高中數(shù)學《微積分基本定理》素材2 新人教A版選修2-2

1、微積分的產(chǎn)生與發(fā)展    一、準備    在十六世紀末、十七世紀初的歐洲，文藝復興帶來了人們思維方式的改變資本主義制度的產(chǎn)生，使社會生產(chǎn)力大大得到解放資本主義工廠手工業(yè)的繁榮和向機器生產(chǎn)的過渡，促使技術科學和數(shù)學急速向前發(fā)展    在科學史上，這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學提出了新的課題公元1492年，哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，證實了大地是球形的觀念；1543年，哥白尼發(fā)表了天體運行論，使神學的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖；開普勒在16091619年，總結出行星運動的三大定律，導致后來牛頓萬有引力

2、的發(fā)現(xiàn)；1609年伽里略用自制的望遠鏡觀察了月亮、金星、木星等星球，把人們的視野引向新的境界這些科學實踐拓展了人們對世界的認識，引起了人類思想上的質(zhì)變十六世紀，隨著資本主義生產(chǎn)萌芽的出現(xiàn)，產(chǎn)生了新的生產(chǎn)關系，社會生產(chǎn)力有了很大的發(fā)展社會實踐中有大量處于不斷運動和變化的關系需要人們?nèi)フJ識和處理對它們的研究從而獲得了“變量”的概念對變化著的量的一般性質(zhì)和它們之間的依賴關系的研究，又得到了“函數(shù)”的概念使得對數(shù)學的研究從常量開始進入了變量的領域這成為數(shù)學發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)折點，也是“變量”數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟    由于“變量”作為新的問題進入了數(shù)學，對數(shù)學的研究方

3、法也就提出了新的要求在十七世紀前半葉，解析幾何的觀念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學家接近了但是十七世紀三十年代，解析幾何才被笛卡爾（Descartes，R（法）15961650）和費爾馬（Fermat，Pde（法）16011665）創(chuàng)立    一般認為，解析幾何的主要創(chuàng)立者是笛卡爾1637年，笛卡爾用法文寫了三篇論文折光學、氣象學和幾何學，并為此寫了一篇序言科學中正確運用理性和追求真理的方法論，哲學史上簡稱為方法論幾何學提出了解析幾何學的主要思想和方法，這標志著解析幾何學的誕生和笛卡爾同時或較早，費爾馬已得到解析幾何的要旨他在平面與立體軌跡引論（開始于1629年，1636

4、年前完成“立體軌跡”指不能用尺規(guī)作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同）一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過對方程的研究可以推斷出曲線的性質(zhì)    在解析幾何里，由于建立了坐標系，可以用字母表示變動的坐標，用代數(shù)方程刻畫一般平面曲線，用代數(shù)運算代替幾何量的邏輯推導，從而把對幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對解析式的研究，使數(shù)與形緊密地結合起來了這種新的數(shù)學方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學的思想和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，思格斯把它稱為數(shù)學的轉(zhuǎn)折點此后人類進入了變量數(shù)學階段，也是變量數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟為十七世紀下半葉微積分算法的出現(xiàn)準備了條件    二

5、、產(chǎn)生    微積分出現(xiàn)于十七世紀后半葉的西歐牛頓（Newton，I（英）16421727）和萊布尼茨（Leibniz，GW（德）1646171）在十七世紀后半葉各自獨立地建立了微積分，這是變量數(shù)學發(fā)展的第二個決定性步驟微積分是經(jīng)過長時間的醞釀才產(chǎn)生的微積分的原理可以追溯到古代在中國，公元前4世紀的桓團、公孫龍街等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；公元3世紀的劉徽，公元56世紀的祖沖之、祖暅對圓周率、面積以及體積的研究，都包含有極限和微積分的思想萌芽在歐洲，公元前3世紀古希臘的歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes約公元前287212）所

6、建立的確定面積和體積的方法，也都包含有上述萌芽在十六世紀末、十七世紀初，由于受力學問題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù)方法來解決的影響，促使許多數(shù)學家去探索微積分開普（KeplerJ（德）15711630）、卡瓦列里（Cavalieri，F(xiàn)B（意）15981647）和牛頓的老師巴羅（Barrow，I（英）16301677）等人也研究過這些問題，但是沒有形成理論和普遍適用的方法1638年，費爾馬首次引用字母表示無限小量，并運用它來解決極植問題稍后，他又提出了一個與現(xiàn)代求導過程實質(zhì)相同的求切線的方法，并用這種方法解決了一些切線問題和極值問題后來，英格蘭學派的格雷果里（Gregory，J（

