映射向量空間的同構(gòu)ppt課件

1、4.8 4.8 映射、向量空間的同構(gòu)映射、向量空間的同構(gòu) 以上我們的討論都是在一個(gè)向量空間內(nèi)部進(jìn)以上我們的討論都是在一個(gè)向量空間內(nèi)部進(jìn)展的展的. .本節(jié)的目的是把不同的向量空間進(jìn)展比較本節(jié)的目的是把不同的向量空間進(jìn)展比較. .一、映射一、映射 1. 1.映射定義映射定義4.214.21 設(shè)設(shè)A,BA,B是兩個(gè)非空集合是兩個(gè)非空集合. .所謂集合所謂集合A A到到B B的一個(gè)映的一個(gè)映射指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法那么射指的是一個(gè)對(duì)應(yīng)法那么, ,經(jīng)過這個(gè)法那么經(jīng)過這個(gè)法那么, ,對(duì)于對(duì)于A A中每個(gè)元素中每個(gè)元素a a，在，在B B中有獨(dú)一確定的元素中有獨(dú)一確定的元素b b與之對(duì)與之對(duì)應(yīng)應(yīng). .2.2.象、

2、原象象、原象,( ).,.ABBbAaababbaab 如如果果映映射射 ：使使 中中元元素素 與與 中中元元素素對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 那那么么就就記記作作 ：或或此此時(shí)時(shí) 稱稱為為在在 下下的的象象 而而 稱稱為為 在在 下下的的一一個(gè)個(gè)原原象象, .ABAB 如如果果 是是集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射 那那么么就就記記作作： 3. 3.集合集合A A到本身的映射也稱為到本身的映射也稱為A A的變換的變換. .1.,( )2 .,.nnn 例例4 4 6 6 設(shè)設(shè) 是是全全體體整整數(shù)數(shù)的的集集合合 對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)令令 則則 是是 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射 即即 為為 的的一一個(gè)個(gè)變變換換

3、 000.1,( ),.A BbBab aAAbAB 例例4 8 4 8 設(shè)設(shè)是是兩兩個(gè)個(gè)非非空空集集合合是是 中中一一個(gè)個(gè)固固定定的的元元素素. .令令 即即 把把 中中每每個(gè)個(gè)元元素素都都映映到到那那么么 是是 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射例例4.19 恒等映射恒等映射(單位映射單位映射) .( )().,1 .AAaa aAAA 設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)非非空空集集合合 令令 那那么么 是是 到到自自身身的的一一個(gè)個(gè)映映射射 稱稱之之為為 的的恒恒等等映映射射或或單單位位映映射射 記記作作函數(shù)可以以為是映射的一個(gè)特殊情形函數(shù)可以以為是映射的一個(gè)特殊情形.5.5.映射的乘法映射的乘法 ,. ( (

4、 ),.A B CABBCaaaA 設(shè)設(shè)是是三三個(gè)個(gè)集集合合 而而 ：映映射射 與與 的的乘乘積積定定義義為為4.4.映射的相等映射的相等,.,( )( ),.ABaAaa 設(shè)設(shè)都都是是集集合合 到到 的的映映射射 如如果果對(duì)對(duì)任任意意的的都都有有 則則稱稱 與與 相相等等 記記作作.AC 顯顯然然, ,為為集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射映射的乘法滿足結(jié)合律映射的乘法滿足結(jié)合律6.6.映射的象映射的象:.,( ).( )( ) ( ).( ),.ABaA aaBAAAa aAABA 設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)于于在在 下下的的象象我我們們用用符符號(hào)號(hào)表表示示 中中所所有有元元素素在在 下下的的象象所所成成

5、的的集集合合，即即 是是 的的一一個(gè)個(gè)子子集集 稱稱為為 在在 下下的的象象 或或稱稱為為映映射射的的象象 8. 8.單射單射12121212121212.2.,()(),.()()()().ABAa aaaaaABaaaaaaaa 定定義義4 3 4 3 設(shè)設(shè) 是是集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射 如如果果對(duì)對(duì)于于 中中任任意意兩兩個(gè)個(gè)元元素素只只要要就就有有 則則稱稱 是是 到到 的的一一個(gè)個(gè)單單射射 注注記記: :條條件件的的逆逆否否命命題題是是 7. 7.滿射滿射.2.( ),.ABABAB 定定義義4 4 2 2 設(shè)設(shè) 是是集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)映映射射 如如果果 則則稱稱

6、 是是 到到 的的一一個(gè)個(gè)滿滿射射 9. 9.雙射雙射1-11-1對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng),11.ABABAB 如如果果一一個(gè)個(gè)映映射射 : :A AB B既既是是滿滿射射又又是是單單射射，則則稱稱之之為為集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)雙雙射射. . 如如果果存存在在集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)雙雙射射 我我們們也也說說在在與與 的的元元素素之之間間存存在在著著對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 10. 10.逆映射逆映射1,:( )(ABba - -1 1 對(duì)對(duì)于于集集合合 到到 的的一一個(gè)個(gè)雙雙射射我我們們可可以以自自然然地地定定義義它它的的逆逆映映射射 當(dāng)當(dāng) ( (a a) )= =b b時(shí)時(shí)) ). .111,1 ,1 .ABB

7、A 是是 到到 的的一一個(gè)個(gè)雙雙射射 并并且且 二、向量空間的同構(gòu)二、向量空間的同構(gòu).2,.( )( ),()( )( );(),()( ),.VWFVWiVWiiViiiV kFkkVWVWVW 定定義義4 4 4 4 設(shè)設(shè)和和是是數(shù)數(shù)域域 上上的的兩兩個(gè)個(gè)向向量量空空間間是是 到到的的一一個(gè)個(gè)映映射射 如如果果是是 到到的的雙雙射射；對(duì)對(duì)有有對(duì)對(duì)有有則則稱稱 是是 到到的的一一個(gè)個(gè)同同構(gòu)構(gòu)映映射射 此此時(shí)時(shí)也也說說 與與同同構(gòu)構(gòu)，記記作作.1.nFnF 定定理理4 4 9 9 數(shù)數(shù)域域上上每每個(gè)個(gè) 維維向向量量空空間間都都與與同同構(gòu)構(gòu)11111212.2. (i) (0)0; (ii) ()( ),; (iii) ()()(),1,2, (iv) , , (),(),mmmmiimVWVkkkkV kF imV 定定理理4 0 4 0 設(shè)設(shè) 是是向向量量空空間間到到的的一一個(gè)個(gè)同同構(gòu)構(gòu)映映射射那那么么其其中中；線線性性相相關(guān)關(guān)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)1(); (v) ,() ( ),dimdim() (vi) . mWVVVVVWVVWV 線線性性相相關(guān)關(guān)如如果果是是 的的一一個(gè)個(gè)子子空空間間 那那么么在在 下下