專題：對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及類型題歸納

1、專題：對數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)1 .對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù) y logax（）叫做對數(shù)函數(shù) .定義域是 2 .對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為a>10<a<1圖象定義域：（0, +°0）值域：R過點(diǎn)（1, 0）,即當(dāng)x 1時(shí)，y 0 性質(zhì) x (0,1)時(shí)y 0.x (1,)時(shí) y 0*x(0,1)時(shí) y0 .x(1,)時(shí)丫0.在（0, +00）上是增函數(shù).在（0, +°°）上是減函數(shù)*思考：函數(shù)y log a x與函數(shù)y ax （a0且a 1）的定義域、值域之間有什么關(guān)系對數(shù)函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于 對稱。一般的，函數(shù)y=ax與y=logax（a>

2、0且aw 1）互稱相對應(yīng)的反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，且圖象關(guān)于直線y=f（x）存在反函數(shù)，一般將反函數(shù)記作y=f-1（x） 如:f（x）=2 x,則f-1（x）=log 2x,二者的定義域與值域?qū)φ{(diào)y=x對稱，且它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱專題應(yīng)用練習(xí)函數(shù)與其反函數(shù)的定義域與值域?qū)φ{(diào)、求下列函數(shù)的定義域(1)y iogo.2(4x）；(2) y logaJx 1 (a 0,a 1).；(3)y log(2xi)( x2 2x 3)(4) y Jlog2(4x 3)(5) y=ig(6) y= log3 xx 11 .y=log(5x-1)(7x-2)的定義域是 2 .y= Jlg(

3、8 x2)的定義域是 3 .求函數(shù)y log 2(2x 1)的定義域 4 .函數(shù)y= Jlog1 (2x1)的定義域是 5 .函數(shù) y= log 2(32 4x)的定義域是 ,值域是 .6 .函數(shù)y log 5 x(2x 3)的定義域 2、7 .求函數(shù)y loga(x x )(a 0,a 1)的定乂域和值域。8 .求下列函數(shù)的定義域、值域：22(1) y log 2(x 3)；(2) y log 2(3 x)；(3) y log a(x 4x 7) ( a 0 且 a 1).9.函數(shù) f (x) = ln ( Jx 3x 2 vX 3x4 )定義域 x2 xx2 10.設(shè)f(x)=lg 上，則

4、f(-) f(2)的定義域?yàn)?2 x2x11 .函數(shù)f(x)=x 2| 1的定義域?yàn)?0g 2(x 1)212 .函數(shù) f(x)= g(x 2x)的7E義域?yàn)?；9 x213.函數(shù) f (x) = 1 ln ( fx3x 2 1x3x 4 )的定義域?yàn)?x14y 10g210g210g2x 的定義域是 1 .設(shè) f (x)=lg(ax2-2x+ a),(1)如果f (x)的定義域是(8, +8),求a的取值范圍；(2)如果f (x)的值域是(8, +8),求a的取值范圍.15 .已知函數(shù) f(x) log 1 (x2 2ax 3)2(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)若函數(shù)的值域

5、為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?,i)(3,),求實(shí)數(shù)a的值；(4)若函數(shù)的值域?yàn)?，求實(shí)數(shù)a的值.16 .若函數(shù)y f 2x的定義域?yàn)?1,0 ,則函數(shù)y f log2x的定義域?yàn)?7 .已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1, 1,求f(log2x)的定義域.18若函數(shù)y=lg(4-a 2x)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 19 已知 x滿足不等式(log 2 x)2 7 log 2 x 6 0 ,函數(shù) f(x) (log 2 4x) ?(log 4 2x)的值域是220 求函數(shù) y (log1 x) log 1 x 1 (1 x 4)的值域。 2221 已知函數(shù) f(x)=

6、log 2上+log2(x-1)+log 2(p-x).(1)求 f(x)的定義域;(2)求 f(x)的值域.x 1口0，x 1解：f(x)有意義時(shí)，有 x 1 0，p x 0，由、得x>1,由得xvp,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，故p>1,f(x)的定義域是(1,p).(2) f(x)=log 2 (x+1)(p-x) =log 2 - (x-p) 2+ (p 1) (1vxvp), 24當(dāng) 1<2_<p,即 p>3 時(shí)，0<-(x-2)2 ip-J£(p_j£ 2244,p 1 2 (p 1)2log2(x 2-)4 w 210g2(

