清華智能控制課件2-6 完

1、Zhidong DENGDepartment of Computer ScienceTsinghua University鄧志東鄧志東 清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系清華大學(xué)計(jì)算機(jī)系建議參考如下文獻(xiàn)：建議參考如下文獻(xiàn)：1 X. J. Ma, et al., Analysis and Design of Fuzzy Controller and Fuzzy Observer, IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol.6, no.1, 1998, pp.41-51. 2 X. J. Ma, et al., Output Tracking and Regulation of Nonli

2、near System Based on Takagi-Sugeno Fuzzy Model, IEEE Transaction on systems,Man and Cybernetics-Part B: Cybernetics, vol.30, no.1, 2000, pp.77-89.3 X. J. Ma, et al., Analysis and Design of Fuzzy Reduced Dimensional Observer and Fuzzy Functional Observer, Fuzzy Sets and Systems, vol.120, 2001, pp.35-

3、63.2.7.5 2.7.5 基于模糊狀態(tài)方程模型的系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)基于模糊狀態(tài)方程模型的系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)對(duì)離散被控對(duì)象對(duì)離散被控對(duì)象 :若 是 and and 是 ，則Mi1)(kzgigM kz1iR(1)( )( )( )( )( )iiiikFkGkkCkDkxxuyxuil1 2, )()()()(21kzkzkzkzg )()()()(u21kukukukm )()()()(y21kykykykr其中，其中，z是可測變量，是狀態(tài)是可測變量，是狀態(tài)x的函數(shù)。的函數(shù)。 )()()()(x21kxkxkxknigiiMMM 1定義定義上述模糊模型可以改寫為：上述模糊模型可以改寫為： iR:

4、若 是 ，則Mi(1)( )( )( )( )( )iiiikFkGkkCkDkxxuyxu若設(shè)若設(shè) 表示表示z屬于屬于 的隸屬函數(shù)，若直積運(yùn)算采用求積的隸屬函數(shù)，若直積運(yùn)算采用求積法，則法，則表示表示z屬于屬于 的隸屬函數(shù)，同時(shí)它也表示第的隸屬函數(shù)，同時(shí)它也表示第i條規(guī)則的適用條規(guī)則的適用度。度。)(zMijMjigjijizMzM1)()(Mi( )z k若模糊化采用單點(diǎn)模糊集合，清晰化采用加權(quán)平均法，則可若模糊化采用單點(diǎn)模糊集合，清晰化采用加權(quán)平均法，則可得整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為得整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )(u)(x )(u)(x)()()(u)(x)()1(x111kGkFkGkFzzMkGk

5、FzMkiiliiljjliiii )(u)(x )(u)(x )()()(u)(x )()(y111kDkCkDkCzzMkDkCzMkiiliiljjiilii ljjiizMzMz1)()()( liiiFzF1)( liiiGzG1)( 0)( zMi1( )0liiMz1)(0 zi 1)(1 liiz )(zi 第第i條規(guī)則的歸一化后的適用度條規(guī)則的歸一化后的適用度 物理解釋：物理解釋：將整個(gè)將整個(gè)n維狀態(tài)空間分為維狀態(tài)空間分為l個(gè)模糊子空間集合個(gè)模糊子空間集合 ( )( )。對(duì)于每個(gè)模糊子空間，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于每個(gè)模糊子空間，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性可用一個(gè)局部線性狀態(tài)方程來描述。

6、整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性則可用一個(gè)局部線性狀態(tài)方程來描述。整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性則是這些局部線性模型的加權(quán)和。換句話說，該模糊建模方法是這些局部線性模型的加權(quán)和。換句話說，該模糊建模方法的本質(zhì)在于：的本質(zhì)在于：一個(gè)整體非線性的動(dòng)力學(xué)模型可以看成是許多一個(gè)整體非線性的動(dòng)力學(xué)模型可以看成是許多個(gè)局部線性模型的模糊逼近。個(gè)局部線性模型的模糊逼近。 Miil1 2, 狀態(tài)方程形式上是線性模型，而實(shí)質(zhì)上是非線性模型！狀態(tài)方程形式上是線性模型，而實(shí)質(zhì)上是非線性模型！ )(u)x()(x)x()(y)(u)x()(x)x()1(xkDkCkkGkFk常規(guī)的線性模型可看成為上述模糊模型的一個(gè)特例常規(guī)的線性模型可看成為上

