高等數(shù)學(xué)課件：6-3 不定積分的分部積分法

1、不定積分的分部積分法第三節(jié) 第第6章章 一、分部積分公式一、分部積分公式二、典型例題二、典型例題一、分部積分公式一、分部積分公式 xexd tettd2（換元法無(wú)法解決）（換元法無(wú)法解決）tx 令令引例引例由導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得積分得xvuxvuuvdd xvuuvxvudd uvvuvudd 分部積分公式分部積分公式 公式的作用：公式的作用：改變被積函數(shù)改變被積函數(shù)二、典型例題二、典型例題例例1xexIxd11 ）（ xex dvdxxe xexduvvudCexexx 簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化問(wèn)：?jiǎn)枺?xeu 能能否否取取不行不行. .u xxexd xxexd221uvd2d21x

2、ex )d(2122 xxexex)d(2122 xexexxx更不易積分更不易積分xexIxd222 ）（vd xex d2vdxex2 2d-xex uvdxex2 xxexd2- 1Ixex2 Cexexx ）（2-簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化例例2xxxIdcos11 ）（xxsin xxdsinCxxx cossinuvvud簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化分析分析 取取? u xxxdcos xxxxxdsin2cos222顯然，顯然，u 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.更不易積分更不易積分vxxxdd21d2 ,cos xu ？解解xxxIdcos11 ）（uvd xx sindvdxxxIdsin222 ）

3、（xx cos2 2dcosxx vd xxcosd2vduvdxx cos2 xxxdcos2 1Ixx cos2 Cxxx )cossin(2推廣推廣,dsin xxxnnxu 令令簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化注注 1xxvd)(d)1( ).()()(,d)(xxxfxxf 其其中中設(shè)設(shè),d)(易易積積分分 xx ;易易求求v.dd)2(易易積積分分比比 vuuv選選 u 的的一般一般原則：原則：例例3 求下列不定積分：求下列不定積分：xxxIdln)1(1 xx ln212 xxd21Cxxx 2241ln21u 2dln2xxvdxxln22 xxlnd22 uvd簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化？ xxdlnxxxIdarc

4、tan22 ）（xx arctan212 xxxd12122xx arctan212 xxd)111(212xx arctan212 Cxx )arctan(21)2d(tanrca2xx vud簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 ?darctan?darcsinxxxx注注 2 分部積分小結(jié)分部積分小結(jié)(1)(1) xxxxexnxndsind)1( nxu 設(shè)設(shè)（例（例1，例，例2） xxxndln)2(xuln 設(shè)設(shè)（例（例3(1)） xxxndarcsin)3(xuarcsin 設(shè)設(shè)（例（例3(2)）xxvndd 3 選選 u 的的優(yōu)先優(yōu)先原則：原則：“對(duì)反代三指對(duì)反代三指” 法法( 或稱為或稱為“ LIATE

5、 ” 法法).L對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)I反反三角函數(shù)三角函數(shù)A代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)T三三角函數(shù)角函數(shù)E指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選 u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序求積分求積分 .d1arctan2xxxx解解,1)1(22xxx 2arctand1xxxx 2arctand 1xx 221arctan1d(arctan )xxxx 22211arctan1d1xxxxx 反反三角函數(shù)三角函數(shù)三三角函數(shù)角函數(shù)L對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)IA代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)TE指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序AIu例例42211arctand1xxxx 令令txtan 21d1xx 221secd1tanttt sec dtt Ctt )

6、tanln(secCxx )1ln(22arctand1xxxx xx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例5xxeIxdcos xexcos xexcosdxexsin xxexdcosCxxeIx )cos(sin21 xexdcosvduvdxexcos xxexdsinxexcos xexsin xexcos I 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式問(wèn)問(wèn):行嗎？行嗎？選選xeu 行行. . )d(sin xeIx xxexxedsinsin xexxexxdsinsin xexexxcosdsin(第二次分部積分第二次分部積分)uu xxexexexxxdcoscossinIxexexx

7、cossinI.)cos(sin2Cxxex 兩次所選兩次所選u的的函數(shù)類(lèi)型不函數(shù)類(lèi)型不變！變！例例6xxxIdsectan2 xx secdtanvudxxsectan xxdsec3uvxxsectan xxxdsec1tan2）（xxsectan I Cxx tansecln故故CxxxxI tanseclnsectan21綜合題綜合題 例例8xexd tetet (2 Cxex )1(2)te C xt 令令ttd2例例9xxxIdcoscosln2 xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan xxtandcosl

8、nvud例例10 已知已知)(xf的一個(gè)原函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)是,cosxx求求.d)(xxfx 解解xxfxd)( )(dxfx )(xfx xxfd)( x xxcosCxx cos xsinCxx cos2，）（ xxxfcos)( xxfd)(1cosCxx 故故例例11 求求.d xI 23)1(2x 解解 先換元先換元, 后分部后分部令令,tantx teIt3secttdsec2 ttetdcos tetsinttetdsin tetsin ttetdcos tetcos 故故CettIt )cos(sin21xearctan，CettIt )cos(sin21 21tx121x

9、21xx 211x Cex arctantxtan .d xI 23)1(2x xearctan內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)分部積分公式分部積分公式xvuvuxvudd 1. 使用原則使用原則 :xvuvd易求出易求出,易積分易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn)使用經(jīng)驗(yàn) : “對(duì)反代三指對(duì)反代三指” , 前前 u 后后v3. 處理類(lèi)型處理類(lèi)型 : 簡(jiǎn)化型簡(jiǎn)化型 ;方程型方程型; 遞推型遞推型.思考題思考題 下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正應(yīng)如何改正? xxxdsincos xxxxxdsin)sin1(sinsin xxxxdsinsincos12 xxxdsincos1,1dsincosdsincos x

10、xxxxx得得 0 = 1答答 不定積分是原函數(shù)族不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法求此積分的正確作法是用換元法 . xxsinsindCx sinln例例 1-1xxxdcos)6(2 求求解解xxxdcos)6(2 xxsind)6(2 6dsinsin622 xxxx xxxxxdsin2sin62 xxxxcosd2sin62 xxxxxxdcos2cos2sin62 cxxxxx sin2cos2sin62例例2-1xxxde2 求求解解Cxxxxx e2e2e2 xx de222deexxxx xxxxxde2e2 xxxxde2e2

11、xxxxxxde2e2e2 xxxde2 例例3-1xxIdarcsin xxarcsin xxarcsin )1d()1(212212 xxxxarcsin Cx 21vud xxxd12簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化反反三角函數(shù)三角函數(shù)三三角函數(shù)角函數(shù)L對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)IA 代代數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)TE 指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)選選u的的優(yōu)優(yōu)先先順順序序例例6-1.d)1(2xxexIx 求求解解(方法方法1)xexxId)1(2 xxxeexxxxd)1()1(22 AExxxeexxxxd) 1(2) 1(1) 1(322 )1(111)1(1)1()1(222 xxxxxx22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx 2233( 2) 2(1)(1)(1)(1)xxxxxeeee dxdxxxxx .1xeCx 22312(1)(1)(1)xxxxeededxxxx IxexxIxd) 1(1) 1(2 xxexxexxd) 1