7、p+1)-2.當(dāng) _p_Jw1,即 1vpW3 時(shí)， 0v-(x-U)2 (-p-J- 2(p 1), .-.log2(x -p-)2 (p 1) <1+log2(p-1).22424綜合可知：當(dāng)p>3時(shí)，f(x)的值域是(-8,2log2(p+1)-2;當(dāng) 1<pW3 時(shí),函數(shù) f(x)的值域是(-oo,1+log2(p-1).二、利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較大小例1、比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?1) log 2 3.4, 10g 2 3.8；(2) 10g 0.5 1.8 , log 0.5 2.1 ；/c、， c ,3(3)10g75, log67；(4) 10g23,

8、 log45, 一2.0 91.1.1, log1.1 0.9, log0.70.8 的大小關(guān)系是 2 .已知 a2>b>a>1,貝U m=logab, n=logba, p= 10gb?的大小關(guān)系是 a3 .已知10gm5>logn5,試確定 m和n的大小關(guān)系4 .已知 0vav 1,b>1,ab>1,則 logaLiog. b,logb 1 的大小關(guān)系是 bb5 .已知 log 1 bvlog 1 avlog 1 c比較 2b,2a,2c 的大小關(guān)系. 2226 .設(shè) a 10g3 ,b 10g273,c 10g3 72,貝U已知x 1,d，試比較a .

9、 .。已知x 1,d 1試比較a8 .9 .設(shè) 0 <x <1 , a >0,且 aw 1,10 .已知函數(shù)f(x) lgx ,則三、解指、對數(shù)方程：(1) 33x 527(2) 22xlogd x 2, b 10gd x2c 10gd 10gd x 的大小。log d x 2, b 10gd x2的大小。試比較 | loga (1-x)|與| loga (1+x)|的大小。11f 1 , f 1 , f (2)的大小關(guān)系是 4312 (3) 10g5(3x) 10g5(2x 1) (4) lg1g(x 1)1 .已知3a=5吐A,且1 1=2.則A的值是 a b12 .已知

10、 10g7 11og3(1og2x) =0,那么 x 2 等于 13 .已知 10g7 1og3(1og2x) =0,那么 x '等于 1.1. x C (e-1,1),a=1nx,b=21nx,c=1n 3x,則 5 .若f 10xx,那么f 3等于6 .已知 f(x5) lgx,則 f(2) 7 .已知 1oga(x2 4) 1oga(y2 1) log a 5 1oga(2xy 1)(a 0,且 a 1),求 10g8'的值. x四、解不等式：1.log 5(3x) 10g 5(2x 1)1.1 g( x 1) 13 .設(shè)a,b滿足0 a b 1 ,給出下列四個(gè)不等式：

11、aa ab, ba bb, aa ba, bb ab,其中正.確.的不等式有 4 .已知：(1) f(x) log ax在3,)上恒有| f(x)| 1 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。25 .已知函數(shù)f (x) x 3,g (x) a(1 x),當(dāng) 2 x 2時(shí)，f(x) g(x)恒成立，求頭數(shù)a的取值氾圍。21、6 .求m的取值氾圍，使關(guān)于 x的萬程(lg x) 2mlgx (m ) 0有兩個(gè)大于1的根. 4(2008 全國)若 xC (e-1,i),a=inx,b=2lnx,c=ln 3x,則 ,一 11 j7 .已知 0< a< 1,b>1,ab>1,則 loga ,lo

12、gab,logb 的大小關(guān)系zE bb8 .已知函數(shù)f(x)=log ax(a>0,aw 1),如果對于任意 x 3, +°°)都有|f(x)| > 1成立，試求a的取值范圍9 .已知函數(shù)f (x) =log2(x2-ax-a)在區(qū)間(-°°, 1-“寫上是單調(diào)遞減函數(shù).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10 .若函數(shù)ylog2(x2 ax a)在區(qū)間(,1 J3)上是增函數(shù)，a的取值范圍 11 .已知函數(shù)f(x) log 2(x2ax 3a)在區(qū)間1, 2上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 10g2x,x 0,12 .若函數(shù)f(x)= logi ( x)

