2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題19函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象教學(xué)案理

1、專題 19 函數(shù) y = Asin (3 x +)的圖象 1. 了解函數(shù)y = Asin( 3 x+o )的物理意義；能畫出 y = Asin( 3 x+$ )的圖象，了解參 數(shù)A,3,0對函數(shù)圖象變化的影響； 2. 了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際 問題. 1.五點法”作函數(shù) y = Asin( 3 x + 0 )( A0, 3 0)的簡圖 “五點法”作圖的五點是在一個周期內(nèi)的最高點、最低點及與 x軸相交的三個點，作圖 時的一般步驟為： (1) 定點：如下表所示 X -0 3 n 2 - 0 n 0 3 3n 0 2 n 0 3 3 3 3 x +

2、0 0 n 2 n 3n 2 2n y= Asin( 3 x + 0 ) 0 A 0 A 0 (2) 作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個關(guān)鍵點， 用平滑的曲線順次連接得到 y = Asin( 3 x+ 0 ) 在一個周期內(nèi)的圖象. 擴展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴展可得 y= Asin( 3 x+ 0 )在 R 上的圖象. 2 .函數(shù)y = sin x的圖象經(jīng)變換得到 y=Asin( 3 x+ 0 )的圖象的兩種途徑 3 .函數(shù)y = Asin( 3 x+ 0 )的物理意義 當(dāng)函數(shù)y= Asin( 3 x+0 )( A0, 3 0), x 0，+)表示一個振動量時， A叫做振幅,考情解胸出尸門洶圖象

3、*年 得剰尸咖14+軻的圖象+解 2 描蚩標(biāo)癥為廉半的itfr 亍 得爭j燉1 3片珂世I圖養(yǎng)一阪 熱蚩標(biāo)血為廂皋的/俯 拾 -2 - 2 n 1 T= 叫做周期，f =叫做頻率，3 x + 0叫做相位，0叫做初相. 3 I 高頻考點一 函數(shù) y = Asin( 3 x + 0 )的圖象及變換 例 1、已知函數(shù)y= 2sin 2x +專. (1) 求它的振幅、周期、初相； (2) 用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象； (3) 說明y = 2sin 2x +專 的圖象可由y= sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到. 解 (1) y = 2sin j2x + 專 的振幅 A= 2, 周期T=N

4、= n，初相 0 =專. n 令 X= 2x + y，貝y y= 2sin 2x + 亍=2sinX 列表如下: x n n n 7n 5 n 6 乜 3 12 6 X 0 n 2 n 3n 2 2 n y = sin X 0 1 0 -1 0 f n、 y = 2sin 2x 0 2 0 -2 0 -3 - 方法一把$=沁 的團象上所有的點向左平穆針單位長度得到血G十3的圖象j 再把尸還+另的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的績縱坐標(biāo)不變），得到尸血的圖象; 最后把卩二蚯（加+3上所有點的縱坐標(biāo)伸長到應(yīng)來的2倍儼坐標(biāo)不變），即可得到尸爲(wèi)（2x + D的圉 方法二 將y = sin x的圖象上所

5、有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的 1 倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)= sin 2 x的圖象； n 再將y= sin 2 x的圖象向左平移 個單位長度，得到 y= sin 圖象; 2x + 3的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍（橫坐標(biāo)不變），即得到y(tǒng) 【感悟提升】（1）五點法作簡圖：用“五點法”作 y= Asin（ 3 x+ $ ）的簡圖，主要是通過 n 3 變量代換，設(shè) Z = 3 X+ o,由Z取 0, , n , 2 n , 2 n來求出相應(yīng)的 X,通過列表，計算 得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象. （2）圖象變換：由函數(shù) y= sin x的圖象通過變換得到 y = Asin（ 3 x+ $ ）的

