高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 一節(jié)幫助學(xué)生探究拋物線及方程的活動課 北師大版

1、一節(jié)幫助學(xué)生探究拋物線及方程的活動課 摘要 探究性學(xué)習(xí)即“學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實生活的情景中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達(dá)與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程?！彼欣诳朔?dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中注重教師傳授而忽視學(xué)生發(fā)展的弊端，有利于調(diào)動學(xué)生探究的熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。探究性學(xué)習(xí)可以在課堂內(nèi)進(jìn)行，也可以在課堂外進(jìn)行。 關(guān)鍵詞 現(xiàn)實生活 探究性學(xué)習(xí) 創(chuàng)新精神數(shù)學(xué)與日常生活是息息相關(guān)的。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的缺陷在于它常常使學(xué)生流離于自然與社會之外，機(jī)械地回答教科書上的問題，更有甚者，解大量的數(shù)學(xué)習(xí)題并追求唯一正確的答

2、案，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得繁雜又枯燥乏味。 探究性學(xué)習(xí)即“學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實生活的情景中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達(dá)與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程?！彼欣诳朔?dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中注重教師傳授而忽視學(xué)生發(fā)展的弊端，有利于調(diào)動學(xué)生探究的熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。探究性學(xué)習(xí)可以在課堂內(nèi)進(jìn)行，也可以在課堂外進(jìn)行。 下面的各個活動要求學(xué)生自己對設(shè)置好的問題逐一進(jìn)行回答，從而一步步去探究拋物線的曲線特征和拋物線方程，以及它們間的聯(lián)系和作用。這些非常有吸引力的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生回到了自然與社會中來，讓他們自己提出感興趣的問

3、題，自己試圖（在教師的幫助下）解決問題或者提出解決問題的幾種方案供選擇，讓他們深深感覺到數(shù)學(xué)就在生活中。同時，通過活動，組織學(xué)生個體、小組或群體對問題展開討論辯析，并在這一探究過程中，啟迪思維，培養(yǎng)能力和科學(xué)精神，善于與人協(xié)作，互相成果，真正做自己學(xué)習(xí)的主人。這幾組問題需要2至3課時，這要依所要探索的數(shù)學(xué)思想的多少而定。 在教學(xué)過程中，教師到底應(yīng)該扮演怎樣的一個角色？我們認(rèn)為他既是教學(xué)的組織者，也是研究的開發(fā)者。為了使課堂教學(xué)行為趨于多重整合，學(xué)生的研究熱情得到充分發(fā)揮，我們把學(xué)生以三人至四人為一活動小組，進(jìn)行實際操作，并對出現(xiàn)的問題進(jìn)行研究，尋找其中的規(guī)律，展示他們的發(fā)現(xiàn)，得出軌跡的特征、定

4、義的形成和方程的求得。教師對出現(xiàn)的問題和學(xué)生們的討論要給予引導(dǎo)與幫助，如果學(xué)生在實際操作、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、求解方程中出現(xiàn)了問題，教師只進(jìn)行點撥，一般不直接參與，不提供結(jié)果，也不告訴結(jié)果是否正確。 為了使得實際操作和對問題的數(shù)學(xué)討論卓有成效，課堂教學(xué)氛圍民主、和諧、活躍、開放，學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)，教師應(yīng)該問下面這樣的一些問題：你們小組在操作過程中碰到了什么問題，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？除了這種方法外，還有其他方法嗎？你是如何發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律，并由此得出定義？通過定義如何來求出軌跡方程？得出的結(jié)論是否正確？有沒有限制的條件？學(xué)生們是能夠提出好的數(shù)學(xué)論據(jù)的，如果你期望他們能做出的話，下面例子給出的就是針對這些

5、問題，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，提出的結(jié)論和提供的數(shù)學(xué)論據(jù)。 活動1：折紙問題一 折紙問題一（參見作業(yè)紙1） 讓學(xué)生準(zhǔn)備一張帶有條格的長方形紙片（條格要伸到紙片的兩邊，且不能太稀疏）（圖一），學(xué)生按下面的要求將紙片進(jìn)行折疊：折疊時，讓分別與，重合，然后用筆分別描出每條折線與對應(yīng)折點上的格線的交點。然后，要求學(xué)生總結(jié)他們的發(fā)現(xiàn)。這一活動對絕大多數(shù)的學(xué)生來說并不難，一些學(xué)生在做了實驗后得到了下面的結(jié)論： 1、當(dāng)時，交點如圖二中有規(guī)律的離散型分布，并且當(dāng)與重合時，折線與、平行，交點為的中點，當(dāng)=時，折線與對應(yīng)格線的交點在邊上。 2、當(dāng)時，折線與對應(yīng)格線不再相交于長方形紙片上，不難猜想，應(yīng)該在對應(yīng)格線的延長線

