潘省初計量經(jīng)濟學——第六章

1、1第六章 動態(tài)經(jīng)濟模型：自回歸模型和分布滯后模型2第一節(jié) 引言第二節(jié) 分布滯后模型的估計第三節(jié) 部分調(diào)整模型和適應預期模型第四節(jié) 自回歸模型的估計第五節(jié) 阿爾蒙多項式分布滯后第六節(jié) 格蘭杰因果關系檢驗3第一節(jié) 引言 很多經(jīng)濟過程的實現(xiàn)需要若干周期的時間，因此需要在我們的計量經(jīng)濟模型中引入一個時間維，通常的作法是將滯后經(jīng)濟變量引入模型中。讓我們用兩個簡單的例子說明之。4例1 Yt = +Xt-1 + ut, t = 1,2,n 本例中Y的現(xiàn)期值與X的一期滯后值相聯(lián)系，比較一般的情況是： Yt = +0Xt +1Xt-1 +sXt-s + ut, t = 1,2,n即Y的現(xiàn)期值不僅依賴于X的現(xiàn)期值

2、，而且依賴于X的若干期滯后值。這類模型稱為分布滯后模型分布滯后模型，因為X變量的影響分布于若干周期。5例2Yt = +Yt-1 + ut, t = 1,2,n 本例中Y的現(xiàn)期值與它自身的一期滯后值相聯(lián)系，即依賴于它的過去值。一般情況可能是： Yt = f (Yt-1, Yt-2, , X2t, X2t, )即Y的現(xiàn)期值依賴于它自身若干期的滯后值，還依賴于其它解釋變量。 在本例中，滯后的因變量（內(nèi)生變量）作為解釋變量出現(xiàn)在方程的右端。這種包含了內(nèi)生變量滯后項的模型稱為自回歸模型自回歸模型。 6動態(tài)經(jīng)濟模型 我們上面列舉了模型中包含滯后經(jīng)濟變量的兩種情況。第一種是僅包含滯后外生變量的模型，第二種是

3、包含滯后內(nèi)生變量的模型。在兩種情況下，都通過一種滯后結構將時間維引入了模型，即實現(xiàn)了動態(tài)過程的構模。7 第二節(jié) 分布滯后模型的估計我們在上一節(jié)引入了分布滯后模型： Yt =+0Xt +1Xt-1 +sXt-s + ut (1) 在這類模型中，由于在X和它的若干期滯后之間往往存在數(shù)據(jù)的高度相關，從而導致嚴重多重共線性問題。因此，分布滯后模型極少按（1）式這樣的一般形式被估計。通常采用對模型各系數(shù)j施加某種先驗的約束條件的方法來減少待估計的獨立參數(shù)的數(shù)目，從而解決多重共線性問題。這方面最著名的兩種方法是科克(Koyck)方法和阿爾蒙(Almon)方法。8一、科克分布滯后模型科克方法簡單地假定解釋變

4、量的各滯后值的系數(shù)（有時稱為權數(shù)）按幾何級數(shù)遞減，即： 其中 01 這實際上是假設無限滯后分布，由于0，即長期影響大于短期影響。,X,Y(1)(8)YXY(9)1YX15 從實踐的觀點來看，科克變換模型很有吸引力，一個OLS回歸就可得到、和的估計值。這顯然比前面介紹的格點搜索法要省時很多，大大簡化了計算。 可是，科克變換后模型的擾動項為 ut-ut-1 ，這帶來了自相關問題（這種擾動項稱為一階移動平均擾動項）。并且，解釋變量中包含了Yt-1，它是一個隨機變量，從而使得高斯馬爾柯夫定理的解釋變量非隨機的條件不成立。此問題的存在使得OLS估計量是一個有偏和不一致估計量。這可以說是按下葫蘆起了瓢。我

5、們將在第四節(jié)中討論科克模型的估計問題。16第三節(jié) 部分調(diào)整模型和適應預期模型 有兩個著名的動態(tài)經(jīng)濟模型，它們最終可化成與上一節(jié)（2）式相同的幾何分布滯后形式，因此都是科克類型的模型。它們是： 部分調(diào)整模型 （Partial adjustment model, PDM） 適應預期模型 （Adaptive expectations model, AEM）17 一、部分調(diào)整模型 在部分調(diào)整模型中，假設行為方程決定的是因變量的理想值（desired value）或均衡值Yt*，而不是其實際值Yt： Yt* =+Xt+ut （1） 由于Yt*不能直接觀測，因而采用 “部分調(diào)整假說” 確定之，即假定因變量

