近世代數(shù)習(xí)題解答

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第二章 群論1 群論1. 全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個(gè)群?證 不是一個(gè)群,因?yàn)椴贿m合結(jié)合律. 2. 舉一個(gè)有兩個(gè)元的群的例子. 證 對于普通乘法來說是一個(gè)群. 3. 證明, 我們也可以用條件1,2以及下面的條件 來作群的定義: . 至少存在一個(gè)右單位元,能讓 對于的任何元都成立 . 對于的每一個(gè)元,在里至少存在一個(gè)右逆元能讓 證 (1) 一個(gè)右逆元一定是一個(gè)左逆元,意思是由 得 因?yàn)橛捎性苁?所以 即 (2) 一個(gè)右恒等元一定也是一個(gè)左恒等元,意即 由 得 即 這樣就得到群的第二定義. (3) 證 可解 取 這就得到群的第一定義. 反過來有群的定義得到是不困難的.

2、2 單位元,逆元,消去律1. 若群的每一個(gè)元都適合方程,那么就是交換群.證 由條件知中的任一元等于它的逆元,因此對有.2. 在一個(gè)有限群里階大于2的元的個(gè)數(shù)是偶數(shù).證 (1) 先證的階是則的階也是.若有 使 即 因而 這與的階是矛盾.的階等于的階(2) 的階大于, 則 若 這與的階大于矛盾(3) 則 總起來可知階大于的元與雙雙出現(xiàn),因此有限群里階大于的元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)3. 假定是個(gè)數(shù)一個(gè)階是偶數(shù)的有限群,在里階等于的元的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù).證 根據(jù)上題知,有限群里的元大于的個(gè)數(shù)是偶數(shù);因此階的元的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù),但階是的元只有單位元,所以階的元的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù).4. 一個(gè)有限群的每一個(gè)元的階都是有

3、限的.證 故 由于是有限群,所以這些元中至少有兩個(gè)元相等: 故 是整數(shù),因而的階不超過它.4 群的同態(tài) 假定在兩個(gè)群和的一個(gè)同態(tài)映射之下,，和的階是不是一定相同? 證 不一定相同 例如 對普通乘法都作成群,且(這里是的任意元,是的元)由 可知 但 的階都是.而的階是.5 變換群1. 假定是集合的一個(gè)非一一變換,會(huì)不會(huì)有一個(gè)左逆元,使得?證 我們的回答是回有的: 11 1121 23 32 3443 45 顯然是一個(gè)非一一變換但 2. 假定是所有實(shí)數(shù)作成的集合.證明.所有的可以寫成是有理數(shù),形式的變換作成一個(gè)變換群.這個(gè)群是不是一個(gè)交換群? 證 (1) 是有理數(shù) 是關(guān)閉的.(2) 顯然時(shí)候結(jié)合律

4、(3) 則 (4) 而 所以構(gòu)成變換群.又 : 故因而不是交換群. 3. 假定是一個(gè)集合的所有變換作成的集合,我們暫時(shí)仍用舊符號: 來說明一個(gè)變換.證明,我們可以用: 來規(guī)定一個(gè)的乘法,這個(gè)乘法也適合結(jié)合律,并且對于這個(gè)乘法來說還是的單位元. 證 那么 顯然也是的一個(gè)變換. 現(xiàn)在證這個(gè)乘法適合結(jié)合律: 故 再證還是的單位元 4 證明一個(gè)變換群的單位元一定是恒等變換。 證 設(shè)是是變換群的單位元 ，是變換群，故是一一變換，因此對集合 的任意元，有的元， = 另證 根據(jù)習(xí)題知 5. 證明實(shí)數(shù)域上一切有逆的矩陣乘法來說，作成一個(gè)群。證 =實(shí)數(shù)域上一切有逆的矩陣 則是的逆從而 對矩陣乘法來說，當(dāng)然適合結(jié)