7、英）16381675）、瓦里斯（WalliS，J（英）16161703）繼續(xù)費爾馬的工作，用符號“0”表示無限小量，并用它進行求切線的運算到十七世紀早期，他們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題的特殊方法諸如，求曲線的切線、曲率、極大極小值，求運動的瞬時速度以及面積、體積、曲線長度、物體重心的計算等但他們的工作差不多都局限于一些具體問題的細節(jié)之中，還缺乏普遍性的規(guī)律    牛頓是從物理學觀點來研究數(shù)學的，他創(chuàng)立的微積分學原理是同他的力學研究分不開的他發(fā)現(xiàn)了力學三大定律和萬有引力定律1687年牛頓出版了他的名著自然哲學的數(shù)學原理，原理從作為力學基礎的定義和公理（運動定律）

8、出發(fā)，將整個力學建立在嚴謹?shù)臄?shù)學演繹基礎上就數(shù)學本身而言，原理不僅深入地運用了牛頓本人創(chuàng)造的分析工具，而且也是牛頓分析學說的第一次正式公布他超越前人的功績在于：將前人創(chuàng)立的特殊技巧統(tǒng)一為一般的算法，特別是確立了微分與積分這兩類運算的互逆關系（微積分基本定理）    萊布尼茨卻是從幾何學的角度去考慮微積分的，特別是和巴羅的微分三角形有密切關系1684年，他在學藝雜志上發(fā)表了他的第一篇微分學文章一種求極大極小和切線的新方法，這是世界上最早的微積分文獻，比牛頓的自然哲學的數(shù)學原理早3年他在文章中談到量的微分概念，提出量的和、差、積、商、根、冪的微分公式，以及微分方法在求

9、切線、求極值等幾何問題上的應用以后又陸續(xù)發(fā)表了一些文章，提出了諸如指數(shù)。對數(shù)的微分公式和微分的進一步的應用，他力圖找到普遍的方法來解決數(shù)學分析中的問題這樣，在十七世紀七十年代中期，萊布尼茨通過研究幾何問題，建立了與流數(shù)法實質(zhì)一樣的微積分算法他所引進的微積分符號“d，f”比牛頓用的符號更靈活，更能反映微積分的本質(zhì)例如微分dx，二階微分d2x， ，都非常適合、便利這些符號一直沿用到今天，在促進微積分方法發(fā)展方面起了積極作用    牛頓和萊布尼茨的工作是各自獨立的，他倆的工作有很大的不同，主要區(qū)別是：牛頓把x和y的無窮小增量作為求導數(shù)的手段當增量越來越小的時候，導數(shù)實際

10、上就是增量的比的極限而萊布尼茨卻直接用x和y的無窮小增量（就是微分）求出它們之間的關系。這個差別反映了牛頓的物理學方向和萊布尼茨的幾何學方向的不同思維方式在物理學方面，需要關注速度、加速度等問題，而幾何學卻著眼于面積體積的計算：牛頓自由地用級數(shù)表示函數(shù)，而萊布尼茨寧愿用有限的形式來實現(xiàn)他們的工作方式也不同，牛頓是經(jīng)驗的、具體的和謹慎的，而萊布尼茨是富于想象的、喜歡推廣的而且是大膽的；他們對記號的關心也有差別，牛頓認為用什么記號無關緊要，而萊布尼茨卻花費很多時間來選擇富有提示性的符號    人類對求積問題（積分學的中心問題）的探討，可以追溯到遠古但對切線問題（微分學

11、的中心問題）的探討卻是比較晚的事因而微分學的起點遠遠落后于積分學牛頓、萊布尼茨將這兩個貌似不相關的問題聯(lián)系起來，用“微積分基本定理”或稱“牛頓萊布尼茨公式”表達出來他們有效地創(chuàng)立了微積分的基本定理和運算法則，從而使微積分能成為一門獨立的學科，并成為數(shù)學中最大分支“分析學”的起源，終于不再是古希臘幾何學的延展這都是他們作出貢獻以前不可能達到的    三、發(fā)展    在數(shù)學上，有人把十七世紀叫做天才的時期，也有人把十八世紀叫做發(fā)明的時期這兩個世紀的數(shù)學成就是巨大的微積分學的深入發(fā)展，成為了十八世紀數(shù)學發(fā)展的主要線索這種發(fā)展與廣泛的應用緊密

12、交織在一起，刺激和推動了許多新分支的產(chǎn)生，使分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特別的獨立的數(shù)學領域這個時期微積分學的發(fā)展有三個顯著特征   第一個特征是分支廣泛數(shù)學家從物理學、力學、天文學的研究中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)立了許多數(shù)學新分支，這些分支在十八世紀大都處于萌芽狀態(tài)，未形成系統(tǒng)嚴密的理論他們的目標不是研究數(shù)學，而是用數(shù)學去解決物理學中的問題他們認為數(shù)學只是物理學的一個工具他們關心的只是數(shù)學對天文學、物理學的價值可以說十八世紀數(shù)學的推動力是物理學和天文學    泰勒（Taylor，B（英）16851731）和馬克勞林（Macleaurin，C（英）169

