Chapter14曲線曲面積分ppt課件

1、第十四章 曲線積分與曲面積分1 第一類(lèi)曲線積分第一類(lèi)曲線積分xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧AB上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn) BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當(dāng)當(dāng)分分點(diǎn)點(diǎn)的的數(shù)數(shù)目目無(wú)無(wú)限限增增加加且且每每個(gè)個(gè)小小弧弧段段iiMM1 都都縮縮向向一一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)， 此此折折線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).1、平面曲線弧長(zhǎng)的概念重溫曲線的弧長(zhǎng)重溫曲線的弧長(zhǎng)11lim|niiilMM 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為,)(

2、)( tytx )( t其中其中)(),(tt 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). .22( )( )dstt dt 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 2 2 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形類(lèi)似的三維情形空間曲線！類(lèi)似的三維情形空間曲線！定理定理 光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的。上冊(cè)光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的。上冊(cè)P319P319定理定理7.4.17.4.1弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 3 直角坐標(biāo)情形dxyds21 曲線弧為曲線弧為)( )( rr

3、其其中中)( r在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . sin)(cos)(ryrx由由)( ds,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 4 4 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形.),(lim),(,)(),(,),(10 niiiiiLLLsfdszyxfdsPfdsyxfLyxf 即即或或記作記作線積分線積分第一類(lèi)曲第一類(lèi)曲上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或在曲線弧在曲線弧稱此極限為函數(shù)稱此極限為函數(shù)被積函數(shù)被積函數(shù)積分路徑積分路徑積分和式積分和式問(wèn)題思考問(wèn)題思考（1） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中 的符號(hào)可能為負(fù)嗎？的符號(hào)可能為負(fù)嗎？iS （2） 對(duì)弧

4、長(zhǎng)的曲線積分是否與曲線方對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是否與曲線方向有關(guān)？向有關(guān)？（3） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義是什么？對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的幾何意義是什么？思考題解答思考題解答iS 的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度.由第一型曲線積分的定義知，其積分與積分路由第一型曲線積分的定義知，其積分與積分路徑方向無(wú)關(guān)。徑方向無(wú)關(guān)。幾何意義是表示以幾何意義是表示以L為準(zhǔn)線，平行于為準(zhǔn)線，平行于z軸的直軸的直線為母線，且在線為母線，且在(x,y)處母線高度為處母線高度為f(x,y)的柱的柱面的面積。面的面積。考慮考慮:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn)Ls(

5、2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 , 但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).szyxfd),() 1 ( （, 為常數(shù)為常數(shù))szyxfd),()2( 由由 組成組成) 21,則上設(shè)在),(),()3(zyxgzyxf),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),( ,iiif xyzfx ty tz tsxyOxdydsd說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足!(

6、2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. .,),().3(而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf( , )x y且是滿足L的曲線方程。L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( ) 計(jì)算：計(jì)算：曲線積分曲線積分定積分定積分.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL

7、. ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL ()ab（以（以x x為參數(shù)）為參數(shù)）（以（以y y為參數(shù)）為參數(shù)）例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中其中 L 為為y2=2x自點(diǎn)自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)到點(diǎn)(2, 2)的一段弧的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 計(jì)算計(jì)算Lsy

8、xd)(L: 連接連接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線的閉折線OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3cos , :()sin.,LxatIxydsLybt求其中橢圓第 象限解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos 222220sin cossincosabtt atbtdt2222220()sin (sin)2ababtbdt,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023