高中數(shù)學(xué)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

1、第六單元第3講 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例（3課時(shí)）一基礎(chǔ)知識(shí)1相關(guān)關(guān)系的分類從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)2線性相關(guān)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線3回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離平方和最小的方法叫最小二乘法(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)： (x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸方程為x，則其中，b是回歸方程的斜率，a

2、是在y軸上的截距4樣本相關(guān)系數(shù)r，用它來衡量兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系(1)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；(2)當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3)r的絕對值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系（4）相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) 根據(jù)小概率0.05與n-2在附表中找出r的一個(gè)臨界值r0.05 根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r值 用統(tǒng)計(jì)判斷，如果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了.這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的

3、假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.5線性回歸模型(1)ybxae中，a、b稱為模型的未知參數(shù)；e稱為隨機(jī)誤差(2)相關(guān)指數(shù)用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是： ，的值越大（接近1），R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸效果越好 （2） r具有以下性質(zhì)：（1）當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；（2）當(dāng)|r|1,并且|r|越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的線性相關(guān)

4、程度越弱; （3）相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟： 作統(tǒng)計(jì)假設(shè) 根據(jù)小概率0.05與n-2在附表中找出r的一個(gè)臨界值r0.05 根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r值 用統(tǒng)計(jì)判斷，如果，那么可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，從而接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，表明一個(gè)發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗(yàn)中竟發(fā)生了.這個(gè)小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，拒絕這一統(tǒng)計(jì)假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.6獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量例如：是否吸煙，宗教信仰，國籍等(2)列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表(3)一般

5、地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：2×2列聯(lián)表y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表來判斷“x與y的關(guān)系”這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)當(dāng)K23.841時(shí)，則有95%的把握說事A與B有關(guān)；當(dāng)K26.635時(shí)，則有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K22.706時(shí)，則認(rèn)為事件A與B無關(guān)三.題型分析題型1相關(guān)關(guān)系的判斷題1.某棉業(yè)公司的科研人員在7塊并排、形狀大

6、小相同的試驗(yàn)田上對某棉花新品種進(jìn)行施化肥量x對產(chǎn)量y影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花產(chǎn)量y330345365405445450455(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷是否具有相關(guān)關(guān)系審題視點(diǎn) (1)用x軸表示化肥施用量，y軸表示棉花產(chǎn)量，逐一畫點(diǎn)(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系解(1)散點(diǎn)圖如圖所示(2)由散點(diǎn)圖知，各組數(shù)據(jù)對應(yīng)點(diǎn)大致都在一條直線附近，所以施化肥量x與產(chǎn)量y具有線性相關(guān)關(guān)系 利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法在散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系即變

7、量之間具有函數(shù)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系題2. 根據(jù)兩個(gè)變量x，y之間的觀測數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖如圖所示，這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系_(填“是”與“否”)解析從散點(diǎn)圖看，散點(diǎn)圖的分布成團(tuán)狀，無任何規(guī)律，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系答案否題型2.獨(dú)立性檢驗(yàn)題3為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：是否需要志愿 性別男女需要4030不需要160270（1） 估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2） 能否有99的把握認(rèn)為該

8、地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3） 根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由審題視點(diǎn) 第(2)問由a40，b30，c160，d270，代入公式可求K2，由K2的值與6.635比較斷定第(3)問從抽樣方法說明解(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例的估計(jì)值為14%.(2)K29.967.由于9.9676.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男

9、性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層，采用分層抽樣方法，這要比采用簡單隨機(jī)抽樣方法更好 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2計(jì)算K2的觀測值；(3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷題4. 甲乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人和1000人，為了了解這兩個(gè)學(xué)校全體高三年級(jí)學(xué)生在該地區(qū)二模考試中的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個(gè)學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)汁表，規(guī)定考試成績在120，150內(nèi)為優(yōu)秀 （I）試求x，y的值； （II）

10、由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫右面2×2列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異。 （III）根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計(jì)甲校和乙校的優(yōu)秀率，若把頻率視為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任取3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。題型3.線性回歸方程題5(2012·菏澤模擬)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)