13、,x 0 ,若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 2一 2x1 1, x 1一12.1. ,函數(shù)f(x)右f (Xo) 1 ,則Xo的取值范圍是()lg x,x> 1,/ 214.設(shè)a>0且aw1,若函數(shù)f (x)=a1gx x有最大值，試解不等式loga(x2 5x 7) >0五、定點(diǎn)問題1 .若函數(shù)y=loga(x+b) (a>0,且a? 1)的圖象過兩點(diǎn)(-1, 0)和(0, 1),則 2 .若函數(shù)y=loga(x+b) (a>0,且aw1)的圖象過兩點(diǎn)(-1, 0)和(0, 1),則 3 .函數(shù) f(x) loga(x 1) 1(a0且a 1

14、)恒過定點(diǎn).六、求對數(shù)的底數(shù)范圍問題-41. (1)若loga- 1 (a 0且a 1),求a的取值范圍 52. (2)若 10g (2a 3)(1 4a) 2,求 a 的取值范圍 23. .若log。2 1 (a 0且a 1),則a的取值范圍 34 .函數(shù)f(x) loga(x 1)的定義域和值域都是0,1,則a的值為 .5 .若函數(shù)f(x) loga (a x)在2,3上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是 6 .函數(shù)y=log0.5(ax+a-1)在x>2上單調(diào)減，求實(shí)數(shù) a的范圍7.已知y= loga (2-ax)在0, 1上是x的減函數(shù)，求 a的取值范圍8 .已知函數(shù)y=log a2 (

15、x2-2ax-3)在(-°°,-2)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.9 .已知函數(shù)f(x)=log ax(a>0,awl),如果對于任意 xC 3, +8)都有|f(x)|>1成立，試求a的取值范圍.10 .若函數(shù)y loga(1 x)在0,1)上是增函數(shù)，a的取值范圍是 111 .使log a 1成立的a的取值范圍是 212 .若定義在(一1, 0)內(nèi)的函數(shù)f (x)=log2a(x+1)滿足f (x)>0,則a的取值范圍是 七、最值問題1 .函數(shù)y=logax在2, 10上的最大值與最小值的差為1,則常數(shù)a =. 一一,22 .求函數(shù) y 10gl x 1

16、0gl x 5 x 2,4的最小值 最大值.。443 .設(shè)a> 1,函數(shù)f(x)=log ax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為：，則a=4 .函數(shù)f (x) =ax+loga (x+1)在0, 1上的最大值和最小值之和為a,則a=xx5 .已知0 x 2,則函數(shù)y 43 24的最大值是 ,最小值是 .226 .已知f(x) 1 10g2x,(1 x 4),求函數(shù)g(x) f 2(x)f (x2)的最大值與最小值i,2_xx7 .已知 x 滿足 2(log05 x)710g 05 x 3 0，求函數(shù) f (x) (log 21)(log 2)的最值。24設(shè)x 0,y 0,且x 2y

17、1,求函數(shù) u log 1 (8xy 4y2 1)的值域.8 .29 .函數(shù)f (x)=ax + loga (x+1)在0, 1上的最大值與最小值之和為a,則a=xx 110 .求函數(shù) y log 1 (1 3x) 10g2(3x )的最小值 2311 .函數(shù)P = 在區(qū)間饞田上的最大值比最小值大2,則實(shí)數(shù)津=.八、單調(diào)性1 .討論函數(shù)y 1g(1 x) 1g(1 x)的奇偶性與單調(diào)性_2 2 .函數(shù)y 1g(2x x )的定義域是 ，值域是,單調(diào)增區(qū)間是 3 .函數(shù)f(x) 1n(x2 4x 3)的遞減區(qū)間是4 .函數(shù)y=1og 1/3 (x2-3x)的增區(qū)間是 5 .證明函數(shù)f (x) 1

18、0g2(x2 1)在(0,)上是增函數(shù).6 .函數(shù)f(x) log2(x 1)在(，0)上是減函數(shù)還是增函數(shù)7 .求函數(shù)y 10gl (x2 2x 3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明.8.求y= log 0.3 ( x -2x)的單調(diào)遞減區(qū)間 9.求函數(shù)y= log 2 ( x -4x)的單調(diào)遞增區(qū)間七10 .函數(shù)y=1og 1 (x2-3x+2)的遞增區(qū)間是11 .函數(shù)y 1g(2x x2)的值域是 ,單調(diào)增區(qū)間是 .12 .若函數(shù)y 10g2(x2 ax a)在區(qū)間(,1 J3)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍、一一一一 ,2，,一，一，1 .證明函數(shù)y=1og1 (x +1)在(0, +