7、述模糊模型的一個(gè)特例( )( )。 l 1對(duì)連續(xù)被控對(duì)象對(duì)連續(xù)被控對(duì)象 iR: 若若 是是 則則Mi )(u)(x)(y)(u)(x)(xtDtCttBtAtiiiiil1 2, 整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 )(u)(x)(y)(u)(x)(xtDtCttBtAt( )z t ljjiizMzMz1)()()( liiiAzA1)( liiiBzB1)( liiiCzC1)( liiiDzD1)( njijizMzM1)()(0)( zMi1( )0ljjMz1)(0 zi 1)(1 liiz 上面所介紹的方法將整個(gè)系統(tǒng)的控制取為各個(gè)子系統(tǒng)上面所介紹的方法將整個(gè)系統(tǒng)的控制取為各個(gè)

8、子系統(tǒng)局部反饋控制的加權(quán)和局部反饋控制的加權(quán)和, 即即 ， 。ux( )( )tL tLLiiil( )x1 穩(wěn)定性分析需要尋找一個(gè)共同的正定矩陣穩(wěn)定性分析需要尋找一個(gè)共同的正定矩陣P。這常。這常常是一件比較困難的工作。常是一件比較困難的工作。 下面介紹另外一種模糊控制器設(shè)計(jì)方法，其全局控制下面介紹另外一種模糊控制器設(shè)計(jì)方法，其全局控制采用起主導(dǎo)作用的子系統(tǒng)的局部控制，所謂主導(dǎo)作用的采用起主導(dǎo)作用的子系統(tǒng)的局部控制，所謂主導(dǎo)作用的子系統(tǒng)是指其隸屬函數(shù)取最大值。子系統(tǒng)是指其隸屬函數(shù)取最大值。 對(duì)于對(duì)于離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： ：若：若 是是 ，則，則icR)(kxiM)(x)(ukLki il1 2

9、, 取整個(gè)系統(tǒng)的控制為取整個(gè)系統(tǒng)的控制為)(x)(ukLkk kiiil( )max( ), xx 1 2 將該控制律代入被控對(duì)象的模糊模型，可得將該控制律代入被控對(duì)象的模糊模型，可得xxxxxxxxx()( )( )() ( )( )( ) ( )( )() ( )kFkGLkFGLkFG LkFG Lkkkiiiliikiliiikil1111 yxux( )( )( )() ( )kCkDkCDLkk其中其中 是起主導(dǎo)作用子系統(tǒng)的反饋控制增益陣，即是起主導(dǎo)作用子系統(tǒng)的反饋控制增益陣，即kL系統(tǒng)穩(wěn)定性檢驗(yàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng)設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng) 是局部能控的，則一定可以設(shè)是局部能控

10、的，則一定可以設(shè)計(jì)出局部反饋控制計(jì)出局部反饋控制 ，以使得，以使得 的特征根均在的特征根均在單位圓內(nèi)，即一定存在正定對(duì)稱陣單位圓內(nèi)，即一定存在正定對(duì)稱陣 和和 ，滿足如下的，滿足如下的Lyapunov方程方程(,)FGii LiHFG LiiiiPiQiH PHPQiiiiiT 取取PPiil1并令并令QFG LP FG LPkiiikiik()()T定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值，則可給出如下穩(wěn)定性定理：的最大特征值，則可給出如下穩(wěn)定性定理：Qki對(duì)于上面所描述的離散模糊系統(tǒng)，如果對(duì)于對(duì)于上面所描述的離散模糊系統(tǒng)，如果對(duì)于 均有均有kl1 2, ijkijlil( )( )x

11、x110即即ijkijj klii klkkk( )( )( )xxx 112則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。 可以看出，為了盡可能比較容易地滿足上述定理的條可以看出，為了盡可能比較容易地滿足上述定理的條件，當(dāng)?shù)诩?，?dāng)?shù)趉條規(guī)則起主要作用（即第條規(guī)則起主要作用（即第k個(gè)模糊子系統(tǒng)為個(gè)模糊子系統(tǒng)為主導(dǎo)子系統(tǒng)）時(shí)，其它規(guī)則的作用應(yīng)盡可能地小。主導(dǎo)子系統(tǒng)）時(shí)，其它規(guī)則的作用應(yīng)盡可能地小。對(duì)于對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，可采用類似方法來設(shè)計(jì)模糊控制器，即，可采用類似方法來設(shè)計(jì)模糊控制器，即：若：若 是是 ，則，則icR)(txiM)(x)(utLti il1 2, 取整個(gè)系統(tǒng)