6、上。 3、當(dāng)在邊上進(jìn)行連續(xù)折疊，便得到一段連續(xù)的曲線。 4、經(jīng)過觀察，其曲線形狀與初中數(shù)學(xué)中所認(rèn)識的曲線拋物線相同。 另一些學(xué)生進(jìn)行了更深一步的探究，把上述實驗抽象為一個數(shù)學(xué)問題，建立了數(shù)學(xué)模型：在長方形紙片，長為，寬為（），按圖三所示的方法進(jìn)行折疊，且折疊后始終在上，此時把記為（為折痕），過作交于，研究點的軌跡。 在實驗和分析建模的過程中，學(xué)生對這個問題會逐漸地清晰起來，由于是由對折而得到，所以這兩個三角形對于折痕對稱，這樣進(jìn)一步得到是的垂直平分線，連結(jié)，則有=，由此得出點的特征，學(xué)生自己可以得到拋物線定義，以此便可知道點的軌跡是以點為焦點，為準(zhǔn)線的一段拋物線。 活動2：折紙問題二 折紙問題

7、二（參見作業(yè)紙2） 讓學(xué)生再準(zhǔn)備一張同樣大小的長方形紙片，并在紙片2厘米處設(shè)置一點，如圖四所示方法，按下面的要求將紙片進(jìn)行折疊：折疊時，讓所在的邊始終經(jīng)過點，將紙折20到30次，形成一系列折痕，它們整體地估畫出一條曲線的輪廓。學(xué)生通過觀察、猜想，很容易發(fā)現(xiàn)，眾多折痕圍出一條拋物線，其形狀與初中所認(rèn)識的二次函數(shù)的圖象拋物線很接近。有部分學(xué)生進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),畫三條平行于軸的直線,其反射線經(jīng)過軸上的一個定點。 把上述實驗抽象為一個數(shù)學(xué)問題，建立了數(shù)學(xué)模型：在長方形紙片，長為，寬為（），按圖4所示的方法進(jìn)行折疊，即折疊時，所在的邊（）必須經(jīng)過定點，此時把記為（為折痕），過作交于（圖五），研究點的軌跡。

8、 同以上的情況相類似，在實驗和分析建模的過程中，學(xué)生對這個問題會逐漸地清晰起來，由圖五所示，由于是由對折而得到，所以這兩個三角形對于折痕對稱，只要過點作，由于，所以，于是不難得出：=，由此得出點的特征，學(xué)生自己可以得到拋物線定義，以此便可知道點的軌跡是以點為焦點，為準(zhǔn)線的一段拋物線。 活動3：方程問題 弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育是一個活動過程，在整個過程中，學(xué)生應(yīng)該處于一個積極創(chuàng)造的狀態(tài)。學(xué)生首先要參與這個活動，感覺到創(chuàng)造的需要，他才可能進(jìn)行再創(chuàng)造，教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)展，創(chuàng)造提供自由廣闊的天空，就在于引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。學(xué)生把以上的折紙活動一進(jìn)行分析以

9、后，可引導(dǎo)學(xué)生來獨立或以小組形式完成求拋物線方程的過程。 大部分學(xué)生能夠根據(jù)自己建立的直角坐標(biāo)系（如圖三），寫出點的軌跡方程拋物線方程，即建立直角坐標(biāo)系，使所在的邊為軸，以的中點為直角坐標(biāo)系的原點。則焦點的坐標(biāo)為（0，-），所在的直線為準(zhǔn)線的方程為。設(shè)點（，）是拋物線任意一點，點到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義，拋物線就是集合=。 =，=，=， 將上述兩邊平方并化簡，得點的軌跡方程是（0）。 針對這種情況，教師可提出下面的問題交給學(xué)生來討論。 問題一：你認(rèn)為這個問題中點的軌跡方程是（0）正確嗎？ 學(xué)生經(jīng)過討論，一般認(rèn)為點有一個取值范圍。出現(xiàn)了兩種觀點：一是，二是。這時，教師可分別選一名學(xué)生對他們持

