映射向量空間的同構ppt課件

1、4.8 4.8 映射、向量空間的同構映射、向量空間的同構 以上我們的討論都是在一個向量空間內部進以上我們的討論都是在一個向量空間內部進展的展的. .本節(jié)的目的是把不同的向量空間進展比較本節(jié)的目的是把不同的向量空間進展比較. .一、映射一、映射 1. 1.映射定義映射定義4.214.21 設設A,BA,B是兩個非空集合是兩個非空集合. .所謂集合所謂集合A A到到B B的一個映的一個映射指的是一個對應法那么射指的是一個對應法那么, ,經過這個法那么經過這個法那么, ,對于對于A A中每個元素中每個元素a a，在，在B B中有獨一確定的元素中有獨一確定的元素b b與之對與之對應應. .2.2.象、

2、原象象、原象,( ).,.ABBbAaababbaab 如如果果映映射射 ：使使 中中元元素素 與與 中中元元素素對對應應 那那么么就就記記作作 ：或或此此時時 稱稱為為在在 下下的的象象 而而 稱稱為為 在在 下下的的一一個個原原象象, .ABAB 如如果果 是是集集合合 到到 的的一一個個映映射射 那那么么就就記記作作： 3. 3.集合集合A A到本身的映射也稱為到本身的映射也稱為A A的變換的變換. .1.,( )2 .,.nnn 例例4 4 6 6 設設 是是全全體體整整數數的的集集合合 對對每每個個整整數數令令 則則 是是 到到 的的一一個個映映射射 即即 為為 的的一一個個變變換換

3、 000.1,( ),.A BbBab aAAbAB 例例4 8 4 8 設設是是兩兩個個非非空空集集合合是是 中中一一個個固固定定的的元元素素. .令令 即即 把把 中中每每個個元元素素都都映映到到那那么么 是是 到到 的的一一個個映映射射例例4.19 恒等映射恒等映射(單位映射單位映射) .( )().,1 .AAaa aAAA 設設 是是一一個個非非空空集集合合 令令 那那么么 是是 到到自自身身的的一一個個映映射射 稱稱之之為為 的的恒恒等等映映射射或或單單位位映映射射 記記作作函數可以以為是映射的一個特殊情形函數可以以為是映射的一個特殊情形.5.5.映射的乘法映射的乘法 ,. ( (

4、 ),.A B CABBCaaaA 設設是是三三個個集集合合 而而 ：映映射射 與與 的的乘乘積積定定義義為為4.4.映射的相等映射的相等,.,( )( ),.ABaAaa 設設都都是是集集合合 到到 的的映映射射 如如果果對對任任意意的的都都有有 則則稱稱 與與 相相等等 記記作作.AC 顯顯然然, ,為為集集合合 到到 的的一一個個映映射射映射的乘法滿足結合律映射的乘法滿足結合律6.6.映射的象映射的象:.,( ).( )( ) ( ).( ),.ABaA aaBAAAa aAABA 設設對對于于在在 下下的的象象我我們們用用符符號號表表示示 中中所所有有元元素素在在 下下的的象象所所成成

5、的的集集合合，即即 是是 的的一一個個子子集集 稱稱為為 在在 下下的的象象 或或稱稱為為映映射射的的象象 8. 8.單射單射12121212121212.2.,()(),.()()()().ABAa aaaaaABaaaaaaaa 定定義義4 3 4 3 設設 是是集集合合 到到 的的一一個個映映射射 如如果果對對于于 中中任任意意兩兩個個元元素素只只要要就就有有 則則稱稱 是是 到到 的的一一個個單單射射 注注記記: :條條件件的的逆逆否否命命題題是是 7. 7.滿射滿射.2.( ),.ABABAB 定定義義4 4 2 2 設設 是是集集合合 到到 的的一一個個映映射射 如如果果 則則稱稱

6、 是是 到到 的的一一個個滿滿射射 9. 9.雙射雙射1-11-1對應對應,11.ABABAB 如如果果一一個個映映射射 : :A AB B既既是是滿滿射射又又是是單單射射，則則稱稱之之為為集集合合 到到 的的一一個個雙雙射射. . 如如果果存存在在集集合合 到到 的的一一個個雙雙射射 我我們們也也說說在在與與 的的元元素素之之間間存存在在著著對對應應 10. 10.逆映射逆映射1,:( )(ABba - -1 1 對對于于集集合合 到到 的的一一個個雙雙射射我我們們可可以以自自然然地地定定義義它它的的逆逆映映射射 當當 ( (a a) )= =b b時時) ). .111,1 ,1 .ABB

7、A 是是 到到 的的一一個個雙雙射射 并并且且 二、向量空間的同構二、向量空間的同構.2,.( )( ),()( )( );(),()( ),.VWFVWiVWiiViiiV kFkkVWVWVW 定定義義4 4 4 4 設設和和是是數數域域 上上的的兩兩個個向向量量空空間間是是 到到的的一一個個映映射射 如如果果是是 到到的的雙雙射射；對對有有對對有有則則稱稱 是是 到到的的一一個個同同構構映映射射 此此時時也也說說 與與同同構構，記記作作.1.nFnF 定定理理4 4 9 9 數數域域上上每每個個 維維向向量量空空間間都都與與同同構構11111212.2. (i) (0)0; (ii) ()( ),; (iii) ()()(),1,2, (iv) , , (),(),mmmmiimVWVkkkkV kF imV 定定理理4 0 4 0 設設 是是向向量量空空間間到到的的一一個個同同構構映映射射那那么么其其中中；線線性性相相關關當當且且僅僅當當1(); (v) ,() ( ),dimdim() (vi) . mWVVVVVWVVWV 線線性性相相關關如如果果是是 的的一一個個子子空空間間 那那么么在在 下下