11、準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.54×35×46×4.566.5)審題視點(diǎn) (2)問利用公式求、，即可求出線性回歸方程(3)問將x100代入回歸直線方程即可解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示(2)由對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：0.7，3.50.7×4.50.35.因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的

12、生產(chǎn)能耗為：90(0.7×1000.35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤) 在解決具體問題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，通過檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間有線性相關(guān)關(guān)系，再求回歸直線方程題6. 有10名同學(xué)高一（x）和高二（y）的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢焊咭怀煽儀74717268767367706574高二成績y76757170767965776272（1）y與x是否具有相關(guān)關(guān)系？（2）如果y與x具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程參考數(shù)據(jù)：分析：判斷兩變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，首先要求出其相關(guān)系數(shù)r，然后根據(jù)顯著性水平及自由度查相關(guān)系數(shù)臨界值表找臨界值，當(dāng)時(shí)認(rèn)為不具有相關(guān)關(guān)系；當(dāng)時(shí)認(rèn)為具有相關(guān)關(guān)系

13、，求回歸直線方程則比較簡單，只要求出a與b的值即可解：（1）：由已知表格中所給數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得：于是又查得附表3中相應(yīng)在于顯著性水平0.05和的相關(guān)系數(shù)臨界值由知，y與x具有相關(guān)關(guān)系說明：這類問題思路一般不是很復(fù)雜，掌握比較容易，但往往運(yùn)算量較大，很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，這就需要在計(jì)算時(shí)仔細(xì)準(zhǔn)確，還要能熟練地使用科學(xué)計(jì)算器，從而解題速度和準(zhǔn)確性第六單元第3講作業(yè)1(人教A版教材習(xí)題改編)下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系()A出租車車費(fèi)與行駛的里程 B房屋面積與房屋價(jià)格C身高與體重 D鐵塊的大小與質(zhì)量解析A，B，D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系答案C2對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)

14、(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(1)；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui、vi)(i1,2，10)，得散點(diǎn)圖(2)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由題圖(1)可知，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)；由題圖(2)可知，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)答案C3(2012·南昌模擬)某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()A.10x200 B.10x200C.10x200 D.10x200解析因?yàn)殇N量與價(jià)格負(fù)相關(guān)，由函數(shù)關(guān)系考慮為減函數(shù)，又因

15、為x，y不能為負(fù)數(shù)，再排除C，故選A.答案A4(2012·棗莊模擬)下面是2×2列聯(lián)表：y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120則表中a，b的值分別為()A94,72 B52,50 C52,74 D74,52解析a2173，a52，又a22b，b74.答案C5在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計(jì)算K2的觀測值k27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是_的(有關(guān)，無關(guān))解析由觀測值k27.63與臨界值比較，我們有99%的把握說打鼾與患心臟病有關(guān)答案有關(guān)6. 某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們

16、分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x(°C)1011131286就診人數(shù)y(個(gè))222529261612 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn). () 求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率； ()若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程； ()若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認(rèn)為得到的線性回

17、歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想? (參考公式: )解：()設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A.因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中,抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種 ，所以()由數(shù)據(jù)求得由公式求得再由所以關(guān)于的線性回歸方程為()當(dāng)時(shí), ；同樣, 當(dāng)時(shí), 所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.7.某食品廠為了檢查甲乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品圖是甲流水線樣本的頻率分布直方圖，表是乙流水線樣本頻數(shù)分布表 () 若以頻率作為概率，試估計(jì)

18、從甲流水線上任取件產(chǎn)品，求其中合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望； （）從乙流水線樣本的不合格品中任意取件，求其中超過合格品重量的件數(shù)的分布列；（）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)” 甲流水線乙流水線 合計(jì)合格品不合格品合計(jì)50.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.024來源:Zxxk.Com6.6357.87910.828附：下面的臨界值表供參考： (參考公式：，其中)解：（）由圖知，甲樣本中合格品數(shù)為， 則的取值為；且，于是有：012來源:Z_xx_k.Com的分布列為 10分（）列聯(lián)表如下： 有90的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)13分補(bǔ)例. 為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)男生5女生10合計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；（3）現(xiàn)從