6、的實際變動（YtYt-1）,與其理想值和前期值之間的差異（Yt* Yt-1）成正比： Yt Yt-1=（Yt* - Yt-1） (2） 01, 稱為調(diào)整系數(shù)。 18 從（3）式可看出，Yt是現(xiàn)期理想值和前期實際值的加權平均。的值越高，調(diào)整過程越快。如果=1，則Yt=Yt*,在一期內(nèi)實現(xiàn)全調(diào)整。若=0，則根本不作調(diào)整。 （2）式 Yt Yt-1=(Yt* - Yt-1) (2）可改寫為： Yt =Yt* +(1-) Yt-1 (3）19(1）式 Yt* =+Xt+ut 代入（3）式 Yt =Yt* +(1-) Yt-1 ，得到 Yt=+Xt+(1-)Yt-1+ut （4）用此模型可估計出、和的值

7、。 與科克模型類似，這里也存在解釋變量為隨機變量的問題（Yt-1）.區(qū)別是科克模型中,Yt-1與擾動項（ut-ut-1）同期相關，而部分調(diào)整模型不存在同期相關。在這種情況下，用OLS法估計，得到的參數(shù)估計量是一個一致的估計量。20 不難看出，（4）式 Yt=+Xt+(1-)Yt-1+ut （4）與變換后的科克模型的形式相似，我們也不難通過對（4）式中Yt-1進行一系列的置換化為幾何分布滯后的形式:（4）式兩端取一期滯后，得 將此式代入（4）式，得到（為簡單起見，省略擾動項）： 1121(1)(5)ttttYXYu2121 (1)(1)(1)ttttYXXY 21 我們可以用同樣的方法置換Yt-

8、2，以及隨后的Yt-3,Yt-4,直至無窮，結果是將Yt表示為X的當前值和滯后值的一個滯后結構，系數(shù)為科克形式的幾何遞減權數(shù)，具體形式為： tttttXXXY.)1 ()1 (221.)1 ()1 (221ttttuuu 與上節(jié)（2）式形式完全一樣。令=1-，=，則得其中212.(6)tttttYXXX22 例 林特納（lintner）的股息調(diào)整模型 JLintner建立的股息調(diào)整模型是應用部分調(diào)整模型的一個著名實例。 在對公司股息行為的研究中，Lintner發(fā)現(xiàn)，所有股份公司都將其稅后利潤的一部分以股息的形式分配給股東，其余部分則用作投資。 當利潤增加時，股息一般也增加，但通常不會將增加的利

9、潤都用作股息分配，這是因為： （1）利潤的增加可能是暫時的； （2）可能有很好的投資機會。 23 為了建立一個描述這種行為的模型，Lintner假設各公司有一個長期的目標派息率，理想的股息Dt*與現(xiàn)期利潤t有關，其關系為 Dt*=tttttUDDD)(1*tttttUDDDD)(1*1tttUD1其中Ut為擾動項。因此而實際股息服從部分調(diào)整機制24使用美國公司部門19181941年數(shù)據(jù)，得到如下回歸結果：170. 015. 03 .352tttDD各系數(shù)在1%顯著水平下都顯著異于0。 從回歸結果可知，（1-）的估計值為0.70，因而調(diào)整系數(shù)的估計值為0.30，即調(diào)整速度為0.30。由于t的系數(shù)

10、是的估計值，除以0.30，則得到長期派息率（）的估計值為0.50。ttttUDD1)1 (即25. 1、在模型中考慮預期的重要性 預期（expectation）的構模往往是應用經(jīng)濟學家最重要和最困難的任務，在宏觀經(jīng)濟學中更是如此。投資、儲蓄等都是對有關未來的預期很敏感的。如果政府實施一項擴張政策，這將影響工商界人士有關未來經(jīng)濟總狀況的預期，特別是關于盈利能力的預期，因而影響他們的投資計劃。 例如，如果存在很可觀的失業(yè)，則政府支出增加被認為是有益的，并將刺激投資。另一方面，如果經(jīng)濟正接近充分就業(yè)，則政府的擴張政策被認為將導致通貨膨脹，結果是工商界的信心受挫，投資下降。 二、適應預期模型26 2、