13、81746）在研究弦振動理論和天文學問題時，得到級數(shù)展開理論；微分幾何是克萊羅（Clairaut，AC（法）17131765）歐拉（Euler，L（瑞）17071783）在研究曲線曲面的力學問題、光學問題、大地測量和地圖繪制問題時產(chǎn)生的；歐拉、拉格朗日（Lagrange，JL（法）17361813）和伯努利兄弟（Nikolaus Bernoulli16951726， DamielBernoulli 17001782（瑞）在研究力學和天體運行問題之時，建立了變分法和常微分方程；達朗貝爾（dAlembert，JleR（法）17171783）、拉普拉斯（Laplace，PS（法）17491827）、

14、拉格朗日在研究弦振動、彈性力學和?有引力問題時建立了偏微分方程理論（主要是一階的）；歐拉、柯西（Cauchy，AL（法）17891857）在研究流體力學問題時，建立了復變函數(shù)論等等    第二個特征是方法的交替幾何論證法是自古以來人們研究數(shù)學時所廣泛使用的方法十七世紀的時候，代數(shù)是人們興趣的中心，那時候代數(shù)和分析還沒有分開來但是到了十八世紀，它變成從屬于數(shù)學分析，而且除了數(shù)論以外，促進代數(shù)研究的因素大部分來自數(shù)學分析隨著對微積分研究的進一步深入，歐拉和拉格朗日認識到分析方法具有更大的效用，就慎重地、逐漸地把幾何論證換成分析論證歐拉的許多教科書里都著重說明了怎樣使用

15、分析法拉格朗日在他的分析力學的序言中大力推廣分析論證拉普拉斯在他的宇宙體系統(tǒng)中也強調(diào)了分析法的重要作用后來許多數(shù)學家開始認識到分析法的重要性，這樣數(shù)學分析的思想方法逐漸被普遍地采用了    第三個特征是不嚴密正如任何一項重大的發(fā)明，都不可能在一開始時便完整無瑕，微積分在其產(chǎn)生的初期，也因理論的不嚴密而在許多方面陷入了自相矛盾的困境    微積分產(chǎn)生于解析幾何、物理等的直觀問題的需要，而同時也廣泛地被利用它沒有相應的數(shù)學理論作指導，還來不及為自己打基礎微積分的基礎是極限理論，而牛頓，萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的究竟什么是極限？無窮小又

16、是什么？這在當時沒有人作出過合理的解釋級數(shù)和積分的收斂性，微分和積分次序交換，高階微分的使用，以及微分方程解的存在性問題等等，那時幾乎沒有人涉足數(shù)學家就沉迷于用新的數(shù)學方法去解決物理、天文等方面的問題，而又被得到的新的成果所陶醉大家還顧及不上去追究在數(shù)學推理上的嚴密性在當時的情況下也沒看到有這必要正如達朗貝爾在1743年說：“直到現(xiàn)在表現(xiàn)出更多關心的是去擴大建筑，而不是在人口處張燈結彩；是把房子蓋得更高些，而不是給基礎補充適當?shù)膹姸取币虼?，十八世紀的數(shù)學家開墾了許多新的處女地，數(shù)量之多是驚人的，但是他們的工作是粗糙的，不嚴密的，是刀耕火種式的工作方法由于十八世紀的數(shù)學家忙于應用解析幾何和微積分

17、這兩種強有力的數(shù)學工具去解決科學和技術中的許多實際問題，并被新方法的成功所陶醉，而無暇顧及所依據(jù)的理論是否可靠，基礎是否扎實，這就出現(xiàn)了謬誤越來越多的混亂局面    四、深入    到了十九世紀，新數(shù)學中直觀的不嚴密的論證導致的局限性和矛盾愈發(fā)顯著，微積分的嚴密化日益引起數(shù)學家的關注嚴密的分析是從波爾查諾（Bolzano，B（捷）17861848）、柯西、阿貝爾（Abei，NH（挪）18021829）和狄利克雷（Dirichlet，PG（德）18051859）的工作開始的，為它的進一步發(fā)展作出了大重大貢獻的有維爾斯特拉斯（Weiers

18、trass，K（TW）（德）18151897）柯西在他的分折教程（1821）中從定義變量開始，對于函數(shù)概念引進了變量之間的對應關系而單值函數(shù)的確切定義，是狄利克雷在一篇關于博里葉級數(shù)的論文中用正弦和余弦級數(shù)來表示完全任意的函數(shù)（1837）中給出的1829年狄利克雷給出了著名的狄利克雷函數(shù)（在一切有理數(shù)時取1，在一切無理數(shù)時取0）以后維爾斯特拉斯利用三角級數(shù)構造出處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)例子關于函數(shù)連續(xù)性的確切定義，即 說法，是由維爾斯特拉斯在18411856年間作中學教師時給出的波爾查諾于1817年首先給出了導數(shù)的定義柯西于1823年在他的無窮小分析教程概論的著作中，對定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，對于連續(xù)函數(shù)給出了定積分作為