10、有的觀點進(jìn)行解釋。最后教師點評：在問題中，讓學(xué)生求的是與的交點，從前面的操作實驗中，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，折痕和相應(yīng)折點上的格線不再相交，而是與它們的延長線交于一點，所以，是正確的。 問題二：對于折紙活動二，能否同樣可以求出拋物線方程？ 大部分學(xué)生都能根據(jù)以上相同的方法，來求出拋物線方程。（略） 問題三：圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水下降1米后，水面寬多少？ 針對這個日常生活中容易碰到的實際問題，很多學(xué)生都能根據(jù)自己所理解和掌握的拋物線的定義與方程來解決這個問題，首先，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線的方程為。因為拱頂離水面2米，水寬4米，所以，拋物線的方程為。水面下降1米

11、，則，代入拋物線方程為，得。這時水面寬米。 多媒體演示 實踐表明，多媒體及其計算機(jī)教學(xué)軟件是一種全新的教學(xué)工具，對于改善教學(xué)方法，理解數(shù)學(xué)知識的形成過程,探索教學(xué)規(guī)律，提高學(xué)習(xí)的效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果有著不可忽視的作用。 我們把折紙問題一的實際操作問題轉(zhuǎn)化為：求以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線方程。由于及所在的直線始終是的垂直平分線，因此，不難得到在不建立直角坐標(biāo)系的前提下，焦點為和準(zhǔn)線為的拋物線的畫法?？梢越柚娔X,利用“幾何畫板”軟件向?qū)W生演示，根據(jù)上面操作的原理、畫法作出點、直線、直線上一點，按法則構(gòu)造出點，拖動點在直線上移動，即可構(gòu)造出點的軌跡為拋物線。如圖演示。 對于折紙問題二，根據(jù)以上的操作

12、原理，借助電腦,利用“幾何畫板”軟件向?qū)W生動態(tài)演示點的軌跡拋物線。（略） 評估與結(jié)論 知識是不能現(xiàn)成地傳遞的，而要回到它的經(jīng)驗狀態(tài)，通過學(xué)生的親身體驗實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。今天的教育，既是過去積累的傳播，同時又要考慮未來的需求，那就是學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)和發(fā)展。因此，教師應(yīng)該為學(xué)生提供一次良好的機(jī)會來反思他們在活動中的所作所為，以及他們對數(shù)學(xué)概念、定義、方程和公式等的理解程度，而評估工作就是行之有效地來充分理解知識形成的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程。作為這一評估工作的一項任務(wù)，學(xué)生們要選擇一項活動，就這一活動完成一份“問題報告” ，“問題報告”給學(xué)生的這個機(jī)會是要他們寫出他們在實驗操作過程中的步驟，以

13、及解決的方法、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、定義的形成以及方程的求解等，寫出知識形成的發(fā)生過程、解決的問題、同學(xué)間互相交流等方面所做的事情和獲得的感受。在這個詳細(xì)的報告中，學(xué)生需：（1）以一種其他沒有進(jìn)行過這項活動的人看后也能夠明白的方式把這一活動描述清楚；（2）討論在活動中，知識的形成過程，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性現(xiàn)象；（3）討論問題的解決策略；（4）給出結(jié)果，即拋物線的定義、方程；（5）在日常生產(chǎn)、生活中的具體應(yīng)用。課堂內(nèi)外的教學(xué)應(yīng)盡可能地還原知識形成的本來面目，在提升問題探索價值方面，多下功夫，因此，教師應(yīng)該組織學(xué)生完成一次數(shù)學(xué)小測試，測試一下學(xué)生在動手操作的實驗步驟，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)及拋物線的定義、方程的求法，運用拋物線的相關(guān)知識解決問題等方面的內(nèi)容，在小測試中，學(xué)生們要（1）寫出操作步驟；（2）分析兩個折紙活動中所得交點的相同處與不同處；（3）建立直角坐標(biāo)系，求拋物線方程；（4）解決實際問題。通過折紙活動，使原本單調(diào)、枯燥的數(shù)學(xué)課生動起來，充滿了樂趣。拋物線定義的給出，不是教師也不是教材直接地、生硬地“拋”