6、圖象，有兩種主 要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”. n 一 一 1 一 【變式探究】（1）把函數(shù)y = sin（ x +石）圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 空（縱坐標(biāo)不 n 變），再將圖象向右平移 個單位長度，那么所得圖象的一條對稱軸方程為 （ ） （2）設(shè)函數(shù)f（x） = cos 3 x（ 3 0），將y = f（x）的圖象向右平移 專個單位長度后，所得的圖 象與原圖象重合，則 3的最小值等于（ ） A-B. 3C. 6D. 9 再將y=sin =2si n 2x + 3 的圖象. C. x= 8 冗冗-4 - 答案(1)A (2)C-5 - 解析。)將$=血十自團象上各點的橫坐標(biāo)

7、縮矩到原來的*縱坐標(biāo)不變)，得到圈數(shù)j=sm(2x+ S 將團象向右平移笳單位長度，得到函數(shù)尸血陸-沖二鈕-知 故廠-擬其團象的一條對稱軸 由題意可知b M7=5(/IN*), 加尋= (nEN*), 二也=血000當(dāng)H=1時，國取得最小值広 高頻考點二 由圖象確定y= Asin( w x+ 0 )的解析式 )函數(shù)y= Asin( w x+ 0 )的部分圖象如圖所示，則 n n =2，所以0 =- 6，所以函數(shù)的解析式為 y= 2sin 答案 A 【感悟提升】確定 y = Asin( w x + 0 ) + b(A 0, w 0)的步驟和方法: (1)求A, b,確定函數(shù)的最大值 M和最小值m

8、 (2) 求w ,確定函數(shù)的最小正周期 T,則可得w =年. (3) 求0 ,常用的方法有： 代入法：把圖象上的一個已知點代入 (此時A, w , b已知)或代入圖象與直線 y = b的交 點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上 ) 特殊點法：確定 0值時，往往以尋找“最值點”為突破口.具體如下：例 2、(2016 全國n卷 解析 由題圖可知，T= 2 恃一n，所以w = 2,由五點作圖法可知 7t 2X-3 + o 2x才，故選 A. 則A= M m T. A. y = 2sin B. y = 2sin D.y = 2si n -6 - 3n n n 【變式探究】函數(shù)f (x)

9、= 2sin( 3 x+ $ )( 30, - 2V $V2)的部分圖象如圖所示， I 2 7 爪常一 O / 5ir 12 ! x 1 1 1 1 / 2 1 / 答案 n 3 解析 T 11 5 -2= 12n 12n， 二 T= n . 2n 又 T= ( 3 0), 3 .2n =n , 3 I 3 = 2. 由五點作圖法可知當(dāng) 5 n 即 2X i2n + $ =, .$= 高頻考點三 三角函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用 例 3、某實驗室一天的溫度(單位：C )隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t) 一 n n =10 . 3COS12 sin 12 , t 0 , 24). “最

10、大值點”(即圖象的“峰點”)時 7t “最小值點”(即圖象的“谷點”)時 時, -7 - (1) 求實驗室這一天的最大溫差； (2) 若要求實驗室溫度不高于 11 C,則在哪段時間實驗室需要降溫?-8 - 解 因為 f(t) = 10-2(cosnt + fsin nt) 又 owt24,所以 n W君七+扌11 時實驗室需要降溫， 由得f(t) = 10-2sin診+寸!， 故有 10-2sin i$t + -3 11,即 sin it +專 -g 7 n n n 11 n 又 OW t24,因此 7t + ，即 10t0)圖象上最高點的縱坐標(biāo)為 2, (1)求a和3的值; 求函數(shù)f (x)

11、在0 , n 上的單調(diào)遞減區(qū)間. 解 f(x) = 4cos 3 x sin 2in 3 x + 1cos 3 x + a 2 2 =2 3sin 3 xcos 3 x+ 2cos23 x 1 + 1 + a =3sin 2 3 x+ cos 2 3 x+ 1 + a =2sin 23 乂+才 + 1 + a.且圖象上相鄰兩個最高點的距離為 71 . =4cos 3 x 例 4、已知函數(shù)f(x) = 4cos 3 x sin -10 - 當(dāng) sin 23x + -6 = 1 時，f(x)取得最大值 2 +1 + a= 3+ a. 又f (x)最高點的縱坐標(biāo)為 2, 3 + a= 2,即卩a=-