12、的控制為取整個(gè)系統(tǒng)的控制為)(x)(utLtk 其中是起主導(dǎo)作用子系統(tǒng)的反饋控制律，即其中是起主導(dǎo)作用子系統(tǒng)的反饋控制律，即kiiil( )max( ), xx 1 2 將該控制律代入被控對(duì)象的模糊模型，可得將該控制律代入被控對(duì)象的模糊模型，可得( )( )( )() ( )( )( ) ( )( )() ( )xxxxxxxxxtAtBLtABLtAB LtAB Ltkkiiiliikiliiikil111 yxux( )( )( )() ( )tCtDtCDLtk設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng)設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng) 是局部能控的，則一定可以設(shè)是局部能控的，則一定可以設(shè)計(jì)出局部反饋控制計(jì)出局部反饋控制 ，以使得

13、以使得 是穩(wěn)定的，即是穩(wěn)定的，即一定存在正定對(duì)稱陣一定存在正定對(duì)稱陣 和和 ，滿足如下的，滿足如下的Lyapunov方程方程:(,)ABii LiHABLiiiiPiQiH PPHQiiiiiT 取取PPiil1并令并令)()(TkiikiikiLBAPPLBAQ 定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值。的最大特征值。Qki對(duì)于上面所描述的連續(xù)模糊系統(tǒng)，如果對(duì)于對(duì)于上面所描述的連續(xù)模糊系統(tǒng)，如果對(duì)于 均有均有kl1 2, ikiil( )x10即即ikiii klkkk( )( )xx 1則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這時(shí)可給出如下的穩(wěn)定性定理：這時(shí)可給出如下

14、的穩(wěn)定性定理： 模糊觀測器的設(shè)計(jì)方法之一，是將整個(gè)系統(tǒng)的模糊模糊觀測器的設(shè)計(jì)方法之一，是將整個(gè)系統(tǒng)的模糊觀測器增益矩陣取為各局部子系統(tǒng)的增益矩陣的加權(quán)觀測器增益矩陣取為各局部子系統(tǒng)的增益矩陣的加權(quán)和。但與上述模糊控制器設(shè)計(jì)方法類似，其穩(wěn)定性分和。但與上述模糊控制器設(shè)計(jì)方法類似，其穩(wěn)定性分析需要尋找一個(gè)共同的正定矩陣析需要尋找一個(gè)共同的正定矩陣P。 下面介紹另外一種模糊觀測器的設(shè)計(jì)方法，整個(gè)系下面介紹另外一種模糊觀測器的設(shè)計(jì)方法，整個(gè)系統(tǒng)的觀測器增益矩陣采用起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的統(tǒng)的觀測器增益矩陣采用起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的增益矩陣。增益矩陣。 以以離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)為例，利用模糊模型表示即為為

15、例，利用模糊模型表示即為 ：若：若 是是 ，則，則ioR)(kxiM)(y )(y)(u)(x )1(x kkKkGkFkiii il1 2, 取整個(gè)系統(tǒng)的模糊觀測器方程為取整個(gè)系統(tǒng)的模糊觀測器方程為)(y )(y)(u)(x )1(x kkKkGkFkk kiiil( )max( ), xx 1 2 容易求得狀態(tài)估計(jì)的誤差方程為容易求得狀態(tài)估計(jì)的誤差方程為()() ( )( )( )( )( )() ( )xxxxxxxkFK CkFKCkFK Ckkiilikiiliiiliki1111 其中其中 是起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即是起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即kK

16、設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng)設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng) 是局部能觀的，則一定可設(shè)計(jì)是局部能觀的，則一定可設(shè)計(jì)出局部的觀測器增益矩陣出局部的觀測器增益矩陣 ，以使得，以使得 的特征的特征根均在單位圓內(nèi)，即一定存在正定對(duì)稱陣根均在單位圓內(nèi)，即一定存在正定對(duì)稱陣 和和 ，滿足，滿足如下的如下的Lyapunov方程方程(,)FCii SFK GiiiiPiQiS PSPQiiiiiT 取取PPiil1并令并令QFK CP FK CPkiikiiki()()T定義定義kikiQmax()為為 的最大特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：的最大特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：QkiiK對(duì)于上面所描述的離散模糊觀測器系統(tǒng)，如果對(duì)于

