隨機(jī)變量函數(shù)的分布課件

1、 25 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一、隨機(jī)變量的函數(shù) 二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一、隨機(jī)變量的函數(shù) 隨機(jī)變量的函數(shù) 如果存在一個(gè)函數(shù)g(x) 使得隨機(jī)變量X Y滿足 Yg(X) (289)則稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù) 如何從自變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律導(dǎo)出其函數(shù)Yg(X)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律呢？ 對(duì)任意區(qū)間(或區(qū)間的并)B 令Cx|g(x)B 則 YBg(X)BXC (290)從而 PYBPg(X)BPXC (291)(291)說(shuō)明 X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律確實(shí)決定了Y的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 例226 設(shè)X是一隨機(jī)變量 且YX2 則對(duì)任意x0 有 2xXxPxXPxYP2xXxPxXPxYP2xXxPxX

2、PxYP (292) )(2xxxxPxXPxYP)(2xxxxPxXPxYP)(2xxxxPxXPxYP (293) iCxiixXPCXPyYPij二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法 首先根據(jù)自變量X的可能取值確定因變量Y的所有可能取值 然后對(duì)Y的每一個(gè)可能取值yi(i1 2 )確定相應(yīng)的Cixj|g(xj)yi 于是有 Yyi XCi (294) g(X)yi 從而求得Y的概率分布 iCxiixXPCXPyYPijiCxiixXPCXPyYPij (295) 例227 設(shè)隨機(jī)變量X的分布為 411XP 210XP 411XP 求YX 2的分布 我們注意到Y(jié)

3、的可能取值為0 1 根據(jù)(290) 有 解 210002XPXPYPPY1PX1PX1P(X1X1)PX 21 214141 210002XPXPYP210002XPXPYP xCXxttfCXPd)( (297) 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 已知X的分布函數(shù)FX(x)或密度函數(shù)fX(x) 為求Yg(X)的分布函數(shù) 正如(291)所示求離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般方法 其中Cx t | g(t)x 而PXCx往往可由X的分布函數(shù)FX(x)來(lái)表達(dá)或用其密度函數(shù)fX(x)的積分來(lái)表達(dá) FY(x)PYxPg(X)xPXCx (296)進(jìn)而 Y的密度函數(shù) 可直接從FY(x)導(dǎo)出 例228 設(shè)X是一

4、個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 其分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的 則F(X)服從0 1上的均勻分布 當(dāng)x1時(shí) FY(x)PF(X)x1 當(dāng)0 x1時(shí) 由于F(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增 故有 由于F(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù) 因而其反函數(shù)存在 記作F1(x) 設(shè)YF(X)的分布函數(shù)為FY(x) 則當(dāng)x0時(shí) 證明 FY(x)PYx PF(X)x0 F(F1(x)x PXF1(x) FY(x)PF(X)x 綜上得 . 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxFY 即YF(X)服從0 1上的均勻分布 . 0, 0, 0,e21)(2 xxxxfxY 例229(2(1)分布) 設(shè)XN(0 1) 求YX 2的密度函數(shù) 記Y的

5、分布函數(shù)為FY(x) 則 解 FY(x)PYxPX 2x 顯然 當(dāng)x0時(shí)FY(x)PX 2x0 當(dāng)x0時(shí) 1)(2)(02xxXxPxXPxFY從而YX 2的分布函數(shù)為 . 0, 0, 0, 1)(2)(0 xxxxFY 于是其密度函數(shù)為 1)(2)(02xxXxPxXPxFY1)(2)(02xxXxPxXPxFY , 0, 0, 0),(1)()(0 xxxxxFxfYY, 0, 0, 0),(1)()(0 xxxxxFxfYY . 0, 0, 0,e 21222)(lnxxxx 例230(對(duì)數(shù)正態(tài)分布) 隨機(jī)變量 X 稱為服從參數(shù)為 2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布 如果YlnX服從正態(tài)分布N( 2) 試求對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù) 由于Yln XN( 2) 等價(jià)地有XeY YN( 2) 于是 當(dāng)x0時(shí) 解 FX(x)PXx PeYx PYln x (ln x) 當(dāng)x0時(shí) 顯然FX(x)0 繼而可得X的密度函數(shù)為 . 0, 0, 0),(ln1)()(xxxxxFxfXX 22eEX 222ekk ykkkykyd 22)(2)(exp 212222222 yEEXykykYkde21ee222)( 例231(對(duì)數(shù)正態(tài)分布的矩) 設(shè)X服從參數(shù)為和 2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布 即Yln XN( 2) 求EX k. 則由XeY 有 解 特別地 k1時(shí) 進(jìn)而有 yEEXykykYk