12、 1. 又f (x)圖象上相鄰兩個最高點的距離為 n , f(x)的最小正周期為 T= n , -11 - 2n T = 2, 3 = 1. 由得兀兀)二2siii2x+石) JT TC 3 兀 由亍+2A7T W2x+石 W-+2t兀,if Zj 7T 少兀 令Q0,得&0谷 jr 9TT 二函數(shù)用)在P兀上的單調(diào)遞;咸區(qū)間為歹牛 【方法規(guī)律】函數(shù) y = Asin( 3 x + $ )( A 0, 3 0)的單調(diào)區(qū)間和對稱性的確定，基本思 想是把3 x+ $看做一個整體.在單調(diào)性應(yīng)用方面，比較大小是一類常見的題目，依據(jù)是同一 區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性對稱性是三角函數(shù)圖象的一個重要性質(zhì)，因

13、此要抓住其軸對稱、中心對 稱的本質(zhì)，同時還要會綜合利用這些性質(zhì)解決問題，解題時可利用數(shù)形結(jié)合思想 【變式探究】 已知函數(shù)f (x) = 2羽sin ； + -4 cos$+4 sin( x+ n ). (1)求f (x)的最小正周期； 若將f(x)的圖象向右平移n個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間 6 0 , n 上的最大值和最小值 ” 廠 IX n、 ix n、 解 f (x) = 2 3sin |?+ cos 12+ sin( x + n ) 3cos x+ sin x= 2sin ix +亍 是 T= 2-= 2n . 1 (2)由已知得 g(x) = fix-n

14、= 2sin ix+十, 7t n x 0 , n , x + 石 n 7 n 6，6 -12 - / sin g(x) = 2sin x +6 - 1, 2, 故函數(shù)g(x)在區(qū)間0 , n 上的最大值為 2,最小值為一 1. 【解析】由題意，為了得到函數(shù)y = sin(2x ) =sin2(x )，只需把函數(shù)y=sin2x 3 6 的圖像上所有點向右移 3T 個單位，故選 D. 6 JI 2. 2016 高考新課標(biāo) 2 理數(shù)】若將函數(shù) y = 2sin 2x的圖像向左平移 個單位長度，則 12 平移后圖象的對稱軸為( k 二 二 (B) xp E(k Z) k兀 兀 (C) x (k Z)

15、 2 12 k 二 二 (D) x (k Z) 2 12 【答案】B 【解析】由題意，將函數(shù) y=2si n2x的圖像向左平移 個單位得 12 J TE JI J y =2si n 2(x ) =2s in(2 x )，則平移后函數(shù)的對稱軸為 2x k：，k，Z，即 12 6 6 2 : k 二 x , k Z，故選 B. 6 21.【2016 年高考四川理數(shù)】 的圖象上所有的點() n 為了得到函數(shù)“sgx- n的圖象，只需把函數(shù)y“n2x n (A) 向左平行移動 個單位長度 n (B) 向右平行移動 個單位長度 n (C) 向左平行移動 個單位長度 6 【答案】D n (D) 向右平行移

16、動個單位長度 6 -13 - 【解析】因為y二sin 4x sin4 x I 3丿 I ，所以要得到函數(shù)y=sin 4x 的 12 . 33.【2016 年高考北京理數(shù)】 將函數(shù)y = sin(2x )圖象上的點 向左平移(s 0 ) 4 個單位長度得到點 P，若 P位于函數(shù)y =sin2x的圖象上，則( ) A.t =1，的最小值為 2 n B. t 6 T，的最小值為6 C. t = 1，的最小值為 2 n D. t 3 3 , s的最小值為- 2 3 【答案】A 【解析】由題意得，t = si n(2 n n 1 n 1 4-，當(dāng)s最小時，P所對應(yīng)的點為(石?)， 此時Smin二 4.【