11、適應預期模型 由上所述，可知在模型中考慮預期的重要性。不幸的是，在宏觀經(jīng)濟領域，不存在令人滿意的直接計量預期的方法。作為一種權宜之計，某些模型使用一種稱為適應預期過程適應預期過程的間接方法。11()01(8)eeettttXXXX 適應預期過程是一種簡單的學習過程，其機制是，在每一時期中，將所涉及變量的當前觀測值與以前所預期的值相比較，如果實際觀測值大，則將預期值向上調(diào)整，如果實際觀測值小，則預期值向下調(diào)整。調(diào)整的幅度是其預測誤差的一個分數(shù)，即：27（8）式可寫成 1(1)01(9)eetttXXX 適應預期和部分調(diào)整之間當然有很多明顯的類似之處，可是從適應預期模型的最初形式導出僅包含可觀測變

12、量的模型（可操作模型）不象在部分調(diào)整模型的情況那么簡單。上式表明，X的預期值是其當前實際值和先前預期值的加權平均。的值越大，預期值向X的實際發(fā)生值調(diào)整的速度越快。28 假設你認為因變量Yt與某個變量X的預期值Xte有關，則可寫出模型 )10(tettuXY)11()1 (211ettetXXX 我們用“降階”法來解決這個問題。如果（9）式成立，則對于t-1期，它也成立，即： 若假定Xte 用適應預期機制確定，這就是一個適應預期模型，其中解釋變量Xte是不可觀測的，必須用可觀測變量取代之。29 將（11）式代入（9）式 ，得)12()1 ()1 (221etttetXXXX,2etX)13(.)

13、1 ()1 (221tttetXXXX 我們可以用類似的方法，消掉（12）式中的 這一過程可無限重復下去，最后得到：ettetXXX211)1 (ettetXXX1)1 (30將（13）式代入（10）式 ，得)1 ()1 (11tttttuuYXY.)1 ()1 (221tttetXXXXtettuXY不難看出，此式與上節(jié)中科克分布（2）的形式相同。該模型的參數(shù)可用上一節(jié)介紹的非線性方法估計。對（14）式施加科克變換，將簡化模型的數(shù)學形式，但由于與科克模型同樣的理由，不宜直接用OLS法估計。施加科克變換的適應預期模型為：212(1)(1).(14)tttttYXXXu31 3、例子：Fried

14、man的持久收入假說 1957年，弗里德曼對傳統(tǒng)消費函數(shù)提出批評，提出了自己的消費模型。在他的模型中，第i個消費者在第t期的消費與持久性收入（permanent income）YitP有關，而不是與當期的收入Yit有關。持久性收入是一種長期收入概念，它表示在考慮了各種可能的波動的情況下，某人大體上可以依靠的收入。32 持久收入是根據(jù)最近的經(jīng)驗和有關未來的預期而主觀決定的，由于是主觀的，因而無法直接計量。任何一年中的實際收入可能高于或低于持久收入，取決于該年中的特別因素。實際收入和持久收入之差稱為暫時性收入 (transitory income)，記為YitT ，我們有：)15(Titpitit

15、YYY33 他以同樣方式區(qū)分了持久性消費、實際消費和暫時性消費的概念。持久性消費是與持久性收入的水平相對應的消費水平。實際消費可能與持久消費有差異，原因是出現(xiàn)了某些特殊的未預料到的情況（如未預料到的醫(yī)療費用），或者是沖動性購買的結果。二者之差稱為暫時性消費，記為CitT: )16(TitpititCCC YitT和CitT被假定為具有0均值和常數(shù)方差的隨機變量，它們相互獨立，且與YitP和CitP無關。 弗里德曼進一步假定持久消費與持久收入成正比：34 上式中持久收入YitP不可觀測，為解決這一問題，弗里德曼假設持久收入遵從適應預期過程，也就是說，如果某人的現(xiàn)期收入高于（或低于）其先前的持久收