17、對(duì)于上面所描述的離散模糊觀測器系統(tǒng)，如果對(duì)于 ，均有，均有kl1 2, ijkijlil( )( )xx110即即ijkijj klii klkkk( )( )( )xxx 112則整個(gè)模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個(gè)模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。對(duì)于對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，可采用類似的方法來設(shè)計(jì)模糊觀測器，即，可采用類似的方法來設(shè)計(jì)模糊觀測器，即：若：若 是是 ，則，則ioR)(txiM)(y )(y)(u)(x )(x ttKtGtFtiii il1 2, 取整個(gè)系統(tǒng)的觀測器方程為取整個(gè)系統(tǒng)的觀測器方程為( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )xxuyyxuyytA

18、tBtKttAtBtKttiiliiiliiilkk111 其中其中 是起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即是起主導(dǎo)作用的局部子系統(tǒng)的觀測器增益矩陣，即Kkkiiil( )max( ), xx 1 2 狀態(tài)估計(jì)的誤差方程為狀態(tài)估計(jì)的誤差方程為( )() ( )( )() ( )xxxxtAK CkAK Ctkiiliki1設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng)設(shè)每個(gè)模糊子系統(tǒng) 是局部能觀的，則一定可設(shè)計(jì)是局部能觀的，則一定可設(shè)計(jì)出局部的觀測器增益矩陣出局部的觀測器增益矩陣 ，以使得，以使得 的特征的特征根均在左半平面，即一定存在正定對(duì)稱陣根均在左半平面，即一定存在正定對(duì)稱陣 和和 ，滿足，滿足如下的如下的Ly

19、apunov方程方程(,)ACii KiPiQiSAK CiiiiS PPSQiiiiiT 取取PPiil1并令并令)()(TikiikikiCKAPPCKAQ定義定義kikiQmax()為為 的最大的特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：的最大的特征值，則可給出如下的穩(wěn)定性定理：kiQ對(duì)于上面所描述的連續(xù)模糊觀測器系統(tǒng)，如果對(duì)于對(duì)于上面所描述的連續(xù)模糊觀測器系統(tǒng)，如果對(duì)于 均有均有il1 2, ikiil( )x10即即ikiii klkkk( )( )xx 1則整個(gè)模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。則整個(gè)模糊觀測器系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。 下面舉兩個(gè)例子來說明前面介紹的第下面舉兩個(gè)例子來說明前面介

20、紹的第種模糊控制器種模糊控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法【例例2.15 Very Important!pp.104-107】。例例 設(shè)已知模糊被控對(duì)象為設(shè)已知模糊被控對(duì)象為：若：若 是是N(負(fù)負(fù))，則，則y( ) tRp1 xyuxx111CBA：若：若 是是P(正正)，則，則y( ) t2pR xyuxx222CBA其中其中 391. 2484. 2101A 101B 0227. 11 C 722. 4425. 415 . 02A 102B 0025. 22 C其歸一化隸屬函數(shù)分別為其歸一化隸屬函數(shù)分別為)5 . 0(2N1111)()( yeyy )5 . 0(2P211)()( yeyy 注意在該

21、例中的模糊分割是對(duì)輸出空間而非前面介紹注意在該例中的模糊分割是對(duì)輸出空間而非前面介紹的狀態(tài)空間。這一點(diǎn)不影響前述設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用。的狀態(tài)空間。這一點(diǎn)不影響前述設(shè)計(jì)方法的應(yīng)用。 設(shè)選擇兩個(gè)子系統(tǒng)的期望閉環(huán)特征方程為設(shè)選擇兩個(gè)子系統(tǒng)的期望閉環(huán)特征方程為ss27 07250.則可分別求得各自的狀態(tài)反饋控制增益向量為則可分別求得各自的狀態(tài)反饋控制增益向量為461.9 ,516.221 L848.2 ,36.242 L求解如下的求解如下的Lyapunov方程方程iiiiiQHPPH T其中其中 ， 。取。取 (單位陣單位陣)，則，則可得可得iiiiLBAH 2 , 1 iQQI12 0736. 00200

