2019數(shù)學新設(shè)計人教A選修1-2精練第二章 推理與證明 2.2.2

1、2.2.2反證法課后訓練案鞏固提升一、A 組1.在運用反證法推出矛盾的推理過程中,可以把下列哪些作為條件使用()結(jié)論的反設(shè);已知條件;定義、公理、定理等;原結(jié)論.A.B.C.D.解析:除原結(jié)論不能作為推理條件外,其余均可.答案:C2.實數(shù) a,b,c 不全為正數(shù),是指()A.a,b,c 均不是正數(shù)B.a,b,c 中至少有一個是正數(shù)C.a,b,c 中至多有一個是正數(shù)D.a,b,c 中至少有一個不是正數(shù)解析:實數(shù) a,b,c 不全為正數(shù),是指 a,b,c 中至少有一個不是正數(shù),故選

2、0;D.答案:D3.下列命題錯誤的是()A.三角形中至少有一個內(nèi)角不小于 60°B.四面體的三組對棱都是異面直線C.在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)的函數(shù) f(x)至多有一個零點D.若 a,bZ,且 a+b 為偶數(shù),則 a,b 都不是奇數(shù)解析:當 a,bZ,且 a+b 為偶數(shù)時,a,b 可以都是偶數(shù),也可以都是奇數(shù),故 D 項錯誤.答案:D4.如果兩個實數(shù)之和為正數(shù),那么這兩個數(shù)()A.至少有一個是正數(shù)B.都是正數(shù)C.一個是正數(shù),一個是負數(shù)D.都是負數(shù)解析:假設(shè)兩個

3、數(shù)都不是正數(shù),即都是負數(shù)或者 0,其和必為負數(shù)或者 0,與已知矛盾,所以兩個數(shù)中至少有一個是正數(shù),故選 A.答案:A5.用反證法證明命題“若 a+b+c0,abc0,則 a,b,c 三個實數(shù)中最多有一個小于零”的反設(shè)內(nèi)容為()A.a,b,c 三個實數(shù)中最多有一個不大于零B.a,b,c 三個實數(shù)中最多有兩個小于零C.a,b,c 三個實數(shù)中至少有兩個小于零D.a,b,c 三個實數(shù)中至少有一個不大于零解析:“最多有一個”的否定是“至少有兩個”.故選 C.答案:C6.命題“ ABC&

4、#160;中,A>B,則 a>b”,用反證法證明時,假設(shè)應(yīng)該是.解析:結(jié)論是“a>b”,其否定是“ab”.答案:ab7.“x=0,且 y=0”的否定形式為.解析:“p 且 q”的否定形式為“p 或q”.答案:x0 或 y08.完成反證法證題的全過程.題目:設(shè) a1,a2,a7 是由數(shù)字 1,2,7 任意排成的一個數(shù)列,p=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7),求證:p 為偶數(shù).證明:假設(shè) p 為奇數(shù),則均為奇數(shù).因為 7&#

5、160;個奇數(shù)之和為奇數(shù),故有(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)為.而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=. 與矛盾,故假設(shè)不成立,故 p 為偶數(shù).解析:由假設(shè) p 為奇數(shù),可知 a1-1,a2-2,a7-7 均為奇數(shù),故(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)為奇數(shù),而(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0,矛盾,故假設(shè)不成立,故 p 為偶數(shù).答案:a1-1,a2-2,a7-7奇數(shù)09.已知 a,b,

6、c 是互不相等的非零實數(shù),求證:由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a 和 y=cx2+2ax+b 確定的三條拋物線中至少有一條與 x 軸有兩個不同的交點.證明:假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與 x 軸有兩個不同的交點.由 y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得 1=(2b)2-4ac0,且 2=(2c)2-4ab0,且 3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab

7、-4bc0,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.a=b=c.這與題設(shè) a,b,c 互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而原命題得證.10.如圖,已知兩個正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面內(nèi),M,N 分別為 AB,DF 的中點.用反證法證明:直線 ME 與 BN 是兩條異面直線.證明:假設(shè) ME 與 BN 共面,則 AB平面 MBEN,且平面&#

8、160;MBEN平面 DCEF=EN.由已知兩正方形不共面,得 AB平面 DCEF.又 ABCD,所以 AB平面 DCEF,而 EN 為平面 MBEN 與平面 DCEF 的交線,所以 ABEN.又 ABCDEF,所以 ENEF,這與 ENEF=E 矛盾,故假設(shè)不成立,所以 ME 與 BN 不共面,即直線 ME 與 BN 是兩條異面直線.二、B

9、60;組1.用反證法證明命題“如果實系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理數(shù)根,那么 a,b,c 中至少有一個是偶數(shù)”時,下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè) a,b,c 都是偶數(shù)B.假設(shè) a,b,c 都不是偶數(shù)C.假設(shè) a,b,c 至多有一個是偶數(shù)D.假設(shè) a,b,c 至多有兩個是偶數(shù)解析:“至少有一個”的否定是“一個都沒有”.答案:B2. ABC 中,若 AB=AC,P  ABC 內(nèi)的一點,APB>APC,求證

10、:BAP<CAP.用反證法證明時應(yīng)分:假設(shè)和兩類.解析:反證法對結(jié)論的否定是全面否定,BAP<CAP 的對立面就是BAP=CAP 或BAP>CAP.答案:BAP=CAPBAP>CAP3.設(shè) a,b 是兩個實數(shù),給出下列條件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出“a,b 中至少有一個大于 1”的條件是(填序號).解析:若 a= ,b= ,則 a+b>1,但 a<1,b<1,故推不出;若&

11、#160;a=b=1,則 a+b=2,故推不出;若 a=-2,b=-3,則 a2+b2>2,故推不出;若 a=-2,b=-3,則 ab>1,故推不出;若 a+b>2,則 a,b 中至少有一個大于 1.用反證法證明:假設(shè) a1 且 b1,則 a+b2 與 a+b>2 矛盾,因此假設(shè)不成立,故 a,b 中至少有一個大于 1.故答案為.答案:4.導學號 40294015 

12、;已知 m 是整數(shù),且 m2+6m 是偶數(shù),求證:m 不是奇數(shù).證明:假設(shè) m 是奇數(shù),不妨設(shè) m=2k-1(kZ),則 m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因為 kZ,所以 k2+2kZ,于是 4(k2+2k)是偶數(shù),從而 4(k2+2k)-5 為奇數(shù),即 m2+6m 是奇數(shù),這與已知條件中的 m2+6m 是偶數(shù)相矛盾,因此假設(shè)錯誤,即 m 不是奇

13、數(shù).5.已知 a,b,c,dR,且 a+b=c+d=1,ac+bd>1,求證:a,b,c,d 中至少有一個是負數(shù).證明:假設(shè) a,b,c,d 都是非負數(shù),即 a0,b0,c0,d0,因為 a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)=1,于是 ac+bd=1-(ad+bc)1,這與 ac+bd>1 相矛盾,故假設(shè)不成立,即 a,b,c,d 中至少有一個是負數(shù).6.設(shè)an是公比為 q 的等比數(shù)列.(1)推導an的前 n 項和公式;(2)設(shè) q1,證明數(shù)列an+1不是等比數(shù)列.(1)解:設(shè)an的前 n 項和為 Sn,當 q=1 時,Sn=a1+a1+a1=na1;當 q1 時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1