高等數(shù)學(xué)課件：重積分習(xí)題課

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1重積分習(xí)題課重積分習(xí)題課2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用二重積分二重積分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用三重積分三重積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域閉區(qū)域 D 任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個在每個

2、i 上任取一點上任取一點),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重積分的定義、二重積分的定義2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重積分的幾何意義、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體

3、的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時，為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重積分的性質(zhì)、二重積分的性質(zhì)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積的面積.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì)若在若

4、在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7設(shè)設(shè)M、m分別是分別是),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 為為 D 的面積，則的面積，則 DMdyxfm ),( （二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為D的面積，則在的面積，則在 D 上至少存在一點上至少存在一點),( 使得使得 ),(),(fdyxfD.性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理）2

5、007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8、二重積分的計算、二重積分的計算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（）直角坐標系下（）直角坐標系下2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9 Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf

6、,:dycD ).()(21yxy Y型型2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）極坐標系下（）極坐標系下2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系125 5、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(1) 體積

7、體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面積曲面積2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(y

8、x ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14薄片對于薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為(4) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15薄片

9、對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系166

10、6、三重積分的定義、三重積分的定義設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的有界函上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域數(shù)，將閉區(qū)域任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的個小閉區(qū)域，也表示它的體積體積, 在每個在每個iv上任取一點上任取一點),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果當(dāng)各如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，這和式趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(zyxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的三重

11、積分，記為上的三重積分，記為 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系177、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當(dāng)當(dāng) Vdvzyxf,1),(8 8、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系189 9、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(

12、21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標直角坐標2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19 .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐標.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20 .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2110

13、10、三重積分的應(yīng)用、三重積分的應(yīng)用. dvM 其中其中,1 dvxMx 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體的的重重心心為為() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22,2 dvzIxy () 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 設(shè)設(shè)物物體體占占有有空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域 ，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則該該物物體體對對坐坐標標面面,坐坐標標軸軸及及原原點點的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

14、動動慣慣量量為為,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23D二、典型例題二、典型例題例例1 1解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中計算計算 1D2D3D先去掉絕對值符號，如

15、圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25)0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更換積分次序更換積分次序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成將積分區(qū)域?qū)⒎e分區(qū)域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(2022202022222

16、2 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27例例4 4解解）所圍的面積（取圓外部所圍的面積（取圓外部和圓和圓是由心臟線是由心臟線其中其中計算計算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28例例5 5解解所圍成所圍成及及由由其中其中計算計算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 則則,DD Dxyo1 yxD uvo

17、vu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa2007年8月南京航空航天

18、大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31例例7 7組成的三棱錐臺組成的三棱錐臺是由六個頂點是由六個頂點，其中，其中計算計算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122FEDCBAdvyx 解解,ABEDxoy 面上的投影為梯形面上的投影為梯形在在 為頂?shù)闹w為頂?shù)闹w以梯形以梯形為底，為底，是以梯形是以梯形ACFDABED ,軸軸所所在在平平面面過過梯梯形形xACFD, 0 zy 設(shè)其方程為設(shè)其方程為xyzCAFEDBO2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32. 02,)2 , 1 , 1( y

19、zC得其方程為得其方程為點點又因過又因過. 21;0;20: xxyyz yxdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33例例8 8所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐標利用球面坐標奇函數(shù)，奇函數(shù)，的的為為面為對稱，面為對稱，關(guān)于關(guān)于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34例例. 1:222 zy

20、xdvez，計計算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一為圓域為圓域的函數(shù)，截面的函數(shù)，截面被積函數(shù)僅為被積函數(shù)僅為2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35例例1010.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf證明證明 證證思路：從改變積分次序入手思路：從改變積分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()

21、(.)()(2102 xdttftx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36一、選擇題一、選擇題: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、設(shè)、設(shè)D為為222ayx , ,當(dāng)當(dāng) a( )( )時時, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .測測 驗驗

22、題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37 3 3、當(dāng)、當(dāng)D是是( )( )圍成的區(qū)域時圍成的區(qū)域時, ,二重積分二重積分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x軸軸, ,y軸及軸及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x軸軸, ,y軸及軸及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值為的值為( ).( ).其中區(qū)域為其中區(qū)域為D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系38 5

23、 5、設(shè)設(shè) DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 圍圍成成, ,則則I= =( ( ) ). . ( (A A) )40220ardrada ; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、設(shè)設(shè) 是是由由三三個個坐坐標標面面與與平平面面zyx 2= =1 1 所所圍圍成成的的 空空間間區(qū)區(qū)域域, ,則則 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ；

24、( (D D) ) 241 . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系39 7 7、設(shè)、設(shè) 是錐面是錐面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb與平面與平面 czyx , 0, 0所圍成的空間區(qū)域在第一卦限所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的的 部分部分, ,則則 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、計算、計算 zdvI, ,其其1,222 zyxz為為中中圍成的圍成的 立體立體, ,則正確的解法為則正確的解法為( )( )和

25、和( ).( ).2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圓柱包含在圓柱xyx222 內(nèi)部的那內(nèi)部的那 部分面積部分面積 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10 10、由直線、由直線2, 2, 2 yxyx所圍成的質(zhì)量分布均勻所圍成的質(zhì)量分布均勻 ( (設(shè)面密度為設(shè)面密度為 ) )的平面薄板的平面薄板, ,關(guān)于關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A)

26、101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41二、計算下列二重積分二、計算下列二重積分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是閉區(qū)域是閉區(qū)域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直線是由直線0 y及圓周及圓周 1, 42222 yxyx, ,xy 所圍成的在第一象所圍成的在第一象 限內(nèi)的閉區(qū)域限內(nèi)的閉區(qū)域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是閉區(qū)是閉區(qū) 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系42三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda.