考研數(shù)學考前必備重點內容題型函數(shù)與極限

1、第一章函數(shù)與極限教學目的：1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。2、了解函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性和有界性。3、理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形。5、理解極限的概念， 理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。6、掌握極限的性質及四則運算法則。7、了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10、了

2、解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。教學重點：1、復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、基本初等函數(shù)的性質及其圖形；3、極限的概念極限的性質及四則運算法則；4、兩個重要極限；5、無窮小及無窮小的比較；6、函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。教學難點：1、分段函數(shù)的建立與性質；2、左極限與右極限概念及應用；3、極限存在的兩個準則的應用；4、間斷點及其分類；5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的應用。§1. 1映射與函數(shù)一、集合1. 集合概念集合 (簡稱集 ): 集合是指具有某種特定性質的事物的總體.

3、用 A, B, C.等表示 .1 / 8元素 : 組成集合的事物稱為集合的元素. a 是集合 M 的元素表示為 a M.集合的表示 :列舉法 : 把集合的全體元素一一列舉出來 .例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 若集合 M 是由元素具有某種性質P 的元素 x 的全體所組成 , 則 M可表示為, a ,A a , a ,1 2nM x | x 具有性質 P .例如 M ( x, y)| x, y 為實數(shù) , x2 y2 1.幾個數(shù)集 :N 表示所有自然數(shù)構成的集合, 稱為自然數(shù)集 .N 0, 1, 2, n,. N1, 2, n,.R 表示所有實數(shù)構成的集合, 稱為實

4、數(shù)集 .Z 表示所有整數(shù)構成的集合, 稱為整數(shù)集 .Z ,n,2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示所有有理數(shù)構成的集合, 稱為有理數(shù)集 .pQ| pZ ,qN且 p與q互質 q子集 : 若 x A, 則必有 x B, 則稱 A 是 B 的子集 , 記為 AB(讀作 A 包含于B)或 BA.如果集合 A與集合 B互為子集,AB且BA, 則稱集合 A與集合 B相等, 記作A B.若A B且A B, 則稱 A是B的真子集, 記作AB. 例如,NZQR.不含任何元素的集合稱為空集, 記作. 規(guī)定空集是任何集合的子集.2. 集合的運算設 A、B 是兩個集合 , 由所有屬于 A 或者屬于 B 的元素

5、組成的集合稱為 A 與 B 的并集(簡稱并 ), 記作 A B, 即A B x|x A 或 x B.設 A、B 是兩個集合 , 由所有既屬于 A 又屬于 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的交集(簡稱交 ), 記作 A B, 即A B x|x A 且 x B.設 A、B 是兩個集合 , 由所有屬于 A 而不屬于 B 的元素組成的集合稱為 A 與 B 的差集(簡稱差 ), 記作 A B, 即A B x|x A 且 x B.如果我們研究某個問題限定在一個大的集合 I 中進行 , 所研究的其他集合 A都是 I 的子集 . 此時 , 我們稱集合 I 為全集或基本集 . 稱 IA 為 A 的余集或補

6、集 , 記作 AC.集合運算的法則 :設 A、 B、 C 為任意三個集合 , 則(1)交換律 A B B A,A B B A;(2)結合律 (A B) C A (B C), (A B) C A (B C);(3)分配律(AB)C (AC)(BC), (AB)C (AC)(BC);(4)對偶律(AB)C ACBC, (AB)C ACBC.2 / 8(AB)C ACBC 的證明 :x (AB)Cx ABxA 且x BxA C 且x BCx ACBC, 所以(AB)C ACBC.直積 (笛卡兒乘積 ):設 A、 B 是任意兩個集合 , 在集合 A 中任意取一個元素 x, 在集合 B 中任意取一個元素

7、 y, 組成一個有序對 (x, y), 把這樣的有序對作為新元素 , 它們全體組成的集合稱為集合 A 與集合 B 的直積 , 記為 A B, 即A B ( x, y)|xA 且 yB.例如 , R R ( x, y)| xR 且 y R 即為 xOy 面上全體點的集合 , R R 常記作R2 .3. 區(qū)間和鄰域有限區(qū)間 :設 a<b, 稱數(shù)集 x|a<x<b 為開區(qū)間 , 記為 (a, b), 即(a, b) x|a<x<b.類似地有a, b x | ax b 稱為閉區(qū)間 ,a, b) x | a x<b 、(a, b x | a<x b 稱為半開區(qū)間

8、 .其中 a 和 b 稱為區(qū)間 (a, b)、 a, b、a, b)、 (a, b的端點 , b a 稱為區(qū)間的長度 .無限區(qū)間 :a,) x | a x , (, b x | x < b , (,) x | | x | <.區(qū)間在數(shù)軸上的表示 :鄰域 : 以點 a 為中心的任何開區(qū)間稱為點a 的鄰域 , 記作 U(a).設 是一正數(shù) , 則稱開區(qū)間 (a, a)為點 a 的 鄰域 , 記作 U(a,), 即U(a,) x | a< x < a x | | x a|< .其中點 a 稱為鄰域的中心 ,稱為鄰域的半徑 .去心鄰域 U (a,):U (a,) x |0

9、<| x a |< 二、映射1. 映射的概念定義 設 X、Y 是兩個非空集合 , 如果存在一個法則 f, 使得對 X 中每個元素 x, 按法則 f, 在 Y 中有唯一確定的元素 y 與之對應 , 則稱 f 為從 X 到 Y 的映射 , 記作f : XY ,其中 y 稱為元素 x(在映射 f 下)的像 , 并記作 f(x), 即y f(x),而元素 x 稱為元素 y(在映射 f 下)的一個原像 ; 集合 X 稱為映射 f 的定義域 , 記作 D f, 即D f X ;3 / 8X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射f 的值域 , 記為 R f, 或 f(X), 即R f f(X) f

10、(x)|xX.需要注意的問題 :(1)構成一個映射必須具備以下三個要素: 集合 X, 即定義域D f X; 集合 Y,即值域的范圍 : R fY; 對應法則 f, 使對每個 xX, 有唯一確定的 y f(x)與之對應 .(2)對每個 x X, 元素 x 的像 y 是唯一的 ; 而對每個 yR f, 元素 y 的原像不一定是唯一的 ; 映射 f 的值域 R f 是 Y 的一個子集 , 即 R fY, 不一定 R f Y .例 1 設 f : RR, 對每個 x R, f(x) x2 .顯然 , f 是一個映射 , f 的定義域 D f R, 值域 R f y|y 0, 它是 R 的一個真子集 .

11、 對于 R f 中的元素 y, 除 y 0 外, 它的原像不是唯一的 . 如 y 4 的原像就有 x 2 和 x 2 兩個 .例 2 設 X ( x, y)|x2 y2 1, Y ( x, 0)|x| 1, f : XY, 對每個 (x, y)X, 有唯一確定的 (x, 0)Y 與之對應 .顯然 f 是一個映射 , f 的定義域 D f X, 值域 R fY. 在幾何上 , 這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x 軸的區(qū)間 1, 1上.(3) f : , 22 1, 1, 對每個 x, , f(x) sin x .22f 是一個映射 , 定義域 D f , , 值域 R f

12、 1, 1.22滿射、單射和雙射 :設 f 是從集合 X 到集合 Y 的映射 , 若 R fY, 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像 , 則稱 f 為 X 到 Y 上的映射或滿射 ;若對 X 中任意兩個不同元素 x 12它們的像 f(x 12x ,) f(x ), 則稱 f 為 X 到 Y 的單射 ; 若映射 f 既是單射 , 又是滿射 , 則稱 f 為一一映射 (或雙射 ).上述三例各是什么映射？2. 逆映射與復合映射設 f 是 X 到 Y 的單射 , 則由定義 , 對每個 y R f , 有唯一的 x X, 適合 f(x) y, 于是 , 我們可定義一個從 R f 到 X 的新

13、映射 g, 即g : R fX,對每個 y R f , 規(guī)定 g(y) x, 這 x 滿足 f(x) y. 這個映射 g 稱為 f 的逆映射 , 記作 f 1, 其定義域 D f 1 R f , 值域 Rf 1 X .按上述定義 , 只有單射才存在逆映射. 上述三例中哪個映射存在逆映射？設有兩個映射其中 Y1g : X Y 1, f : Y 2 Z,Y 2. 則由映射 g 和 f 可以定出一個從 X 到 Z 的對應法則 , 它將每個 x X映射成 fg(x) Z . 顯然 , 這個對應法則確定了一個從X 到 Z 的映射 , 這個映射稱為映射 g 和 f 構成的復合映射 , 記作 f o g,

