數(shù)學(xué)下《元次方程》復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、一元二次方程復(fù)習(xí)課【復(fù)習(xí)導(dǎo)航】1 、一元二次方程有三個特點： （ 1）只含有一個未知數(shù)； （2）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2；（ 3）是整式方程 .2、要判斷一個方程是否為一元二次方程，應(yīng)以上面這三個特點來橫量.3 、一元二次方程的一般形式ax2bxco a0, b, c為任意實數(shù)4 、解應(yīng)用題的一般思路審（審題） ；找（找出題中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系）；設(shè)（設(shè)元，包括設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)）；表（用所設(shè)的未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關(guān)量）；列（列方程） ； 解（解方程） ；檢驗（注意根的準(zhǔn)確性及是否符合實際意義）.【知識點匯總】知識點

2、一：直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法. 一般地，對于形如x=a（ a 0）的方程，根據(jù)平平方根的定義，可解的x=， x=-.知識點二：用因式分解法解一元二次方程1. 因式分解法的意義：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，如對于方程 x-4=0 ，左邊分解因式可得（x+2）（ x-2 ）=0，則必有x+2=0 或 x-2=0 ，所以 x=-2 ，x=2，這種解法叫做因式分解法，即利用因式分解法的方法解方程稱為因式分解法.2. 因式分解法一元二次方程的一般步驟：將方程的右邊化為0將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積1 / 6令每一個因式分別為

3、零，就得到兩個一元一次方程 解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解知識點三：配方法把一個一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊為一個非負(fù)常數(shù)，然后利用開平方數(shù)求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.知識點四：公式法1. 一般地，對于一元二次方程 ax +bx+c=0（ a 0），如果 b -4ab 0，那么方程的兩個根為 x=-b ±/2a.這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式， 我們可以由一元二次方程的系數(shù)a、b、 c 的值，直接求得方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做求根公式法.2. 一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，就是

4、用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（ a 0）的過程 .解： a 0，方程兩邊都除以a，得 x+bx/a+c/a=0移項，得x+bx/a=- c/a，配方，得x+2*x*b/2a+ （ b/2a ）=（ b/2a ）- c/a即（ x+ b/2a ）=b-4ac/4a a 0， 4a 0，當(dāng) b-4ac 0 時，直接開平方，得x+ b/2a= ±/2a x=- b/2a±/2a ，即 x=-b ±/2a友情提醒：一元二次方程ax+bx+c=0（a 0）的根是由一元二次方程的系數(shù)a、 b、 c 確定的 .2 / 6由配方法推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式

5、，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大簡化了書寫步驟，減小了計算量，使我們能快速、準(zhǔn)確地求出方程的解 . 公式法是解一元二次方程的通用法，盡管配方法和公式法是解一元二次方程兩個截然不同的方法，但是這兩種方法有密切的聯(lián)系，可以說沒有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的產(chǎn)生，配方法是公式法的基礎(chǔ)，而公式法又是配方法的簡化.知識點五：靈活運用一元二次方程的四種基本解法解一元二次方程解一元二次方程，常用的方法有四種：直接開平方法，因式分解法，配方法，求根公式法. 這四種方法各有長處，直接開平方法和因式分解法雖然簡單易行，但是并非所有的一元二次方程都能用這兩種方法來解決； 配方法

6、適用于任何一個一元二次方程，但配方法比較麻煩；公式法也適用于任何一個一元二次方程，是解一元二次方程的主要方法， 且公式法比配方法簡單的多，它直接是用配方法導(dǎo)出的公式. 但公式法不如直接開平方法和因式分解法快捷. 因此，在解具體方程要根據(jù)方程的特征，因題而異，靈活運用適當(dāng)?shù)慕夥?知識點六：一元二次方程根的判別式我們知道， 一元二次方程ax+bx+c=0（a 0）用配方法可將其變形為（ x+ b/2a ）=b-4ac/4a，因為 a 0，所以 4a 0，我們可以看出： b-4ac 0 時，方程右邊是一個正數(shù)，因此有x =-b+/2a ， x=-b-/2a ，這樣兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng) b-4ac=