5、合律且（階的單位陣） 是的單位元。故 作成群。 6 置換群 1. 找出所有的不能和交換的元. 證 不能和交換的元有 這是難驗(yàn)證的.2. 把的所有的元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積解: 的所有元用不相連的循環(huán)置換寫出來是:(1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 證明: (1) 兩個(gè)不相連的循環(huán)置換可以交換 (2) 證(1) = =( 又 )= =,故 (2) ,故.3. 證明一個(gè)K一循環(huán)置換的階是K.證 設(shè) 設(shè), 那么 證明的每一個(gè)元都可以寫成這個(gè)循環(huán)置換中的若干個(gè)乘積。證根據(jù)定理。的每一個(gè)元都可以寫成若干不相干循環(huán)置換的乘積 而我們又能證明 同時(shí)有, 這樣就

6、得到所要證明的結(jié)論。則 7 循環(huán)群1 證明 一個(gè)循環(huán)群一定是交換群。證 ，則2 假設(shè)群的元的階是，證明的階是這里是和的最大公因子證 因?yàn)?所以而 3.假設(shè)生成一個(gè)階是的循環(huán)群。 證明也生成，假如(這就是說和互素) 證 生成一個(gè)階是的循環(huán)群，可得生成元的階是，這樣利用上題即得所證，或者，由于有 即 故4 假定是循環(huán)群，并且與同態(tài)，證明也是循環(huán)群。證 有2。4。定理1知也是群，設(shè) 且(是同態(tài)滿射) 則存在使 因而故 即 因而 即Ã=（ã） 5假設(shè)是無限階的循環(huán)群，是任何循環(huán)群，證明與同態(tài)。 證 ）設(shè)是無限階的循環(huán)群， 令且所以）設(shè)而的階是。令： 當(dāng)且只當(dāng),易 知是到的一個(gè)滿射

7、設(shè)則那么 8 子群1找出S3的所有子群 證S3=的子群一定包含單位元。 ）S3本身及只有單位元都是子群 ）包含和一個(gè)2一循環(huán)的集合一定是子群因=， =， =亦為三個(gè)子群）包含及兩個(gè)3循環(huán)置換的集合是一個(gè)子群， =是子群，有以上6個(gè)子群，今證只有這6個(gè)子群，）包含及兩個(gè)或三個(gè)2循環(huán)置換的集合不是子群因不屬于此集合)若一集合中3循環(huán)置換只有一個(gè)出現(xiàn)一定不是子群因)一個(gè)集合若出現(xiàn)兩個(gè)3循環(huán)置換及一個(gè)2循環(huán)置換不是子群 因）3循環(huán)置換及2循環(huán)置換都只有兩個(gè)出現(xiàn)的集合不是子群 因若出現(xiàn) 則故有且只有6個(gè)子群。 2.證明；群的兩個(gè)子群的交集也是的子群。證是的兩個(gè)子群，顯然非空 則 同時(shí)因是子群，故，同時(shí)所

8、以故是的子群 3取的子集，生成的子群包含哪些個(gè)元？一個(gè)群的兩個(gè)不同的子集不會(huì)生成相同的子群？證 從而 群的兩個(gè)不同的子集會(huì)生成相同的子群生成的子群為 生成的子群為 4證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。證 =（）是循環(huán)群，是的子群設(shè)，而時(shí)。任意 則 因而 因，所以是循環(huán)群. 5. 找出模12的剩余類加群的所有子群證 剩余類加群是循環(huán)群故其子群是循環(huán)群.=() () ()即() 即() 即() (6) 即有且只有以上6個(gè) 子群. 6.假定是群的一個(gè)非空子集,并且的每一個(gè)元的階都有限,證明,作成子群的充要條件:推出 證 必要性 顯然充分性推出,(*)所以只證推出即可. ,的階有限 設(shè)為 即 所以由(*)

9、 可知,因而這樣作成的子群.9 子群的陪群1. 證明階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群證：設(shè)群的階是素?cái)?shù),則可找到而, 則的階,根據(jù)定理3知, 但是素?cái)?shù),故,那么是的個(gè)不同元,所以恰是的不同元,故.2. 證明階是的群(是素?cái)?shù))一定包含一個(gè)階是的子群.證：設(shè)階是的群為, 是正整數(shù), 可取, 而,根據(jù)定理3, 的階是而, 進(jìn)一步可得的階為.是階為的的子群.3. 假定和是一個(gè)群的兩個(gè)元,并且,又假定的階是，的階是并且.證明:的階是證 .設(shè)則故 故又 因此的階是.4. 假定是一個(gè)群的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,并且對于的任意三個(gè)元來說,證明與的單位元等價(jià)的元所作成的集合為證 由于是等價(jià)關(guān)系,故有即,則因而由題設(shè)可得由對