22、. 00200. 09802. 11P 0743. 00621. 00621. 05767. 22P取取 ，計(jì)算，計(jì)算21PPP )()(TkiikiikiLBAPPLBAQ )(maxkikiQ 其中其中 及及 ，最后算得，最后算得2 , 1 i2 , 1k111 8911 .1309. 0220963. 0212032. 012檢驗(yàn)定理?xiàng)l件以判斷穩(wěn)定性，當(dāng)檢驗(yàn)定理?xiàng)l件以判斷穩(wěn)定性，當(dāng) 時(shí)時(shí)k 112()0 20321891121.成立。當(dāng)成立。當(dāng) 時(shí)時(shí)k 221()0 09630 130912.成立。成立。因而滿足定理?xiàng)l件，說明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。因而滿足定理?xiàng)l件，說明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是

23、漸近穩(wěn)定的。 為了進(jìn)行比較為了進(jìn)行比較，圖，圖2.37 (p.105) 給出了只用狀態(tài)反饋給出了只用狀態(tài)反饋增益增益 時(shí)時(shí)的系統(tǒng)的響應(yīng)。的系統(tǒng)的響應(yīng)。 通過比較可以看出，模糊控制器設(shè)計(jì)方法給出了較好通過比較可以看出，模糊控制器設(shè)計(jì)方法給出了較好的結(jié)果。的結(jié)果。 該例中設(shè)兩個(gè)狀態(tài)均可測，因而不需要觀測器。圖該例中設(shè)兩個(gè)狀態(tài)均可測，因而不需要觀測器。圖2.36 (p.105)給出了當(dāng)給出了當(dāng)x(0) = 1.0 1.0T時(shí)采用模糊切換控時(shí)采用模糊切換控制器的制器的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果。2L 將將n維非線性狀態(tài)空間模糊分割為維非線性狀態(tài)空間模糊分割為l個(gè)線性子空間。個(gè)線性子空間。對(duì)每個(gè)線性子空間，分別

24、設(shè)計(jì)一個(gè)基于對(duì)每個(gè)線性子空間，分別設(shè)計(jì)一個(gè)基于特征建模的黃特征建模的黃金分割控制器金分割控制器，然后將整個(gè)非線性系統(tǒng)的控制取為各，然后將整個(gè)非線性系統(tǒng)的控制取為各個(gè)線性子系統(tǒng)局部黃金分割控制的加權(quán)和個(gè)線性子系統(tǒng)局部黃金分割控制的加權(quán)和, 即即1 1、基本思想：、基本思想： 1( )likikiux u補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)11101110( )mmmmnnnb sbsbsbG ssasa sa 對(duì)如下的線性定常高階被控系統(tǒng)：對(duì)如下的線性定常高階被控系統(tǒng)：相應(yīng)的黃金分割控制器設(shè)計(jì)為：相應(yīng)的黃金分割控制器設(shè)計(jì)為：可以利用一個(gè)二階的慢時(shí)變差分方程來近似，即可以利用一

25、個(gè)二階的慢時(shí)變差分方程來近似，即2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 11,2,10,kkkkkkkyfyfygu1 1,22,10,kkkkkkkL fyL fyug 補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì) 其中其中則則令令2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 11,2,0,TkkkkTkkkkyyuffg12,0.382,0.618,kkdkyyyLL 為一個(gè)小正數(shù)為一個(gè)小正數(shù)dy 為期望輸出，且為期望輸出，且1,2,0,kkkffg 分別分別1,2,0,kkkffg 為為 的遞推最小二乘估計(jì)。的遞推最小二乘估計(jì)。1Tkkky 補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)補(bǔ)充：模糊黃

26、金分割控制器設(shè)計(jì)（避免分母為（避免分母為0），），其中其中2 2、特征建模方法：、特征建模方法： 1111111111()()kkkTkkkTkkkkkkTkkkkPKPKyPIKP 遞推最小二乘法：遞推最小二乘法：(0)P為給定的正定對(duì)角矩陣。為給定的正定對(duì)角矩陣。 事實(shí)上，我們也可利用遞推投影法進(jìn)行估計(jì)。事實(shí)上，我們也可利用遞推投影法進(jìn)行估計(jì)。補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì) 利用利用l 條條T-S模糊規(guī)則，被控對(duì)象的模糊特征模型可以模糊規(guī)則，被控對(duì)象的模糊特征模型可以表示為：表示為：3 3、模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)：、模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)： 補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì)補(bǔ)充：模糊黃金分割控制器設(shè)計(jì) : 若若 是是 AND AND 是是 ，則，則Mi1)(kzgigM kz1iR11,2,10,iiiikkkkkkkyfyfygu其中，其中，zi是是可測變量可測變量，