小學(xué)數(shù)學(xué)競賽：位值原理.學(xué)生版解題技巧培優(yōu)易錯(cuò)難

1、5-7-1. 位值原理教學(xué)目標(biāo)1. 利用位值原理的定義進(jìn)行拆分2. 巧用方程解位值原理的題知識(shí)點(diǎn)撥位值原理當(dāng)我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過程中，會(huì)碰到的數(shù)越來越大，如果這種聯(lián)系過程中，只用我們的手指頭， 那么到了 “十 ”這個(gè)數(shù)，我們就無法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能 數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數(shù)的概念從實(shí)物的世界中解放出 來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進(jìn)行運(yùn)算。這就涉及到了記數(shù)，記數(shù)時(shí)，同一個(gè)數(shù)字由于所在位 置的不同，表示的數(shù)值也不同。既是說，一個(gè)數(shù)字除了本身的值以外，還有一個(gè) “位置值 ”。例如，用符號(hào) 555

2、表示五百五十五時(shí)，這三個(gè)數(shù)字具有相同的數(shù)值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五 表示五個(gè)一，最左邊的五表示五個(gè)百，中間的五表示五個(gè)十。但是在奧數(shù)中位值問題就遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有這么簡單了， 現(xiàn)在就將解位值的三大法寶給同學(xué)們。希望同學(xué)們在做題中認(rèn)真體會(huì)。1.位值原理的定義： 同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一 個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值 ”。例如 “2”寫,在個(gè)位上，就表示 2個(gè)一，寫在百位上，就表示 2 個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。2.位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例： abcdef a×

3、;100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。3.解位值一共有三大法寶：（1）最簡單的應(yīng)用解數(shù)字謎的方法列豎式（2）利用十進(jìn)制的展開形式，列等式解答（3）把整個(gè)數(shù)字整體的考慮設(shè)為x，列方程解答例題精講模塊一、簡單的位值原理拆分例 1】 一個(gè)兩位數(shù)， 加上它的個(gè)位數(shù)字的 9 倍，恰好等于 100。這個(gè)兩位數(shù)的各位數(shù)字的和是例 2 】 學(xué)而思的李老師比張老師大 18歲，有意思的是，如果把李老師的年齡顛倒過來正好是張老師的年 齡，求李老師和張老師的年齡和最少是 ？（注：老師年齡都在 20 歲以上）例 3 】 把一個(gè)數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來

4、得到的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)的逆序數(shù)， 比如 89的逆序數(shù)為 98如果一個(gè)兩 位數(shù)等于其逆序數(shù)與 1 的平均數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)是 例 4 】 幾百年前，哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸，那年的年份的四個(gè)數(shù)字各不相同，它們的和等于16，如果十位數(shù)字加 1，則十位數(shù)字恰等于個(gè)位數(shù)字的 5 倍，那么哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸是在公元 年。例 5 】 小明今年的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和問：他今年多少歲例 6】 將一個(gè)數(shù) A 的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，得到數(shù) B。那么 BA 是 BA 的倍。 （結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)形式 ）例 7 】 一個(gè)十位數(shù)字是 0的三位數(shù)，等于它的各位數(shù)字之和的67倍，交換這個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字，得到的新三位

5、數(shù)是它的各位數(shù)字之和的 倍。例 8 】 一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位和百位數(shù)字交換后還是一個(gè)三位數(shù)，它與原三位數(shù)的差的個(gè)位數(shù)字是7，試求它們的差。例 9】 三位數(shù) abc比三位數(shù) cba小 99，若 a,b,c彼此不同，則 abc最大是 例 10 】一個(gè)三位數(shù) abc 與它的反序數(shù) cba 的和等于 888，這樣的三位數(shù)有 個(gè)。，可以組成許多不同例 11 】 將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這八個(gè)數(shù)分別填入下面的八個(gè)方格內(nèi)（不能重復(fù)）的減法算式，要使計(jì)算結(jié)果最小，并且是自然數(shù)，則這個(gè)計(jì)算結(jié)果是 。 鞏固】用 1，2，3，4，5，7，8，9 組成兩個(gè)四位數(shù)，這兩個(gè)四位數(shù)的差最小是 例 12

