高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 一節(jié)幫助學(xué)生探究拋物線及方程的活動(dòng)課 北師大版

1、一節(jié)幫助學(xué)生探究拋物線及方程的活動(dòng)課 摘要 探究性學(xué)習(xí)即“學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情景中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，獲得知識(shí)、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過(guò)程?！彼欣诳朔?dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中注重教師傳授而忽視學(xué)生發(fā)展的弊端，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。探究性學(xué)習(xí)可以在課堂內(nèi)進(jìn)行，也可以在課堂外進(jìn)行。 關(guān)鍵詞 現(xiàn)實(shí)生活 探究性學(xué)習(xí) 創(chuàng)新精神數(shù)學(xué)與日常生活是息息相關(guān)的。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的缺陷在于它常常使學(xué)生流離于自然與社會(huì)之外，機(jī)械地回答教科書上的問(wèn)題，更有甚者，解大量的數(shù)學(xué)習(xí)題并追求唯一正確的答

2、案，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得繁雜又枯燥乏味。 探究性學(xué)習(xí)即“學(xué)生在學(xué)科領(lǐng)域或現(xiàn)實(shí)生活的情景中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、調(diào)查研究、動(dòng)手操作、表達(dá)與交流等探究性活動(dòng)，獲得知識(shí)、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過(guò)程?！彼欣诳朔?dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中注重教師傳授而忽視學(xué)生發(fā)展的弊端，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲和進(jìn)取精神，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。探究性學(xué)習(xí)可以在課堂內(nèi)進(jìn)行，也可以在課堂外進(jìn)行。 下面的各個(gè)活動(dòng)要求學(xué)生自己對(duì)設(shè)置好的問(wèn)題逐一進(jìn)行回答，從而一步步去探究拋物線的曲線特征和拋物線方程，以及它們間的聯(lián)系和作用。這些非常有吸引力的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生回到了自然與社會(huì)中來(lái)，讓他們自己提出感興趣的問(wèn)

3、題，自己試圖（在教師的幫助下）解決問(wèn)題或者提出解決問(wèn)題的幾種方案供選擇，讓他們深深感覺(jué)到數(shù)學(xué)就在生活中。同時(shí)，通過(guò)活動(dòng)，組織學(xué)生個(gè)體、小組或群體對(duì)問(wèn)題展開(kāi)討論辯析，并在這一探究過(guò)程中，啟迪思維，培養(yǎng)能力和科學(xué)精神，善于與人協(xié)作，互相成果，真正做自己學(xué)習(xí)的主人。這幾組問(wèn)題需要2至3課時(shí)，這要依所要探索的數(shù)學(xué)思想的多少而定。 在教學(xué)過(guò)程中，教師到底應(yīng)該扮演怎樣的一個(gè)角色？我們認(rèn)為他既是教學(xué)的組織者，也是研究的開(kāi)發(fā)者。為了使課堂教學(xué)行為趨于多重整合，學(xué)生的研究熱情得到充分發(fā)揮，我們把學(xué)生以三人至四人為一活動(dòng)小組，進(jìn)行實(shí)際操作，并對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行研究，尋找其中的規(guī)律，展示他們的發(fā)現(xiàn)，得出軌跡的特征、定

4、義的形成和方程的求得。教師對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題和學(xué)生們的討論要給予引導(dǎo)與幫助，如果學(xué)生在實(shí)際操作、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、求解方程中出現(xiàn)了問(wèn)題，教師只進(jìn)行點(diǎn)撥，一般不直接參與，不提供結(jié)果，也不告訴結(jié)果是否正確。 為了使得實(shí)際操作和對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)討論卓有成效，課堂教學(xué)氛圍民主、和諧、活躍、開(kāi)放，學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)，教師應(yīng)該問(wèn)下面這樣的一些問(wèn)題：你們小組在操作過(guò)程中碰到了什么問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？除了這種方法外，還有其他方法嗎？你是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，并由此得出定義？通過(guò)定義如何來(lái)求出軌跡方程？得出的結(jié)論是否正確？有沒(méi)有限制的條件？學(xué)生們是能夠提出好的數(shù)學(xué)論據(jù)的，如果你期望他們能做出的話，下面例子給出的就是針對(duì)這些

5、問(wèn)題，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，提出的結(jié)論和提供的數(shù)學(xué)論據(jù)。 活動(dòng)1：折紙問(wèn)題一 折紙問(wèn)題一（參見(jiàn)作業(yè)紙1） 讓學(xué)生準(zhǔn)備一張帶有條格的長(zhǎng)方形紙片（條格要伸到紙片的兩邊，且不能太稀疏）（圖一），學(xué)生按下面的要求將紙片進(jìn)行折疊：折疊時(shí)，讓分別與，重合，然后用筆分別描出每條折線與對(duì)應(yīng)折點(diǎn)上的格線的交點(diǎn)。然后，要求學(xué)生總結(jié)他們的發(fā)現(xiàn)。這一活動(dòng)對(duì)絕大多數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難，一些學(xué)生在做了實(shí)驗(yàn)后得到了下面的結(jié)論： 1、當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)如圖二中有規(guī)律的離散型分布，并且當(dāng)與重合時(shí)，折線與、平行，交點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，折線與對(duì)應(yīng)格線的交點(diǎn)在邊上。 2、當(dāng)時(shí)，折線與對(duì)應(yīng)格線不再相交于長(zhǎng)方形紙片上，不難猜想，應(yīng)該在對(duì)應(yīng)格線的延長(zhǎng)線