17、2016 高考新課標(biāo) 3 理數(shù)】函數(shù)y=sin x-、3cosx的圖像可由函數(shù) y =si nx 、3cosx的圖像至少向右平移 個單位長度得到. 【答案】一 3 解析】因為 y = sin x+ /3 cosx = 2sin(x+ y = sin% *cos jc = 2sin(x= 2sin(x+j)-,所以數(shù)y = 的圖像可由數(shù) ji = sinx+5 85 的圖像至少向 2兀 右平移孑個單位長度得到. 【2015 高考山東，理 3】要得到函數(shù)y=sin 4x- 的圖象，只需要將函數(shù) y二sin 4x I 3丿 的圖象( ) n (A)向左平移 個單位 12 (C)向左平移一個單位 3

18、【答案】B (B)向右平移 個單位 12 n (D)向右平移一個單位 3 -14 - 圖象，只需將函數(shù) y二sin4x的圖象向右平移. 個單位.故選 B. 12 【2015 高考陜西，理 3】如圖，某港口一天 6 時到 18 時的水深變化曲線近似滿足函數(shù) y = 3si n（石x k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位： m）的最大值為（ ） A. 5 f（x）二 Asin（，x 亠）（門0, | ：卜：_n） 2 【解析】 由圖象知: ymin =2，因為 ymin =3 k，所以 -3, k=2，解得：k=5，所 以這段時間水深的最大值是 ymax = 3 k=3 5 = 8，故選 C. 【

19、2015 高考湖南，理 9】將函數(shù)f（x） =sin 2x的圖像向右平移（0 ： *）個單位后得 2 ,則（ ） 3 到函數(shù)g（x）的圖像，若對滿足f （N） g（x2）| =2的x1, x2，有旨x2 min 不妨 A. 12 【答【解B. D. 向右平移 JT 2 禺 2k 二, 2 JI 3， x1 一 x2 min C. 71 D. 4 個單位后, 得到 g(x)二sin(2x-2 J，又 | f(xJ-g(X2)|=2 2x2 -2 2m二，二 - x2 2 兀 伯 - (k _ m)二，又 3T 汀丁七，故選 D. .10 【2015 高考湖北，理 17】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)

20、【答案】C -15 - 在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表: Wx 2 0 n 2 n 3n 2 2 n x n 3 5 n 6 -16 - Asi nx +帥 0 5 0 (I)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置.，并直接寫出函數(shù) f(x)的解析 式； (n)將 y =f(x)圖象上所有點向左平行移動 二(二.0)個單位長度，得到 y=g(x)的圖象. 【答案】(I) f(x)=5si n(2 x ) ; (n)三 6 6 【解析】(I)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得 A =5, .=2, =-n.數(shù)據(jù)補全如下表: 6 cox +申 0 n 2 冗 3n 2 2 n n

21、n 7n 5 n 13 x n 12 3 12 6 12 Asi n(cox +q )0 5 0 -5 0 且函數(shù)表達式為 f(x) =5sin(2x -n). 6 (n)由I知 f (x) =5sin(2 x-n)，得 g(x) =5sin(2 x _n) 6 6 因為 y =sinx 的對稱中心為(kn,0) , Z . 令 2x kn,解得 芒-，Z . 6 2 12 由于函數(shù) y=g(x)的圖象關(guān)于點(丸，0)成中心對稱，令 心+_日, 12 2 12 12 解得-k-n, kZ .由二 0 可知，當(dāng) k=1 時，二取得最小值 n. 2 3 6 (2014 四川卷)為了得到函數(shù) y =