16、入概念，則他將增加（或減少）后者，增加（或減少）的幅度是二者之差乘以：)17(PitPitYC)18()(1PititPitYYY一般位于0和1之間。因此人們在實際收入增加時將調(diào)整他們的持久收入概念，但不會做全額調(diào)整，這是因為認識到實際收入的變動或許有一部分是由于收入的暫時分量變動的結果。35（18）式可改寫為： )19()(11PititPitPitYYYY)20()1 (1PititPitYYY 此式表明，在第t年，消費者將持久收入估計為實際收入和以前的持久性收入概念的加權平均。如果接近于1，則該消費者將絕大部分權重給了實際收入，YP迅速向Y調(diào)整，若接近0，則很小部分權重給了實際收入，調(diào)整

17、過程將很緩慢。即36 至此，我們得到了實際消費和持久收入之間的關系式，即消費函數(shù)的弗里德曼模型。式中CitT起著擾動項的作用。)21(TitPititCYC將（17）式代入（16）式我們有：)17(PitPitYC)16(TitpititCCC37 為了估計這個模型，弗里德曼用（20）式（適應預期機制）將持久收入表示成實際收入的現(xiàn)期值和各期滯后值：PititPitYYY1)1 (PitititYYY221)1 ()1 ( )22()1 ()1 ()1 (33221 ititititYYYY若01，這就是一個合理的假設，現(xiàn)期收入的權數(shù)最大，上一年次之，隨著時間往回推，影響逐年衰減。最后，權數(shù)變得

18、非常之小，使得無需考慮該年之前那些過去值。38 弗里德曼采用的估計方法是我們前面介紹過的非線性方法，即首先試位于0和1區(qū)間內(nèi)的大量值，為每個值計算相應的持久收入時間序列，然后用消費對每個持久收入數(shù)據(jù)集回歸，根據(jù)R2選出最佳值。 為了與傳統(tǒng)消費函數(shù)相比較，弗里德曼用美國19051951（戰(zhàn)爭期間除外）的人均實際消費和人均可支配收入數(shù)據(jù)進行了回歸。在格點搜索計算中，他將持久收入計算為現(xiàn)期收入和16個滯后收入項的加權平均值，的最優(yōu)值為0.37，得到消費函數(shù)中的估計值為0.88。39第四節(jié) 自回歸模型的估計 上兩節(jié)中，我們討論了下列三個模型：科克模型 部分調(diào)整模型 適應預期模型 ) 1 ()()1 (

19、11tttttuuYXY)2()1 (1ttttuYXY)3()1 ()1 (11tttttuuYXY40 這種解釋變量中包括因變量的滯后值的模型稱為自回歸模型。由于在解釋變量中包含了因變量的滯后值,我們就可以動態(tài)地考察該變量在若干周期中的變動,因此稱為動態(tài)模型。 在自回歸模型（4）中，由于隨機解釋變量的存在和序列相關的可能性這雙重原因，OLS法不能直接應用，因此我們必須研究這類模型的估計問題。)4(1210ttttVYXY這三個模型具有一種共同的形式，即：41 一、自回歸模型的估計問題 OLS法的應用，要求解釋變量Xt為非隨機的。在自回歸模型中，由于Yt-1作為解釋變量，這一條件已無法滿足，

20、這是因為，由于 因此： 這表明，Yt-1是隨著隨機擾動項Vt-1的變動而變動的，即Yt-1部分地由Vt-1決定，因而Yt-1是隨機變量。ttttVYXY12101221101ttttVYXY42 1. 解釋變量為隨機變量時OLS估計量的統(tǒng)計性質(zhì) 由第五章，當X為非隨機量這一條不滿足時（1）若每一個Xt都獨立于所有的擾動項ut，即 cov(Xs,ut)=0, s=1,2,n t=1,2,n 則OLS估計量仍為無偏估計量。（2）若解釋變量Xt獨立于相應的擾動因素ut，即隨 機解釋變量與擾動項同期無關 ： Cov(Xt,ut)=0, t=1,2,n 則OLS估計量為一致估計量。（3）若上述兩條均不滿