6、】 在 下 面 的 等 式 中 ， 相 同 的 字 母 表 示 同 一 數(shù) 字 ， 若 abcd dcba 997 ， 那 么 中 應(yīng) 填。例 13 】某三位數(shù) abc和它的反序數(shù) cba的差被 99 除，商等于 與的差；鞏固】 ab與ba的差被 9 除，商等于 與的差；鞏固】 ab與ba的和被 11 除，商等于 與的和。例 14 】 xy ， zw各表示一個(gè)兩位數(shù)，若 xy+ zw =139，則 x+y+z+w= 。例 15 】 把 一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來的兩位數(shù)和交換后的新的兩位數(shù)的差是 45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？例 16 】 一 個(gè)

7、兩位數(shù)的中間加上一個(gè) 0，得到的三位數(shù)比原來兩位數(shù)的8 倍小 1，原來的兩位數(shù)是 例 17 】 已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少鞏 固 】 已 知 abcd abc ab a 1370, 求 abcd .例 18 】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位數(shù)、 三位數(shù)、兩位數(shù)及一位數(shù)， 且滿足 abcd abc ab a= 1787 ，則這四位數(shù) abcd= 或例 19 】 將 一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來，得到一個(gè)新的四位數(shù)（這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù) ），新數(shù)比原數(shù)大 8802 求原來的四位數(shù)鞏固】將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些

8、新的四位數(shù)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒有0 的四位數(shù) M ，它比新數(shù)中最大的小 3834，比新數(shù)中最小的大 4338 求這個(gè)四位數(shù)例 20 】 如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù) 為“巧數(shù)”。例如， 99 就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?9×9（99）99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。 請你寫出所有的巧數(shù)。例 21 】 聰聰和明明做猜數(shù)游戲，聰聰讓明明任意寫出一個(gè)四位數(shù)，明明就寫了明年的年號(hào)2008，聰聰讓明明用這個(gè)四位數(shù)減去它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和，明明得到 2008 (2 0 0 8) 1998 ，聰聰又讓明 明將所得的數(shù)隨便圈掉一個(gè)數(shù)，將

9、剩下的數(shù)說出來，明明圈掉了8，告訴聰聰剩下的三個(gè)數(shù)是 1，9，9。聰聰一下就猜出圈掉的是 8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍這個(gè)游戲，最后剩下的三 個(gè)數(shù)是 6，3， 7，這次明明圈掉的數(shù)是多少，聰明你猜出來了么？例 22 】設(shè)八位數(shù) A a0a1L a7 具有如下性質(zhì)： a0是 A中數(shù)碼 0的個(gè)數(shù)， a1是A中數(shù)碼 1的個(gè)數(shù)， ，a7 是 A 中數(shù)碼 7 的個(gè)數(shù)，則 a0 a1 a2 L a7。 a5 a6 a7，該八位數(shù)A。模塊二、復(fù)雜的位值原理拆分【例 23 】 有 3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成 6 個(gè)不同的三位數(shù)，如果這 6個(gè)三位數(shù)的和是 1554，那么這 3個(gè) 數(shù)字分別是多少？鞏固】有

10、三個(gè)數(shù)字能組成 6 個(gè)不同的三位數(shù)，這 6個(gè)三位數(shù)的和是 2886，求所有這樣的 6 個(gè)三位數(shù)中最小 的三位數(shù)的最小值例 24 】 從 1 9 九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)， 用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。 若這六個(gè)三位數(shù)之和是 3330， 則這六個(gè)三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？例 25 】用 1，9，7 三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？例 26 】a，b，c 分別是 0: 9 中不同的數(shù)碼，用 a，b，c 共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)之和 是 2234 ，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？例 27 】在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入09 中的一個(gè)數(shù)碼，

