高等數(shù)學課件：6-3 不定積分的分部積分法

1、不定積分的分部積分法第三節(jié) 第第6章章 一、分部積分公式一、分部積分公式二、典型例題二、典型例題一、分部積分公式一、分部積分公式 xexd tettd2（換元法無法解決）（換元法無法解決）tx 令令引例引例由導數(shù)公式由導數(shù)公式vuvuuv )(積分得積分得xvuxvuuvdd xvuuvxvudd uvvuvudd 分部積分公式分部積分公式 公式的作用：公式的作用：改變被積函數(shù)改變被積函數(shù)二、典型例題二、典型例題例例1xexIxd11 ）（ xex dvdxxe xexduvvudCexexx 簡化簡化問：問：?xeu 能能否否取取不行不行. .u xxexd xxexd221uvd2d21x

2、ex )d(2122 xxexex)d(2122 xexexxx更不易積分更不易積分xexIxd222 ）（vd xex d2vdxex2 2d-xex uvdxex2 xxexd2- 1Ixex2 Cexexx ）（2-簡化簡化例例2xxxIdcos11 ）（xxsin xxdsinCxxx cossinuvvud簡化簡化分析分析 取取? u xxxdcos xxxxxdsin2cos222顯然，顯然，u 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.更不易積分更不易積分vxxxdd21d2 ,cos xu ？解解xxxIdcos11 ）（uvd xx sindvdxxxIdsin222 ）

3、（xx cos2 2dcosxx vd xxcosd2vduvdxx cos2 xxxdcos2 1Ixx cos2 Cxxx )cossin(2推廣推廣,dsin xxxnnxu 令令簡化簡化注注 1xxvd)(d)1( ).()()(,d)(xxxfxxf 其其中中設設,d)(易易積積分分 xx ;易易求求v.dd)2(易易積積分分比比 vuuv選選 u 的的一般一般原則：原則：例例3 求下列不定積分：求下列不定積分：xxxIdln)1(1 xx ln212 xxd21Cxxx 2241ln21u 2dln2xxvdxxln22 xxlnd22 uvd簡化簡化？ xxdlnxxxIdarc

4、tan22 ）（xx arctan212 xxxd12122xx arctan212 xxd)111(212xx arctan212 Cxx )arctan(21)2d(tanrca2xx vud簡化簡化 ?darctan?darcsinxxxx注注 2 分部積分小結分部積分小結(1)(1) xxxxexnxndsind)1( nxu 設設（例（例1，例，例2） xxxndln)2(xuln 設設（例（例3(1)） xxxndarcsin)3(xuarcsin 設設（例（例3(2)）xxvndd 3 選選 u 的的優(yōu)先優(yōu)先原則：原則：“對反代三指對反代三指” 法法( 或稱為或稱為“ LIATE

5、 ” 法法).L對對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)I反反三角函數(shù)三角函數(shù)A代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)T三三角函數(shù)角函數(shù)E指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選 u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序求積分求積分 .d1arctan2xxxx解解,1)1(22xxx 2arctand1xxxx 2arctand 1xx 221arctan1d(arctan )xxxx 22211arctan1d1xxxxx 反反三角函數(shù)三角函數(shù)三三角函數(shù)角函數(shù)L對對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)IA代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)TE指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序AIu例例42211arctand1xxxx 令令txtan 21d1xx 221secd1tanttt sec dtt Ctt )

6、tanln(secCxx )1ln(22arctand1xxxx xx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例5xxeIxdcos xexcos xexcosdxexsin xxexdcosCxxeIx )cos(sin21 xexdcosvduvdxexcos xxexdsinxexcos xexsin xexcos I 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式問問:行嗎？行嗎？選選xeu 行行. . )d(sin xeIx xxexxedsinsin xexxexxdsinsin xexexxcosdsin(第二次分部積分第二次分部積分)uu xxexexexxxdcoscossinIxexexx

7、cossinI.)cos(sin2Cxxex 兩次所選兩次所選u的的函數(shù)類型不函數(shù)類型不變！變！例例6xxxIdsectan2 xx secdtanvudxxsectan xxdsec3uvxxsectan xxxdsec1tan2）（xxsectan I Cxx tansecln故故CxxxxI tanseclnsectan21綜合題綜合題 例例8xexd tetet (2 Cxex )1(2)te C xt 令令ttd2例例9xxxIdcoscosln2 xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan xxtandcosl

8、nvud例例10 已知已知)(xf的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是,cosxx求求.d)(xxfx 解解xxfxd)( )(dxfx )(xfx xxfd)( x xxcosCxx cos xsinCxx cos2，）（ xxxfcos)( xxfd)(1cosCxx 故故例例11 求求.d xI 23)1(2x 解解 先換元先換元, 后分部后分部令令,tantx teIt3secttdsec2 ttetdcos tetsinttetdsin tetsin ttetdcos tetcos 故故CettIt )cos(sin21xearctan，CettIt )cos(sin21 21tx121x

9、21xx 211x Cex arctantxtan .d xI 23)1(2x xearctan內容小結內容小結分部積分公式分部積分公式xvuvuxvudd 1. 使用原則使用原則 :xvuvd易求出易求出,易積分易積分2. 使用經驗使用經驗 : “對反代三指對反代三指” , 前前 u 后后v3. 處理類型處理類型 : 簡化型簡化型 ;方程型方程型; 遞推型遞推型.思考題思考題 下述運算錯在哪里下述運算錯在哪里? 應如何改正應如何改正? xxxdsincos xxxxxdsin)sin1(sinsin xxxxdsinsincos12 xxxdsincos1,1dsincosdsincos x

10、xxxxx得得 0 = 1答答 不定積分是原函數(shù)族不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應為相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法求此積分的正確作法是用換元法 . xxsinsindCx sinln例例 1-1xxxdcos)6(2 求求解解xxxdcos)6(2 xxsind)6(2 6dsinsin622 xxxx xxxxxdsin2sin62 xxxxcosd2sin62 xxxxxxdcos2cos2sin62 cxxxxx sin2cos2sin62例例2-1xxxde2 求求解解Cxxxxx e2e2e2 xx de222deexxxx xxxxxde2e2 xxxxde2e2

11、xxxxxxde2e2e2 xxxde2 例例3-1xxIdarcsin xxarcsin xxarcsin )1d()1(212212 xxxxarcsin Cx 21vud xxxd12簡化簡化反反三角函數(shù)三角函數(shù)三三角函數(shù)角函數(shù)L對對數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)IA 代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)TE 指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序例例6-1.d)1(2xxexIx 求求解解(方法方法1)xexxId)1(2 xxxeexxxxd)1()1(22 AExxxeexxxxd) 1(2) 1(1) 1(322 )1(111)1(1)1()1(222 xxxxxx22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx 2233( 2) 2(1)(1)(1)(1)xxxxxeeee dxdxxxxx .1xeCx 22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx IxexxIxd) 1(1) 1(2 xxexxexxd) 1