21、足，則OLS估計量既是有偏 的，又是不一致的。432、自回歸模型的估計問題 在自回歸模型的情況下，第（1）條已無法滿足，因為Yt-1顯然可以表示為Vt-1,Vt-2,V1等的函數(shù)，因而依賴于Vt-1和所有早期的擾動因子。 現(xiàn)在讓我們來看是否有可能滿足解釋變量與擾動項同期無關的條件，從而得到一個一致的估計量。 44 在自回歸模型（4）的情況下：也就是要求Yt-1獨立于Vt,或 Cov(Yt-1,Vt)=0 不難看出，只要擾動項Vt是序列獨立的（即自回歸模型（4）的各期擾動項相互獨立），我們就可以假定Yt-1獨立于所有未來的擾動因子（包括Vt），在這種假定下，Yt-1與Vt無關，我們對（4）式應用

22、OLS得到的參數(shù)估計量是一致估計量。0121ttttYXYV45 讓我們回到本節(jié)開始時列出的三個模型，看看我們關于Yt-1獨立于所有未來的擾動因子，特別是Yt-1與Vt無關的假定是否能成立。 在科克模型和適應預期模型中，擾動因子序列獨立的條件不成立，以科克模型為例，擾動項 Vt = ut-ut-1假定ut滿足標準假設條件，則容易證明2122121tttttttuuuuuuuE22)()(2111ttttttuuuuEVVE該式非0，即Vt序列相關。46我們還不難證明即Yt-1與Vt相關。適應預期模型的情況與此類似。)( ,),(111tttttuuYCovVYCov2 因此，對于科克模型和適應

23、預期模型，應用OLS法不僅得不到無偏估計量，而且也得不到一致估計量。也就是說，即使樣本容量無限增大，參數(shù)估計量也不趨向于其總體值。因此，不宜采用OLS法估計上述兩種模型。47 但是，部分調(diào)整模型不同，在該模型中，Vt=ut，若ut滿足標準假設條件，則Vt也滿足。因此，可用OLS法直接估計部分調(diào)整模型，將產(chǎn)生一致估計值。 綜上所述，OLS法可用于部分調(diào)整模型的估計，并提供一致的估計值。而科克模型和適應預期模型，則由于其擾動項存在序列相關，用OLS進行估計得到的估計量既是有偏的，也是不一致的。48 OLS法不能應用于科克模型和適應預期模型的原因是解釋變量Yt-1與擾動項Vt相關，如果這種相關能夠被

24、消除的話，我們就可以用OLS得到一致估計值。如何實現(xiàn)這一點呢？利維頓（Liviatan）提出的工具變量法是一種解決方法。 二、工具變量法（IV法，Instrumental Variable）49 工具變量法的基本思路是當擾動項u與解釋變量X相關時，設法找到另一個變量Z，Z與X高度相關，而與擾動項u不相關，在模型中，用Z替換X，然后用OLS法估計，變量Z稱為工具變量工具變量。 只要工具變量的選取能夠保證Z與X高度相關，而與u不相關，則我們得到的將是一致估計量。Z與X的相關程度越高，這種替代的效果就越好。我們下面回到科克模型和適應預期模型，研究工具變量的選取。50我們的模型為 這里X是唯一的外生變

25、量，而Y的行為部分地依賴于X的行為，Yt-1的取值部分地取決于Xt-1的數(shù)值。因此，這里Xt-1就是一個比較理想的工具變量，即用滯后外生變量作為滯后內(nèi)生變量的工具： Zt=Xt-1 , t=1,2,n來估計 ttttVYXY1210ntVZXYtttt,.,2 , 121051 在實踐中，自回歸模型還可以用極大似然法估計，得到的估計量是一致估計量。 當然，對于本節(jié)所涉及的三種模型，由于它們都是幾何滯后模型，因而都可以用前面介紹的非線性方法進行估計，該方法盡管費時，但沒有估計問題。52第五節(jié) 阿爾蒙多項式分布滯后 （Almon Polynomial Distributed Lags） 科克分布假