22、 sin (2 x+ 1)的圖像，只需把函數(shù) y = sin 2 x的圖像 上所有的點( ) 1 A. 向左平行移動個單位長度 I B. 向右平行移動 2 個單位長度 C. 向左平行移動 1 個單位長度 D. 向右平行移動 1 個單位長度 【答案】A 【解析】因為y = sin(2 x+ 1) = sin2 ix+ *，所以為得到函數(shù) y= sin(2 x + 1)的圖像，只 若 y =g(x)圖象的一個對稱中心為 (5n, 0),求日的最小值 12 -17 - 1 需要將y = sin 2 x的圖像向左平行移動，個單位長度. (2014 安徽卷)若將函數(shù) f(x) = sin 2%+才 的圖

23、像向右平移 0個單位，所得圖像關(guān) 于y軸對稱，則0的最小正值是 _ . 【解析】方法一：將 他=應(yīng)的圖像向右平移由個單位，得到嚴垃卄斗-2 的團像, 由該函數(shù)的團像關(guān)于加由對稱，可知和礙一)=即陽彳%二 1,故2臨一*阿+夕 盤6即左EG所以當(dāng)曲0時，苑尸百. 方法二；由&) = /缶+手)的團像向右平移金個單位后所得的圖像關(guān)于F軸對稱可知冷-2* 牛+和，朮s又矗5所法血晉. (2014 北京卷)設(shè)函數(shù) f (x) = Asin( w x + 0 )( A, , 0 是常數(shù)，A0, 0).若 f (x) 在區(qū)間 忖，n上具有單調(diào)性，且f 擰i= f f=- f:)則f (x)的最小正

24、周期為 _ . 【答案】n n n + 2 6 ，即T=【答3n f (x) = cos x(sin 1 x + cos x) ?. n (1)若 0 a 2，且 sin a 子，求f( a )的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. n 【解析】方法一： 因為 0 a y, Sin a ，所以 cos a 2 1 2. n 2 n 2+ (2014 福建卷)已知函數(shù) A. 1 1 丄 1 4 -18 - 因為 =sin JTCOS JT+CCIJX-1 1 1-F cos 2x 1 一尹 ui 2x+ 1 2jr+2CS 2X 2JT 所以尸亍二兀 7T 7T T 由 2Jr

25、7T =S2JT-I- 2JrTC + _? w 得切務(wù)心 所以/V）的單調(diào)遞増區(qū)間為舊T- 方法二: 2 1 f (x) = sin xeos x + eos x ? 2 3% 亍阿+ A. 1 1 丄 1 4 -19 - 則下列結(jié)論一定正確的是 （ ）1 =2Sin 2 X+1 + eos 2x 1 1 =sin 2 匣 1 x+ geos 2 x n i 2x+ 才. n (1)因為 0 a y, sin 從而 f( a ) 2，所以a =專, sin 2 “七冷 .3 n 1 sin 4 = 2. T= 由 2k n n n . 2 X+ 2 k n 小 3 n n k Z, 得 k

26、n = x kn + , k 乙 8 8 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （2014 廣東卷）若空間中四條兩兩不同的直線 11, 12, 3 , l 4滿足|1丄l 2,丨2丄l 3, 1 3 _L 1 , -20 - B. I 1 / l 4 C. I 1與I 4既不垂直也不平行 D. Il與I 4的位置關(guān)系不確定 【答案】D 【解析】本題考查空間中直線的位置關(guān)系，構(gòu)造正方體進行判斷即可.如圖所示，在正 方體ABCD ABCD中，設(shè)BB是直線I i, BC是直線I 2, AB是直線I 3,貝U DD是直線14, 11 / 14； 設(shè)BB是直線Il, BC是直線丨2, CC是直線丨3, CD是直

27、線I 4,貝U丨1丄丨4.故Il與I 4的位置關(guān)系 （2014 湖北卷）某實驗室一天的溫度 （單位：C）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函 數(shù)關(guān)系： f (t) = 10 - 3cost - sin 寺，t 0 , 24). (1)求實驗室這一天的最大溫差. （2）若要求實驗室溫度不高于 11 C，則在哪段時間實驗室需要降溫? n I n n 丄 n 石 t+ 2sinn =102sin 材+-3, 又 0W t 24,所以 y w 12 +才11 時，實驗室需要降溫. , , fn n xi 由(1)得 f (t) = 10-2sin it + , 故有 10-2sin 與 + nn 11