6、上。 3、當(dāng)在邊上進(jìn)行連續(xù)折疊，便得到一段連續(xù)的曲線。 4、經(jīng)過(guò)觀察，其曲線形狀與初中數(shù)學(xué)中所認(rèn)識(shí)的曲線拋物線相同。 另一些學(xué)生進(jìn)行了更深一步的探究，把上述實(shí)驗(yàn)抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立了數(shù)學(xué)模型：在長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)為，寬為（），按圖三所示的方法進(jìn)行折疊，且折疊后始終在上，此時(shí)把記為（為折痕），過(guò)作交于，研究點(diǎn)的軌跡。 在實(shí)驗(yàn)和分析建模的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題會(huì)逐漸地清晰起來(lái)，由于是由對(duì)折而得到，所以這兩個(gè)三角形對(duì)于折痕對(duì)稱，這樣進(jìn)一步得到是的垂直平分線，連結(jié)，則有=，由此得出點(diǎn)的特征，學(xué)生自己可以得到拋物線定義，以此便可知道點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的一段拋物線。 活動(dòng)2：折紙問(wèn)題二 折紙問(wèn)題

7、二（參見(jiàn)作業(yè)紙2） 讓學(xué)生再準(zhǔn)備一張同樣大小的長(zhǎng)方形紙片，并在紙片2厘米處設(shè)置一點(diǎn)，如圖四所示方法，按下面的要求將紙片進(jìn)行折疊：折疊時(shí)，讓所在的邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將紙折20到30次，形成一系列折痕，它們整體地估畫出一條曲線的輪廓。學(xué)生通過(guò)觀察、猜想，很容易發(fā)現(xiàn)，眾多折痕圍出一條拋物線，其形狀與初中所認(rèn)識(shí)的二次函數(shù)的圖象拋物線很接近。有部分學(xué)生進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),畫三條平行于軸的直線,其反射線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)。 把上述實(shí)驗(yàn)抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立了數(shù)學(xué)模型：在長(zhǎng)方形紙片，長(zhǎng)為，寬為（），按圖4所示的方法進(jìn)行折疊，即折疊時(shí)，所在的邊（）必須經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)把記為（為折痕），過(guò)作交于（圖五），研究點(diǎn)的軌跡。

8、 同以上的情況相類似，在實(shí)驗(yàn)和分析建模的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題會(huì)逐漸地清晰起來(lái)，由圖五所示，由于是由對(duì)折而得到，所以這兩個(gè)三角形對(duì)于折痕對(duì)稱，只要過(guò)點(diǎn)作，由于，所以，于是不難得出：=，由此得出點(diǎn)的特征，學(xué)生自己可以得到拋物線定義，以此便可知道點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的一段拋物線。 活動(dòng)3：方程問(wèn)題 弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育是一個(gè)活動(dòng)過(guò)程，在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)該處于一個(gè)積極創(chuàng)造的狀態(tài)。學(xué)生首先要參與這個(gè)活動(dòng)，感覺(jué)到創(chuàng)造的需要，他才可能進(jìn)行再創(chuàng)造，教師的任務(wù)就是為學(xué)生的發(fā)展，創(chuàng)造提供自由廣闊的天空，就在于引導(dǎo)學(xué)生探索獲得知識(shí)、技能的途徑和方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。學(xué)生把以上的折紙活動(dòng)一進(jìn)行分析以

9、后，可引導(dǎo)學(xué)生來(lái)獨(dú)立或以小組形式完成求拋物線方程的過(guò)程。 大部分學(xué)生能夠根據(jù)自己建立的直角坐標(biāo)系（如圖三），寫出點(diǎn)的軌跡方程拋物線方程，即建立直角坐標(biāo)系，使所在的邊為軸，以的中點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-），所在的直線為準(zhǔn)線的方程為。設(shè)點(diǎn)（，）是拋物線任意一點(diǎn)，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義，拋物線就是集合=。 =，=，=， 將上述兩邊平方并化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程是（0）。 針對(duì)這種情況，教師可提出下面的問(wèn)題交給學(xué)生來(lái)討論。 問(wèn)題一：你認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題中點(diǎn)的軌跡方程是（0）正確嗎？ 學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，一般認(rèn)為點(diǎn)有一個(gè)取值范圍。出現(xiàn)了兩種觀點(diǎn)：一是，二是。這時(shí)，教師可分別選一名學(xué)生對(duì)他們持