19、oo)上是減函數(shù)；2 .已知函數(shù)f (x) =1og2(x2-ax-a)在區(qū)間(-°°, 1-u3上是單調(diào)遞減函數(shù).,求實(shí)數(shù)a的取值范圍 x3 .已知函數(shù)f (x) lg(4 k 2 ),(其中k實(shí)數(shù))(i)求函數(shù)f(x)的定義域；(n)若f(x)在 ，2上有意義，試求實(shí)數(shù) k的取值范圍小結(jié)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性f (x), g(x)的單調(diào)相同，y f(g(x)為增函數(shù)，否則為減函數(shù).九、奇偶性1 .函數(shù)f x ln Jix2 x的奇偶性是 。2 .若函數(shù)f x是奇函數(shù)，且x 0時(shí)，f x lg x 1 ,則當(dāng)x 0時(shí)，f x 13 .偶函數(shù)f x在0,2內(nèi)單調(diào)遞減，a f 1

20、 ,b f 10go.5一 ,c f lg 0.5 ,則a,b,cN間的大小關(guān)系一 一，r , ,，一 14 .已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0,)上為增函數(shù)，f(-) 0,則不等式f(logx) 0的解集為 381 x #1 一.5 .已知函數(shù) f (x) lg，右 f (a),則 f( a) .1 x2/(log i 23)6.已知奇函數(shù)/滿足+2)=/(工)，當(dāng)其日(°時(shí)，函數(shù)/=2 ,則 =.7已知f(x) lg(x Jx2 1)(1)判斷f(x)奇偶性(2)判斷f(x)的單調(diào)性 .8.知函數(shù)f(x)=loga'上(a>0,且aw 1, b>0)

21、(1)求f(x)定義域；(2)討論f(x)奇偶性；(3)討論f(x) x b單調(diào)性9abe R,且aw2,定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)= igLax是奇函數(shù) 1 2x1)求b取值范圍2)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性.10 .設(shè)a,bC R,且aw2,定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)= igL3是奇函數(shù). 1 2x(1)求b的取值范圍；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.11 .已知函數(shù) f (x) loga(1 x), g(x) loga(1 x)其中(a 0 且a 1),設(shè) h(x) f (x) g(x).(1)求函數(shù)h(x)的定義域，判斷h(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若f(3)

22、 2,求使h(x) 0成立的x的集合.十、對稱問題與解析式1 .已知函數(shù)f x的定義域是0,且對任意的x1，x2 0滿足f5 f xf x2 ,當(dāng)x 1時(shí)有x2f x 0 ,請你寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)f x 。22 一x一2.已知函數(shù)f x滿足f x 3 log a2 a 0, a 16 x2(1)求f x的解析式；(2)判斷f x的奇偶性；(3)討論f x的單調(diào)性；(4)解不等式f x loga 2x3.已知 定義域?yàn)?，0)(0,)的函數(shù)y f (x)滿足條件：對于 定義域 內(nèi)任意x，x2都有f(x)x2)f(x1)f(x2). (1)求證：f(1) f(x),且f(x)是偶函數(shù)；(2

23、)請寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù). x5.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù) f(x)的圖象.(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式；(2)當(dāng)xC 0, 1)時(shí)總有f(x)+g(x)m成立，求m的取值范圍.解 (1)設(shè)P (x, y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn)，則Q (-x, -y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn), Q (-x, -y)在 f(x)的圖象上,，-y=log a (-x+1),即 y=g(x)=-log a(l-x).(2) f(x)+g(x) >m,!P loga_x_1tm.1 x設(shè)F (x) =loga

24、,xe 0, 1),由題意知，只要 F (x) min >m即可.1 xF (x)在0, 1 )上是增函數(shù)， F (x) min=F (0) =0.故m< 0即為所求1)證明 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為 x1、x2,由題設(shè)知x1> 1,x2> 1,則點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為10g8x1、10g8x2.因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以10g 8 x1 10g8 x2點(diǎn)C D的坐標(biāo)分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2), Xix2由于10g2X1=lOg3=3log8X1,log2X2=3log8X2,OC的斜率為匕=螞3310g 8x1, OD的斜率為k2蟠23