10、稱律及推移律得再由題設(shè)得即 這就證明了是的一個(gè)子群.5. 我們直接下右陪集的定義如下:剛好包含的可以寫成 的每一個(gè)元屬于而且只屬于一個(gè)右陪集. 證 任取則這就是說,的每一個(gè)元的確屬于一個(gè)右陪集若則則,因而 故Ha=Hb這就證明了,的每一個(gè)元只屬于一個(gè)右陪集.6. 若我們把同構(gòu)的群看成是一樣的,一共只存在兩個(gè)階是的群,它們都是交換群. 證 設(shè)是階為的群.那么的元的階只能是 1若有一個(gè)元的階為,則為循環(huán)群; 2. 若有一個(gè)元的階為,則除單位元外,其他二元的階亦均未. 就同構(gòu)的觀點(diǎn)看階為的群,只有兩個(gè); 由下表看出這樣的群的確存在. 循環(huán)群 0 1 2 300 1 2 311 2 3 022 3 0

11、 133 0 1 2 非循環(huán)群e a b cee a b caa e c bbb c e acc b a e 循環(huán)群是交換群，由乘法表看出是交換群10 不變子群、商群1. 假定群的不變子群的階是,證明,的中心包含.證 設(shè)是不變子群,對于任意有 若 則 ， 矛盾 則 即是中心元.又 是中心元顯然.故的中心包含.2. 證明,兩個(gè)不變子群的交集還是不變子群令 證 ,則是的子群.及，故是不變子群.3. 證明:指數(shù)是的子群一定是不變子群.證 設(shè)群的指數(shù)是則的右陪集為的左陪集為 由 易知 因此不論是否屬于均有4. 假定是的子群,是的不變子群,證明是的子群。 證 任取 至于HN非空是顯然的!HN是G的子群.

12、5. 列舉證明,G的不變子群N的不變子群1未必是G的不變子群(取G=!) 證 取易知N是G的子群,是N的子群我們說N是G的不變子群,這是因?yàn)榇思凑f明因?yàn)镹是階為4的群,所以為交換群,故其子群是不變子群.但卻不是G的不變子群,原因是: 6. 一個(gè)群G的可以寫成!形式的元叫做換位子.證明: i)所有的有限個(gè)換位子的乘積作成的集合C是G的一個(gè)不變子群; ii)G/C是交換群; iii)若N是G的一個(gè)不變子群,并且G/N是交換群,那么證 i)顯然是有限個(gè)換位子的乘積; 故(有限個(gè)換位子的乘積)(有限個(gè)換位子的乘積)=有限個(gè)換位子的乘積,故C對G的乘法是閉的.由于1是換位子,故(有限個(gè)換位子的乘積)的逆

13、仍為(有限個(gè)換位子的乘積)即有故C是子群;由 有即 所以C是不變子群.(ii) 、 就有故1因而即所以是交換子群;(iii)因G/N是交換子群就有 因此 又由于是子群,所以包含有限個(gè)換位子的乘積,即.11 同態(tài)與不變子群1 我們看一個(gè)集合到集合的滿射,證明,若是的逆象,一定是的象;但若的的象,不一定是的逆象. 證 ) 在之下的象一定是;若有的元在之下的象,則有兩個(gè)不同的象,故矛盾又的逆象是兩者合起來,即得所證 )設(shè) 令在之下但的逆象是 2. 假定群與群同態(tài),是的一個(gè)不變子群,是的逆象.證明:證 設(shè)是到的同態(tài)滿射;是到的同態(tài)滿射.規(guī)定則是到的同態(tài)滿射.事實(shí)上,則 故這就是說,現(xiàn)在證明同態(tài)滿射的核是 則 由于是的逆象 故 因而另一方面,若 則