10、有的觀點(diǎn)進(jìn)行解釋。最后教師點(diǎn)評(píng)：在問(wèn)題中，讓學(xué)生求的是與的交點(diǎn)，從前面的操作實(shí)驗(yàn)中，我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，折痕和相應(yīng)折點(diǎn)上的格線不再相交，而是與它們的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，所以，是正確的。 問(wèn)題二：對(duì)于折紙活動(dòng)二，能否同樣可以求出拋物線方程？ 大部分學(xué)生都能根據(jù)以上相同的方法，來(lái)求出拋物線方程。（略） 問(wèn)題三：圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水下降1米后，水面寬多少？ 針對(duì)這個(gè)日常生活中容易碰到的實(shí)際問(wèn)題，很多學(xué)生都能根據(jù)自己所理解和掌握的拋物線的定義與方程來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，首先，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線的方程為。因?yàn)楣绊旊x水面2米，水寬4米，所以，拋物線的方程為。水面下降1米

11、，則，代入拋物線方程為，得。這時(shí)水面寬米。 多媒體演示 實(shí)踐表明，多媒體及其計(jì)算機(jī)教學(xué)軟件是一種全新的教學(xué)工具，對(duì)于改善教學(xué)方法，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程,探索教學(xué)規(guī)律，提高學(xué)習(xí)的效率，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果有著不可忽視的作用。 我們把折紙問(wèn)題一的實(shí)際操作問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線方程。由于及所在的直線始終是的垂直平分線，因此，不難得到在不建立直角坐標(biāo)系的前提下，焦點(diǎn)為和準(zhǔn)線為的拋物線的畫法?？梢越柚娔X,利用“幾何畫板”軟件向?qū)W生演示，根據(jù)上面操作的原理、畫法作出點(diǎn)、直線、直線上一點(diǎn)，按法則構(gòu)造出點(diǎn)，拖動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，即可構(gòu)造出點(diǎn)的軌跡為拋物線。如圖演示。 對(duì)于折紙問(wèn)題二，根據(jù)以上的操作

12、原理，借助電腦,利用“幾何畫板”軟件向?qū)W生動(dòng)態(tài)演示點(diǎn)的軌跡拋物線。（略） 評(píng)估與結(jié)論 知識(shí)是不能現(xiàn)成地傳遞的，而要回到它的經(jīng)驗(yàn)狀態(tài)，通過(guò)學(xué)生的親身體驗(yàn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。今天的教育，既是過(guò)去積累的傳播，同時(shí)又要考慮未來(lái)的需求，那就是學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)和發(fā)展。因此，教師應(yīng)該為學(xué)生提供一次良好的機(jī)會(huì)來(lái)反思他們?cè)诨顒?dòng)中的所作所為，以及他們對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義、方程和公式等的理解程度，而評(píng)估工作就是行之有效地來(lái)充分理解知識(shí)形成的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過(guò)程。作為這一評(píng)估工作的一項(xiàng)任務(wù)，學(xué)生們要選擇一項(xiàng)活動(dòng)，就這一活動(dòng)完成一份“問(wèn)題報(bào)告” ，“問(wèn)題報(bào)告”給學(xué)生的這個(gè)機(jī)會(huì)是要他們寫出他們?cè)趯?shí)驗(yàn)操作過(guò)程中的步驟，以

13、及解決的方法、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、定義的形成以及方程的求解等，寫出知識(shí)形成的發(fā)生過(guò)程、解決的問(wèn)題、同學(xué)間互相交流等方面所做的事情和獲得的感受。在這個(gè)詳細(xì)的報(bào)告中，學(xué)生需：（1）以一種其他沒(méi)有進(jìn)行過(guò)這項(xiàng)活動(dòng)的人看后也能夠明白的方式把這一活動(dòng)描述清楚；（2）討論在活動(dòng)中，知識(shí)的形成過(guò)程，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性現(xiàn)象；（3）討論問(wèn)題的解決策略；（4）給出結(jié)果，即拋物線的定義、方程；（5）在日常生產(chǎn)、生活中的具體應(yīng)用。課堂內(nèi)外的教學(xué)應(yīng)盡可能地還原知識(shí)形成的本來(lái)面目，在提升問(wèn)題探索價(jià)值方面，多下功夫，因此，教師應(yīng)該組織學(xué)生完成一次數(shù)學(xué)小測(cè)試，測(cè)試一下學(xué)生在動(dòng)手操作的實(shí)驗(yàn)步驟，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)及拋物線的定義、方程的求法，運(yùn)用拋物線的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題等方面的內(nèi)容，在小測(cè)試中，學(xué)生們要（1）寫出操作步驟；（2）分析兩個(gè)折紙活動(dòng)中所得交點(diǎn)的相同處與不同處；（3）建立直角坐標(biāo)系，求拋物線方程；（4）解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)折紙活動(dòng)，使原本單調(diào)、枯燥的數(shù)學(xué)課生動(dòng)起來(lái)，充滿了樂(lè)趣。拋物線定義的給出，不是教師也不是教材直接地、生硬地“拋”