28、, rtrr I n n i 1 即 sin t + ;. 燈 2 3 丿 2是f（t）在0 , 24）上取得的最大值是 12,最小值是 8. 【解析】因為f（t） = 10 - 2 12 2 12 -21 - 又 ow t24，因此 7n12t +*罟 6 12 3 6 即 10t18. 故在 10 時至 18 時實驗室需要降溫. (2014 江西卷)已知函數(shù) f(x) = sin( x+ Q ) + acos( x + 20 )，其中 a R, (1)當(dāng)a= 2, 0 =于時，求f(x)在區(qū)間0 , n 上的最大值與最小值; 若 f n = 0, f( n)= 1,求 a, 0 的值. 3

29、7T 7T TT 故fCr)在區(qū)間0, Tl上的最大值為申，最小值為一 1Lf 5)二 1, 又(-辛,y) 1 2asin 呂=0, (2sin 夕1) sin a 17 1. 解得 (2014 新課標(biāo)全國卷n 設(shè)函數(shù)f (x) = 3sin琴，若存在f (x)的極值點X。滿足x：+ f(x。) 2v m,則m的取值范圍是( ) 【解析】/3=皿(卄壬|+遙込卜+多= cos x sin Xsi 2 2 sin x+ cos x) x 7 -V - 因為才 0,兀,所以扌一兀電 由 =0, 得 cos B (1 2asin ) =0, 所以 -22 - A. ( g, 6) U (6 ,+s

30、) B. ( g, 4) U (4 ,+g)-23 - C. ( g, 2) U (2 ,+s) D. ( g, 1) U (1 ,+g) 【答案】C 【解析】函數(shù)f(x)的極值點滿足n = nn + kn，即x= mk+ 2 , k Z,且極值為土 3, + 34,解得m2 或m 2,故m的取值范圍是(g, 2) U (2 ,+g). (2014 山東卷)已知向量 a= (m cos 2 x), b = (sin 2 x, n)，函數(shù) f (x) = a b,且 y (1)求m n的值; 將y = f (x)的圖像向左平移 $ (0 vvn )個單位后得到函數(shù) y = g(x)的圖像，若y=

31、 g(x)圖像上各最高點到點(0 , 3)的距離的最小值為 1，求y = g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】 由題意知，f (x) = = nsin 2 x + ncos 2 x. 因為y= f (x)的圖像過點心，3 和點j2, 2 , n n 3 = msin 石 + ncos 所以 4 n 4 n 2 = nsin + ncos , 3 3 解得 m= 3, n = 1. 由(1)知 f (x) = .3sin 2 x+ cos 2 x = 2sin 2x+. 由題意知，g(x) = f(x+ $ ) = 2sin j2x + 2 0+十. 設(shè)y = g(x)的圖像上符合題意的最高點為

32、(X。，2). 2 由題意知，xo + 1 = 1,所以Xo= 0, 即到點(0 , 3)的距離為 1 的最高點為(0 , 2). 將其代入y = g( x)得，sin 2 $+蕓=1.問題等價于存在ko使之滿足不等式 22 m ko+2 + 3m.因為 k+v i i 2 的最小值為 4 所以只要瀘 =f (x)的圖像過點 -24 - 因為 o $ 0, co 0)的周期為T= ，故函數(shù)f (x)的最小 CO 正周期T=牛=n . (2014 四川卷)已知函數(shù) f (x) = sin 3x+亍. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； 若a是第二象限角，f = cos i a + cos 2 a，