14、即f o g: XZ,(f o g)(x)fg(x), x X .應注意的問題 :映射 g 和 f 構成復合映射的條件是 : g 的值域 R g 必須包含在 f 的定義域內 , Rg D f . 否則 , 不能構成復合映射 . 由此可以知道 , 映射 g 和 f 的復合是有順序的 , f o g 有意義并不表示 g o f 也有意義 . 即使 f o g 與 g o f 都有意義 , 復映射 f o g 與 g4 / 8o f 也未必相同 .例 4 設有映射 g : R 1, 1,對每個 xR, g(x) sin x,映射 f : 1, 1 0, 1, 對每個 u 1, 1,f (u) 1u

15、2 .則映射 g 和 f 構成復映射 f o g: R0, 1,對每個 xR, 有( f g)( x) f g( x)f ( s i xn)2|c o xs|.1 s i n x三、函數(shù)1. 函數(shù)概念定義 設數(shù)集 DR, 則稱映射 f : DR 為定義在 D 上的函數(shù) , 通常簡記為y f(x), xD,其中 x 稱為自變量 , y 稱為因變量 , D 稱為定義域 , 記作 D f, 即 D f D.應注意的問題 :記號 f 和 f(x)的含義是有區(qū)別的 , 前者表示自變量x 和因變量 y 之間的對應法則 , 而后者表示與自變量 x 對應的函數(shù)值 . 但為了敘述方便 , 習慣上常用記號 “ f

16、(x), x D”或“ y=f(x), x D”來表示定義在 D 上的函數(shù) , 這時應理解為由它所確定的函數(shù) f .函數(shù)符號 : 函數(shù) y f(x)中表示對應關系的記號 f 也可改用其它字母 , 例如“F”, “ ”等 . 此時函數(shù)就記作 y (x), y F(x).函數(shù)的兩要素 :函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射 , 其值域總在 R 內 , 因此構成函數(shù)的要素是定義域 D f 及對應法則 f . 如果兩個函數(shù)的定義域相同 , 對應法則也相同 , 那么這兩個函數(shù)就是相同的 , 否則就是不同的 .函數(shù)的定義域 :函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定: 一種是對有實際背景的函數(shù) , 根據實際背景中變量

17、的實際意義確定 .求定義域舉例 :1x2 4 的定義域 .求函數(shù) yx且 x2要使函數(shù)有意義 , 必須 x 0,40.解不等式得 | x | 2.所以函數(shù)的定義域為 D x | | x |2, 或D(, 2 2,).單值函數(shù)與多值函數(shù) :在函數(shù)的定義中，對每個 xD, 對應的函數(shù)值 y 總是唯一的 , 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù) . 如果給定一個對應法則 ,按這個法則 , 對每個 x D, 總有確定的 y 值與之對應 , 但這個 y 不總是唯一的 ,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù) .例如 , 設變量 x 和 y 之間的對應法則由方程x2 y2 r 2 給出 . 顯然 , 對每個 x r,r，

18、由方程 x2 y2r2,可確定出對應的 y 值 , 當 xr 或 xr 時, 對應 y 0 一個值 ; 當x 取 ( r, r)內任一個值時 , 對應的 y 有兩個值 . 所以這方程確定了一個多值函數(shù).對于多值函數(shù) , 往往只要附加一些條件 , 就可以將它化為單值函數(shù) , 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支 . 例如 , 在由方程 x2 y2 r2 給出的對應法則中 , 附加“ y 0”的條件 , 即以“ x2 y2 r 2 且 y 0”作為對應法則 , 就可得到一5 / 8個單值分支22;附加“”的條件, 即以“ x2y2r2且 y 0”作為y y1 ( x) rxy 0對應法則 ,就

19、可得到另一個單值分支y y2 (x)r 2x2 .表示函數(shù)的主要方法有三種 : 表格法、圖形法、解析法 (公式法 ), 這在中學里大家已經熟悉 . 其中 , 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念 , 即坐標平面上的點集P(x, y)|y f(x), xD稱為函數(shù) y f(x), xD 的圖形 . 圖中的 R f 表示函數(shù) yf(x)的值域 .函數(shù)的例子 :例. 函數(shù)xx0y|x|xx0 .稱為絕對值函數(shù) . 其定義域為 D ( ,), 值域為 R f0, ).1x0例. 函數(shù) y sgnx0 x0 .1 x0稱為符號函數(shù) . 其定義域為 D (,), 值域為 R f 1, 0, 1.例設 x