11、這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來兩位數(shù)的 9 倍。求出所有這樣的三位數(shù)。例 28 】 一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑 上的數(shù)是原來兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一 個(gè) 0 的三位數(shù)，請問：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換 所得的三位數(shù)。例 29 】 有 一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼 3 加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼 3 加寫在它的 后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼 3，則可得到一個(gè)四位數(shù)將這兩

12、個(gè)三 位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于 3600 求原來的兩位數(shù)例 30 】將 4 個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成24 個(gè)不同的四位數(shù) (4 3 2 1 24)將這 24 個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是 5 的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被 4 整除的 偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在30004000之間求這 24 個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè)例 31 】記四位數(shù) abcd為 X ，由它的四個(gè)數(shù)字 a,b,c,d 組成的最小的四位數(shù)記為 X ，如果 X X* 999， 那么這樣的四位數(shù) X 共有 個(gè)例 32 】 9000 名同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)競賽，他們的考號(hào)分別是1000,10

13、01,1002, 9999小明發(fā)現(xiàn)他的考號(hào)是8210，而他的朋友小強(qiáng)的考號(hào)是 2180他們兩人的考號(hào)由相同的數(shù)字組成 （順序不一樣） ，差為 2010 的倍數(shù)那么，這樣的考號(hào)（由相同的數(shù)字組成并且差為2010 的倍數(shù)）共有對例 33 】 有一類三位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是12，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之積是30，所有這樣的三位數(shù)的和是多少？例 34 】一個(gè)三位數(shù)除以 11 所得的商等于這個(gè)三位數(shù)各位數(shù)碼之和，求這個(gè)三位數(shù)是多少？模塊三、巧用方程解位值原理【例 35 】有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼 1 加寫在它的前面，那么可以得到一個(gè)三位數(shù)，如果把 1 寫在它的后 面，那么也可以得到一個(gè)三位數(shù)，而且這

14、兩個(gè)三位數(shù)相差414，求原來的兩位數(shù)。6 加寫在它的后面，鞏固】有一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼 6 加寫在它的前面，則可得到一個(gè)四位數(shù)，如果把 則也可以得到一個(gè)四位數(shù)，且這兩個(gè)四位數(shù)之和是9999，求原來的三位數(shù)。例 36 】 如果 ab 7 a0b ，那么 ab 等于幾？例 37】已知1 2 3 L L n （ n >2）的和的個(gè)位數(shù)為 3，十位數(shù)為 0，則 n 的最小值是例 38 】把 7 位數(shù) 2ABCDEF 變成 7 位數(shù) ABCDEF 2，已知新 7 位數(shù)比原 7 位數(shù)大 3591333，聰明的寶貝來 求求：（1）原 7位數(shù)是幾，（ 2）如果把漢語拼音字母順序編為 1 26號(hào)，且以所

15、求得原 7 位數(shù)的前 四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù) 2A和 BC所對應(yīng)的拼音字母拼成一個(gè)漢字，再以后三個(gè)數(shù)字D，E，F(xiàn)分別對應(yīng)的拼音字母拼成另一個(gè)漢字，請寫出由這兩個(gè)漢字組成的詞。鞏固】把 5寫在某個(gè)四位數(shù)的左端得到一個(gè)五位數(shù)，把5 寫在這個(gè)四位數(shù)的右端也得到一個(gè)五位數(shù)，已知這兩個(gè)五位數(shù)的差是 22122，求這個(gè)四位數(shù)。例 39 】 如果把數(shù)碼 5 加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加 A1111 ，這里 A 表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這 個(gè)數(shù)和 A。鞏固】如果把數(shù)碼 3 加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加了12345 A ，這里 A 表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和 A。例 40 】等式： ab54 39×1c6恰好出現(xiàn) 1、2、3、4、9 九個(gè)數(shù)字， abc 代表的三位數(shù)是（）。例 41 】 某 八位數(shù)形如 2abcdefg ，它與 3 的乘積形如 abcdefg 4 ，則七位數(shù) abcdefg 應(yīng)是多少？例 42 】 一 個(gè) 六 位 數(shù) abcdef ， 如 果 滿 足 4 abcdef fabcde ， 則 稱 abcdef 為 “迎 春 數(shù) ”（