33、求 cos a Sin a 的值. 4 n 【解析】 因為函數(shù)y = sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為| + 2k _ 4 7t n n , + 2k n ,k Z, 得遷+ 竽W xW12+ 竽，k Z. 3 12 3 所以，函數(shù) n f(x)的-2k n n 2k n - - + - 4 3 12 3 (2)由已知, 得 sin a + = 5cos a + f (cos 2 . a sin n n 4 a cosZ + cos a sinN=5 cos a cos 寸sin a sin n (cos 2 a sin 2 4/ 4 2 即sin a + cos a = (cos a 5 sin

34、a ) (sin 當(dāng)sin a + cos a = 0 時，由 a 是第二象限角, 3n 得a = + 2k n , k Z, 4 此時， cos a sin a = 當(dāng)sin a + cos a 工0 時，(cos 2 a sin a ) 所以 sin a + cos -25 - , n n n 由一+ 2k n 3 x+ W + 2k n , k Z,-26 - 由a是第二象限角，得 cos a sin a 0，此時 COS a Sin a (1)求f (x)的最小正周期; 【解析】(1)由已知，有 1 3 2 3 sin x+ cos x 3cos x + 2 2 4 1 3 2 丄 3

35、 =zsin x cos x -cos x + -4 所以f(x)的最小正周期T= 2n= n . n 所以函數(shù)f(X)在區(qū)間|-, 的最大值為4，最小值為2. (2014 浙江卷)為了得到函數(shù) y = sin 3 x + cos 3 x的圖像，可以將函數(shù) y = _ 2cos 3 x 的圖像( ) A向右平移|個單位 B 向左平移亍個單位 c向右平移召個單位 D 向左平移n個單位 【答案】C 【解析】y = sin 3x+ cos 3x = /2cos n 3x的圖像向右平移 12 個單位可以得到函數(shù) y = sin 3 x+ cos 3 x的圖像, n n 丨 n 因為f (x)在區(qū)間 4

36、, 12 上是減函數(shù)，在區(qū)間12, 7t 12 n上是增函數(shù)，f i_n = 1 4, 綜上所述，cos a sin a =-2 或罟 (2014 天津卷)已知函數(shù) (n i + 3cos2x4，x R. n 求 f(x)在閉區(qū)間z -4上的最大值和最小值. f (x) = cos x + cos 2 x) + 3 4 3-4 - = 2sin j2x 7t 故選 C. 0 n的圖像關(guān)于直線 X 2 n x 所以將函數(shù) 2cos 3x -4 U f2cos |3 -27 - (2014 重慶卷)已知函數(shù)f(x) = 3sin( 3 x +0 )-28 - X= 對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距

37、離為 n . 3 (1) 求3和$的值； (2) 若 f i 2 = -4- 6 a 3，求 cos a+ 茅的值. 【解析】因為玖刃的團像上相鄰兩個最高點的距離為兀，所a /M的最小正周期7=眄從 K 27T 而 -=2- 又因為 2 的圖像關(guān)于直線尸牛對稱， 所2Xy+ 冷=并兀+牛，E, 1, 2, 財-餞 X% 71 所以 6 由得？ 2 = 3sin(2 x 02 _-n)= f 所以 sin i a 6 = 4. n 2 n n n 由 7o,| 01 2)在區(qū)間三 n n上的圖象如圖所示，貝U w, 0的值分別是( ) =2, 2 n 0= _3 C. w D. 1 2, 7t

38、解析由圖可知，叫 2 n n，所以 w = - = 2, 又 sin j2x -6 o = 0, J n J n J n j n 以 3 0= k n (k Z)，即 0=3 k n ( k Z)，而 | 0 |0)個單位后的圖象關(guān)于 y 解析 xnn，因為函數(shù) x a6 的圖象關(guān)于 依題意得f (x) = 2sin f (x a) = 2sin 軸對稱，所以 sin n n n a+ 石=kn+1,kZ,即 a=kn+, kZ, 因此正數(shù)a的最小值是nn，選B. 3 答案 B n 3.函數(shù)f (x) = 3sin 5X log 1x的零點的個數(shù)是( ) 2 A.2 B.3 C.4 D.5 解