20、為任上實數(shù) . 不超過 x 的最大整數(shù)稱為 x 的整數(shù)部分 , 記作 x .函數(shù)y x 稱為取整函數(shù) . 其定義域為 D (,), 值域為 R f Z .50, 2 1, 3, 11, 3.54.7分段函數(shù) :在自變量的不同變化范圍中 , 對應法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù) .例。 函數(shù) y2x0x 1.1xx1這是一個分段函數(shù) , 其定義域為 D 0, 1 (0, ) 0, ).當 0 x 1 時 ,y2x ;當 x>1 時 , y 1 x.11; f (1) 2 1 2 ; f(3) 1 3 4.例如 f ( ) 222 22. 函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)的有界性設函數(shù)f(x)

21、的定義域為D, 數(shù)集 XD. 如果存在數(shù)K1, 使對任一xX, 有f(x) K1, 則稱函數(shù) f(x)在 X 上有上界 , 而稱 K 1 為函數(shù) f(x)在 X 上的一個上界 . 圖形特點是 y f(x)的圖形在直線 y K1 的下方 .如果存在數(shù) K2, 使對任一 x X, 有 f(x)K2, 則稱函數(shù) f(x)在 X 上有下界 , 而稱 K2 為函數(shù) f(x)在 X 上的一個下界 . 圖形特點是 , 函數(shù) y f(x)的圖形在直線 y K2 的上方 .6 / 8如果存在正數(shù) M, 使對任一 xX, 有 | f(x) | M, 則稱函數(shù) f(x)在 X 上有界 ; 如果這樣的 M 不存在 ,

22、 則稱函數(shù) f(x)在 X 上無界 . 圖形特點是 , 函數(shù) y f(x)的圖形在直線 yM 和 yM 的之間 .函數(shù) f(x)無界 , 就是說對任何 M, 總存在 x1X, 使| f(x) | > M.例如(1)f(x) sin x 在(,)上是有界的 : |sin x| 1.(2)函數(shù) f (x) 1 x上界 .在開區(qū)間 (0, 1)內是無上界的 . 或者說它在 (0, 1)內有下界 , 無這是因為 , 對于任一 M>1, 總有 x1 0 x111,使:Mf (x1)1M ,x1所以函數(shù)無上界 .函數(shù) f (x)1 在(1, 2)內是有界的 .x(2)函數(shù)的單調性區(qū)間如果對于區(qū)

23、間上任意兩點 1及 x2設函數(shù) yf(x)的定義域為 D,I D.Ix,當 x1<x2 時, 恒有f(x )< f(x ),12則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上是單調增加的 .當2時, 恒有如果對于區(qū)間I上任意兩點 1及 x2,1xx <xf(x1 )> f(x2),則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 I 上是單調減少的 .單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù) .函數(shù)單調性舉例 :函數(shù) yx2 在區(qū)間 (, 0上是單調增加的 ,在區(qū)間 0,)上是單調減少的 ,在（,）上不是單調的 .(3)函數(shù)的奇偶性設函數(shù) f(x)的定義域 D 關于原點對稱 (即若 x D, 則 x D).

24、如果對于任一 x D, 有f( x)f(x),則稱 f(x)為偶函數(shù) .如果對于任一 xD, 有f( x)f(x),則稱 f(x)為奇函數(shù) .偶函數(shù)的圖形關于 y 軸對稱 , 奇函數(shù)的圖形關于原點對稱 , 奇偶函數(shù)舉例 :y x2, y cos x 都是偶函數(shù) . y x3, y sin x 都是奇函數(shù) , y sin x cos x 是非奇非偶函數(shù) .(4)函數(shù)的周期性設函數(shù)f(x) 的定義域為D. 如果存在一個正數(shù)l , 使得對于任一xD 有(x l)D, 且f(x l)f(x)7 / 8則稱 f(x)為周期函數(shù) , l 稱為 f(x)的周期 .周期函數(shù)的圖形特點 : 在函數(shù)的定義域內 , 每個長度為l 的區(qū)間上 , 函數(shù)的圖形有相同的形狀 .3反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù) :設函數(shù) f : D f(D)是單射 , 則它存在逆映射 f 1: f(D) D, 稱此映射 f1 為函數(shù)f 的反函數(shù) .按此定義 , 對每個 y f(D), 有唯一的 x D, 使得 f(x) y, 于是有f1(y) x.1 的對應法則是完全由函數(shù) f 的對應法則所確定的 .這就是說 ,反函數(shù) f一般地 , y f(x), xD 的反函數(shù)記成 y f 1(x), x f(D).若 f 是定義在 D 上的單調函數(shù) , 則 f : D f(D)是單射 , 于是 f 的反函數(shù) f 1 必定存在 , 而且容易證明 f