兩個點的運動變化，寫出點N在BC上運動時ABMN的面積，再寫出當點 N在CD上運動時ABMN的面積，即可得出本題的答案；【詳解】解

17、：當0<x?2時，如圖1 :圖】連接BD, AC,交于點O',連接NM,過點C作CP，AB垂足為點 巳CPB=90,四邊形ABCD是菱形，其中點 B的坐標是（0, 4）,點D的坐標是（8 J3 , 4）, .BO'=4B CO =4. BC=AB=JO B2 O C2 8， ,.AC=8,.ABC是等邊三角形， / ABC=60 ,.CP=BC： sin60=8X立=4Q, BP=4,BN=4x, BM=2x,BM2x x BN xBP4 2 ' BC 2 ',BM _ BN , , , BP BC又. / NBM=/CBP, . NBMA CBP, ./

18、 NMB=Z CPB=90,-1 SVCBP- BP CP2-4 4出8a/3；2S/NBM SVCBP2BNBC即 y=SVNBMSVCBP2BNBC8、32工=2百x2,當2<x?4時，作NEL AB,垂足為E,四邊形ABCD是菱形,.AB/ CD, .NE=CP=4 3 ,BM=2x,1 1 _ y= BM NE = g2xg4>/3 4后x ；22故選D.【點睛】本題主要考查了動點問題的函數圖象，掌握動點問題的函數圖象是解題的關鍵13.如圖，已知AAiBiCi的頂點Ci與平面直角坐標系的原點O重合，頂點Ai、Bi分別位于x軸與y軸上，且CiAi=i, / CiAiBi=60

19、°,將AiBiCi沿著x軸做翻轉運動，依次可得到祥2B2c2, 那3B3c3等等，則 C20i9的坐標為()A.(20i8+672 T3,0)B.(20i9+673 V3 ,0)C.( 4035+672 73,爭D.(2020+674 73,0)【答案】B【解析】【分析】根據題意可知三角形在 x軸上的位置每三次為一個循環(huán)，又因為 20i9 3 673,那么C20i9相當于第一個循環(huán)體的 673個C3即可算出.【詳解】由題意知，C1Al i ,CiAiBi 60 ,則CiBiAi30, ABA2B22,C1B1C2B2C3B373,結合圖形可知，三角形在 x軸上的位置每三次為一個循環(huán),

20、Q 2019 3 673OC201g 673(1 2 73) 2019 673J3,C2019(2019 673/3,0),故選B .【點睛】.理解題目中每三次是一個循考查解直角三角形，平面直角坐標系中點的特征，結合找規(guī)律 環(huán)是解題關鍵.14.如圖，在正方形 ABCD中，AB 3,點M在CD的邊上，且 DM 1, AEM與ADM關于AM所在直線對稱，將 ADM按順時針方向繞點 A旋轉90°得至U ABF ,連 接EF ,則cos EFC的值是()A.生而65【答案】A【解析】【分析】C. 7?5256D.117過點E作HG/AD ,交AB于H,交CD于G,作ENEHAE1VAEH :

21、 VEMG ,則有-二，設 MGMGEM3BC于N,首先證明DG AH 1 x ,在RtVAEH中利用勾股定理求出 x的值，進而可求EH , BN ,CG, EN的長度，進而可求FN,再利用勾股定理求出 EF的長度，最后利用FNcos EFC 即可求解.EF【詳解】過點E作HG/AD ,交AB于H,交CD于G,作EN BC于N,則AHG MGE 90 ,四邊形ABCD是正方形，AD AB 3, ABC C D 90 ,.四邊形 AHGD,BHEN,ENCGTB是矩形.由折疊可得，AEM D 90 ,AE AD 3,DM EM 1,AEH MEG EMG MEG 90 ,AEH EMG ,VAE

22、H :VEMG ,EHAE JMGEM 3 '設 MG x,則 EH 3x, DG AH 1 x在 RtVAEH 中，Q AH 2 EH2 AE2 ,(1 x)2 (3x)2 32 ，4斛得x 或x 1 (舍去)， 512-66EH BN , CG CD DG EN 55Q BF DM 1FN BF BN在 RtA EFN 中,由勾股定理得,EF . EN2 FN2cos EFCFNEF17 1365 '故選：A.【點睛】 本題主要考查正方形，矩形的性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，銳角三角函 數，能夠作出輔助線是解題的關鍵.OA的長為15.如圖，在 RtAABC 中，/

23、 ABC=90°, AB=2 J3 , BC=2,以 AB 的中點為圓心,半徑作半圓交AC于點D,則圖中陰影部分的面積為 （）【解析】【分析】連接OD,過點。作OH，AC,垂足為 H,則有 AD=2AH, / AHO=90 ,在RtAABC中，利用/A的正切值求出/ A=30。，繼而可求得 OH、AH長，根據圓周角定理可求得/BOC =60,然后根據S陰影=SAABC-SAAO>S扇形BOD進行計算即可.連接OD,過點O作OH, AC,垂足為 H,貝U有 AD=2AH, / AHO=90 ,.BC 2、3在 RtAABC 中，/ABC=90, AB=2i/3, BC=2, ta

24、n Z A= C - - AB 2.33 '/ A=30°, .OH=1 OA= , AH=AO?cos/ A= 3221.33 2260、35,3=3604 .AD=2AH=3 ,，S 陰影=SABC-SAAO>S 扇形 BOD= 12J3 221故選A.【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識，正確添加輔助線, 熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.16.如圖，在平面直角坐標系中,AOB的頂點B在第一象限，點 A在y軸的正半軸上,AO AB 2, OAB 1200,將 AOB繞點。逆時針旋轉90°,點B的對應點B'的C

25、. ( 3,2B. ( 2 -3,22D. ( 3, . 3)【答案】D【解析】【分析】過點B'作x軸的垂線，垂足為 M,通過條件求出 B'M , MO的長即可得到 B'的坐標. 【詳解】解：過點B'作x軸的垂線，垂足為 M,. AO AB 2,A'O A'B' 2,B'A'M 60 ,OAB 120 ,OA'B' 120 ,在直角A'B'M中,B' M B' M .3 sin / B' A' M =B'A' 22/A' M A'

26、; M 1cos / B' A' M = 一 ，B' A 22B'M B A'M 1, .OM=2+1=3 ,B'的坐標為（3, J3）.故選：D.【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助 線，構造直角三角形解決問題.17.如圖，兩根竹竿 AB和AD斜靠在墻CE上，量得 BAC 60 , DAC 70 ,則竹竿AB與AD的長度之比為（A. 2sin70B. 2cos70【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數關系分別表示出C. 2tan702D.tan 70AB, AD的長，即可得出答案.解：/ BAC=60, /DAC=70,AC 1.cos60 = 一AB 2 '則 AB=2AG cos70 =殷,AD.AC=AD?cos70°,AD=q,cos70AB 2ACAD A