39、析 函數(shù)y = 3sin nx的周期T= = 4, 2 衛(wèi) 2 1 由 log 1x= 3,可得x=;.由 8 2 log 1x= 3, 2 -30 - 得x 8.在冋一平面直角坐標(biāo)系中， 作出函數(shù)y 3sin護 和y log ix的圖象(如圖所示),易 2 4.如圖是函數(shù)f (x) = sin 2 x和函數(shù)g(x)的部分圖象，貝 U g(x)的圖象可能是由f (x)的圖 解析 由國數(shù)血)=皿加和酗 Mx)的部分圖象，可得或0的團象位于y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐 177T TT 兀 7JT 77T JI TT 標(biāo)為陽則有去廊二示勺，解得&呂 故把函數(shù)用尸切的圖象向右平移僉-才=舒單位

40、, 即可得到國數(shù)眞X)的團象，故選B. 答案B n A. f(x)的圖象關(guān)于直線 X=E對稱 B.向右平移 n個單位得到的 3 C.向右平移 72 個單位得到的 D.向右平移 n個單位得到的 6 5.設(shè)函數(shù) f (x) = sin 2x+ n，則下列結(jié)論正確的是( 知有 5 個交點，故函數(shù)f(x)有 5 個零點. 象( A.向右平移 3個單位得到的 -31 - B. f(x)的圖象關(guān)于點n, 0 對稱-32 - 解析 f (x) = , 3sin 由 2sin 1 得 sin 1 2, n D.把f(x)的圖象向右平移 12 個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象 解析 對于函數(shù)f(x) = sin |

41、2x+ -6，當(dāng)x=-3 時, =1 故 6, 0 不是函數(shù)的對稱點，故 B 錯；函數(shù)的最小正周期為 T= 2 n 2X+專 n，才，此時函數(shù)為增函數(shù)，故 C 正確； 把f(x)的圖象向右平移 $個單位，得到g(x) = sin -|2jx-12 ；+專l= sin 2x,函數(shù)是奇函 數(shù)，故 D 錯. 答案 C 6. 已知函數(shù)f (x) = 2sin 3 x在區(qū)間 II- -3, 4上的最小值為一 2，貝U w的取值范圍是 ( ) A.汽一9 I 6 ,+ B.(汽|U |,+ ) 73 、 C.( a, 2 U 6 ,+s) D.( a, 2 U $,+s 丿 3 解析 當(dāng)3 0 時，3 w

42、 w x 2 ；當(dāng)3 0 時, 3 4 3 2 2 3 W 3 x 0), x R 在曲線 y= f (x)與直線 y = 1 的交 點中，若相鄰交點距離的最小值為 _ 才，則f(x)的最小正周期為 . C.f (x)的最小正周期為 n，且在|0, 12 上為增函數(shù) sin 5f=2，故 A 錯；當(dāng)時， n，當(dāng) x 0, 12時， 3 x+ cos 3 x = 2sin -33 - 2n xi =0, X2= 3o n 2 n 由 lxi - X2| =，得 3w = 故f (X)的最小正周期T= 2n= n . 答案 n 8. _ 某城市一年中 12 個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)

43、y = a + Acos nn (X- 6) (X = 1 , 2, 3，12)來表示，已知 6 月份的月平均氣溫最高為 28 C, 12 月份的月平均氣溫最低為 18 C,則 10 月份的平均氣溫為 C . 解析因為當(dāng)x = 6 時，y = a+ A= 28; 當(dāng) x = 12 時，y = a A= 18,所以 a= 23, A= 5, 所以 y= f (x) = 23+ 5cos 忖(x 6), 所以當(dāng) x= 10 時，f(10) = 23 + 5cos *x 4 1 =23 5X 2= 20.5. 答案 20.5 n n w 0, w o 的圖象上的兩個相鄰的最高點 w X + = 2k n 或 co x+ = 6