25、10g8X2,由此可知10g 8 2X1XX2x2k1=k2,即O、C、D在同一直線上. 解 由于 BC 平行于 X 軸，知 1og2X1 = 1og 8X2,即得 1og2X1=- 10g2X2,X2=X31, 3代入 X21og8X1=X11og8X2,得 X3110g8X1=3X110g8X1，由于 X1 > 1,知 10g8X1 W 0,故 X31=3x 1, 又因 X1>1,解得 X1 = V3,于是點(diǎn) A 白坐標(biāo)為(J3 , 10g 8百).6 .已知過原點(diǎn)。的一條直線與函數(shù)y=1og8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=1og2 的圖象交于C、

26、D兩點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)。在同一直線上；(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).7 .設(shè)函數(shù)/了(工)且3皿用3%+原3-1)求(工)的解析式，定義域；討論丁的單調(diào)性，并求,的值域.十一、對數(shù)函數(shù)圖象1 .函數(shù) y 1og3(x 2)的圖象是由函數(shù) y 1og3x的圖象 得到。2 .函數(shù)y log3(x 2) 3的圖象是由函數(shù) y 1og3x的圖象 得到。3 .函數(shù)y 1oga(x b) c (a 0, a 1)的圖象是由函數(shù) y 1ogax的圖象當(dāng)b 0,c 0時(shí)向 單位得到；當(dāng)b 0,c 0時(shí)向 單位得到;當(dāng)b 0,c 0時(shí)向 單位得到；當(dāng)b 0,c 0時(shí)向 單位得到。嘗試總結(jié)：

27、平移變換y f(x) y f(x a) b的法則1 .將函數(shù)y=2x的圖象向左平移 1個(gè)單位得到Ci,將Ci向上平移1個(gè)單位得到C2,而C3與C2關(guān)于直線y=x對稱,則C3對應(yīng)的函數(shù)解析式是 2 .函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)y log3X的圖像的關(guān)系，并畫出它們的示意圖，由圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間： y log31 x|； (2) y | log3 x | ； y log3( x)；(4)ylog3x1.已知xi是方程x+ lgx=3的根，x2是方程x+ 10x=3的根求函數(shù)f (x)= log2|x2 x 12的單調(diào)區(qū)間1 有±±工2 .如圖，曲線是對數(shù)函數(shù),"宮的圖象，

28、已知出的取值 51。,則相應(yīng)于曲線3c，的s值依次為(?？).-x .3 .萬程loga x a (a 1)的解的個(gè)數(shù)為 4 .已知關(guān)于x的方程lg2 x 2alg x 2 a 0的兩根均大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 25 .萬程10g2|x| x的實(shí)根個(gè)數(shù)是 個(gè)則x+x2=6 .已知 f(x)= 1 + logx3, g(x) = 2logx2,比較 f(x)與 g(x)的大小 x x7 .設(shè)a>0且a w 1,求證：方程a a -x=2a的根不在區(qū)間卜1,1內(nèi)8 .若“4"4 ,且現(xiàn)" T1，則口出滿足的關(guān)系式是？()9 .若aHlnF是偶函數(shù),則"+4

29、 1)的圖象是? (?).一1十1唯3工10方程5實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間是(A)關(guān)于正軸對稱(B)關(guān)于尸軸對稱(C)關(guān)于原點(diǎn)對稱(D)關(guān)于直線尸=工對稱(? ). (A) (3<)?(B)45)©(5,6)? (D) 37)cX 一 一 I ，_a 一 一11.已知x、y為實(shí)數(shù)，滿足(10g4y) 2= logi x,試求一的最大值及相應(yīng)的 x、y的值.2y十二、附加內(nèi)容(補(bǔ)充)本節(jié)主要介紹以下幾個(gè)問題、反函數(shù)的定義從yf(x)中解出x、反函數(shù)的求法、反函數(shù)存在的條件求原函數(shù)值域(反函數(shù)定義域)x與y互換，加注定義域四、反函數(shù)的性質(zhì)y=ax及y=1og ax互為反函數(shù)，反函數(shù)的定義一般的，如果y是x的一個(gè)函數(shù)(y=f(x),另一方面，x也是y的函數(shù)(x=g(y),將此函數(shù)稱作函數(shù) y=f(x)的反函數(shù)。一般仍用x表示自變量，y表示函數(shù)值 這樣y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x),y=f-1(x)與y=f(x)互為反函數(shù)y=ax與y=log ax互為反函數(shù)注意：f-1