7、0 時，方程右邊是0，因此方程有x= x=-這樣兩個相等的實數(shù)根；當(dāng) b-4ac 0 時，方程右邊是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊（x+）不可能是一個負(fù)數(shù)，因此方程沒有實數(shù)根.由此可知， 一元二次方程ax+bx+c=0 的根的情況可由b-4ac 來判定， 這樣我們不解方程就可以判斷方程根的情況.知識點七：列一元二次方程解決實際問題一元二次方程在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用.在應(yīng)用一元二次方程解決實際問題時，關(guān)鍵是注意數(shù)量關(guān)系的分析后找出相等關(guān)系. 再設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出方程. 得到方程的解后，還必須檢驗是否符合題意.【知識延伸】例 1 把 3x2-7xy-6y 2-10x+8y+8 分解因式 .解析原式

8、=3x 2-(7y+10)x-(6y 2-8y2-8),3 / 622令 3x -(7y+10)x-(6y -8y-8)=0,則 =-(7y+10) 2-4 ×3×-(6y 2-8y-8)=121y 2+44y+4=(11y+2)2 0.(7 y10)(11y 2)于是方程兩根 x1,2=232y 4即 x1=3y+2,x 2=-32 y4原式 =3(x-3y-2)(x+)3=(x-3y-2)(3x+2y-4).點評二元二次多項式可整理成關(guān)于x(或 y)的二次三項式進(jìn)行因式分解,?二次三項式又可以通過求關(guān)于 x(或 y)的一元二次方程的根來分解 .例 2 已知凸 4n+2

9、邊形 A1A2 A4n+2(n N) 各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍 ,?已知關(guān)于 x 的方程x22xsin A1sin A20,x22xsin A2sin A30,x22xsin A3sin A10,均有實根 ,求這凸 4n+2 邊形各內(nèi)角的度數(shù).解析各內(nèi)角只能是30°,60 °,90 °,120 °,150 °,13正弦值只能取,1.22111若 sinA 1= ,sinA 2 ,sinA 3 ,222 方程的判別式 1=4(sin211A 1-sinA 2) 4( -)<0.42方程無實根,與已知矛盾 ,故 sinA 11.21

10、1同理 sinA 2 ,sinA 3 ;22若 sinA 1=33,sinA 33,則 sinA 2 ,222方程的判別式 1=4(sin2A133-sinA 2)=4 ·( -)<0, 方程無實根 ,與已知矛盾 .42333 sinA 1,同理 sinA 2,sinA 3 .222綜上 ,sinA 1 =1,A 1=90 °.4 / 6這樣 ,其余 4n-1 個內(nèi)角之和為4n×180 °-3 ×90°=720 °·n-270 °,這些角均不大于150 °, 720 °·

11、;n-270 ° (4n-1) 150· °,故 n 1.又 n 為正整數(shù) , n=1.即多邊形為凸六邊形,且 A 4+A 5+A 6=4×180 °-3 ×90°=?450 °. A 4,A5,A 6 150 °, A 4=A 5=A 6 =150 °.點評由于各內(nèi)角都是30°的整數(shù)倍 ,故只能是 30°,60 °,90 °,120 ,150°°,根據(jù)方程有實根的條件 ,確定 A 1,A2,A 3的值 ,再利用多邊形內(nèi)角和定理與每一內(nèi)

12、角不大于150°,確定多邊形的邊數(shù),即 n 的值 ,以此可得其余各內(nèi)角的度數(shù),本題應(yīng)充分考慮方程有實根的條件.【好題妙解】例 已知如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=DC=1, DAB= DCB=90°,BC 、AD ?的延長線交于點 P,求 AB.S PAB 的最小值 .解析 設(shè) DP=x, 則 PC= x21 .P PCD PAB,C CD:AB=PC:PA.CD PAx1D. AB=x21PCAB設(shè) y=AB.S PAB,則12( x1)2y=AB ·PA=2(x2·(x+1).21)x2+2(1-y)x+(1+2y)=0, x 是實數(shù) ,方程有實數(shù)根. =4(1-y) 2-4(1+2y)=4y(y- 4) 0,由于 y>0, y 4,即 AB·SPAB 4,其最小值為4.點評本題是利用判別式解幾何題 ,關(guān)鍵是據(jù)已知條件和圖形的數(shù)量特征 ,?建立一個一元二次方程 ,然后 ,由實根存在的條件 ,使問題得到解決 .【復(fù)習(xí)小結(jié)】 一般地，當(dāng)一元二次方程一次項系數(shù)為0 時（ ax 2+c=0 ），應(yīng)選用直接開平方法；若常數(shù)項為 0（ ax 2 +bx=0），應(yīng)選用因式分解法；若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0( ax 2 +bx+c=0），先化為一般式，看一邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解