26、定滯后解釋變量的系數(shù)按幾何級數(shù)遞減。對于很多應用問題來說，這是一種令人滿意的近似，但對于另一些應用問題，這種假設就未必符合現(xiàn)實情況。例如，在某些情況下較現(xiàn)實的假設是，因變量對解釋變量變動的響應是，開始小，然后隨時間變大，爾后再次衰減，如下圖所示。53t滯后的權數(shù)54阿爾蒙滯后分布的基本假設 阿爾蒙滯后分布為這類行為的構模提供了靈活的選擇，同時使待估計的參數(shù)數(shù)目大大減少。 基本假設是，如果Y依賴于X的現(xiàn)期值和若干期滯后值，則權數(shù)由一個多項式分布給出。由于這個原因，阿爾蒙滯后也稱為多項式分布滯后。最簡單的例子是二次和三次多項式的情況，如下圖所示：55 圖2 二次函數(shù)56圖3 三次函數(shù)57 一般情況

27、下，在分布滯后模型中，假定： 其中p為多項式的階數(shù)，如圖2中p=2，圖3中p=3。也就是用一個p階多項式來擬合分布滯后，該多項式曲線通過滯后分布的所有點。 由用戶選擇最大滯后周期m和多項式階數(shù)p。ppiiaiaiaa 2210tmtmtttuXXXY 11058例：若你根據(jù)一實際問題設定下面的模型：2210iaiaai00a2101aaa210242aaa210393aaa2104164aaa) 1 (443322110tttttttuXXXXXY我們有： 這表明，你所選擇的最大滯后周期m=4，模型中共有6個參數(shù)。若決定用二次式進行擬合，即p=2，則59 代入原模型，得tiitiuX40402

28、210)(itituXiaiaatiitiitiituXiaiXaXa4022401400 令： Z0t=Xt-i, Z1t=iXt-i, Z2t=i2Xt-i tttttttuXXXXXY44332211060 （2）式中有4個參數(shù)，比（1）式的6個少了兩個，估計出，a0,a1,a2 的值之后，我們可以轉(zhuǎn)換為i的估計值,公式為：2210iaiaai) 2(221100tttttuZaZaZaY 顯然，Z0t,Z1t和Z2t可以從現(xiàn)有觀測數(shù)據(jù)中得出，使得我們可用OLS法估計下式：61 在實踐中，人們期望m盡量小一些，如果有10年的數(shù)據(jù)，通常滯后取二至三期。 應用阿爾蒙滯后的關鍵在于如何選擇最大

29、滯后周期m和多項式的階數(shù)P。 一般說來，采用高階多項式，擬合效果要好一些，但出現(xiàn)多重共線性問題的可能性要比二階、三階多項式大。一般情況下，三次多項式是一個不錯的選擇。 對于P，我們可直接由（2）式用t檢驗法檢驗 H0: aP = 0,如果接受原假設，我們就可以去掉aP，然后用（P-1）階來估計（2）式，如果H0: aP = 0被拒絕，我們可以試（p+1）階，并檢驗 H0: aP+1= 0，等等。62 *第六節(jié)第六節(jié) 格蘭杰因果關系檢驗格蘭杰因果關系檢驗 (Granger Causality Test) 相關并不意味著必定存在因果關系。然而，許多經(jīng)濟變量之間存在單向或雙向的影響關系。例如，宏觀經(jīng)

30、濟學經(jīng)常會問到的一個問題是：GDP和貨幣供給M，誰是因，誰是果？ 格蘭杰因果關系檢驗法要檢驗的就是這類的因果關系是否存在，比如說，X是否為Y的因？檢驗思路是，用當前的Y對Y的若干期滯后及X的若干期滯后回歸，然后檢驗X的這些滯后變量作為一個整體是否改善了回歸結果，如果回答是肯定的，則X被稱為Y的格蘭杰原因 （X Granger causes Y）。63 值得注意得是，這種因果關系往往是雙向的， X是Y的格蘭杰原因，Y又是X的格蘭杰原因。 格蘭杰因果關系檢驗要求進行以下兩個回歸：111211(1)(2)mmtit iit itiimmtit iit itiiYXYuXYXu下面分四種情形討論：641.如果（如果（1）式中諸）式中諸X滯后項的系數(shù)整體統(tǒng)計上異于滯后項的系數(shù)整體統(tǒng)計上異于