數(shù)列極限的運算性質(zhì)

1、極限的運算教學(xué)目標(biāo)1 .熟練運用極限的四則運算法則，求數(shù)列的極限.2 .理解和掌握三個常用極限及其使用條件.培養(yǎng)學(xué)生運用化歸轉(zhuǎn)化和分類討論的思想解 決數(shù)列極限問題的能力.3 .正確認(rèn)識極限思想和方法是從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì) 變的一種辯證唯物主義的思想.教學(xué)重點與難點使用極限四則運算法則及 3個常用極限時的條件.教學(xué)過程（一）運用極限的四則運算法則求數(shù)列的極限師：高中數(shù)學(xué)中的求極限問題,，E 1吊用極限：lim=0,n n例1 ：求下列極限：主要是通過極限的四則運算法則，把所求極限轉(zhuǎn)化成三個lim c=c nlim qn=0 (|q如11-3a7-0十0+0 7lim

2、4 - lim-7 iif m n-師：（2）中含有哥型數(shù)，應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化?生；可以制七邸哨仁。的形式.分子、分母同時除以乎.1-解,原式=1嗝33】昌-的1.0H11 , 產(chǎn) 0-1-liml - I - lim 1.,n-1 . , ._,.師：分子、分母同時除以3結(jié)果如何?生：結(jié)果應(yīng)該一樣.原式=lun-M2 +（3） _ 1-0_ 1=二F5 = 3-lim - lim?L8 13J師：分子、分母同時除以 2n或2n-1 ,能否求出極限?生；不能.因卻迎父=0中，|q|3而,.當(dāng)叫叼*P，%一!* +*- + an 4之 bi13 + bqT口M 十-二十%口 十6。（P，# N）要依呼

3、時，一般方法是把分子，分母同除以n的最高次尾，轉(zhuǎn)化成求數(shù)列的極限問題.當(dāng)味q叱網(wǎng)當(dāng)p 2 2一生：因為極限的四則運算法則只適用于有限個數(shù)列加、減、一8,和式成了無限項的和，不能使用運算法則，所以解法師：解法2先用等差數(shù)列的求和公式， 求出分子的和,件，從而求出了極限.第（2）題應(yīng)該怎樣做？生：用等比數(shù)列的求和公式先求出分母的和.乘、除的情況.此題當(dāng)1是錯的.滿足了極限四則運算法則的條解：原式岫一 + 9 .+4 卜3嚴(yán)二 limIL-+OO=12 .師：例2告訴我們不能把處理有限項和問題的思路及方法隨意地搬到無限項和的問題 中去，要特別注意極限四則運算法則的適用條件.例3求下列極限：(1J l

4、im n 1 - -1 1 n + 2j1 4 4 7 7* 10(3n - 2)(3口 + 1)師：本例也應(yīng)該先求出數(shù)列的解析式，然后再求極限，請同學(xué)觀察所給數(shù)列的特點, 想出對策.生：（1）題是連乘積的形式，可以進行約分變形.23 4 n +1 2n口 345 皿+ 2 n + 2 故原式二號1%=2-生：(2)題是分?jǐn)?shù)和的形式，可以用“裂項法”變形.1 1 1 1 +十+1 4 4 - 7 7 * 10（3力-2）（見 + 1）fi n fi i4 7 J U 10J3n - 23d +1式 3n + lj 3n ,1 1故原他馬例4設(shè)首項為1,公比為q (q0)的等比數(shù)列的前n項和為S

5、n,設(shè)1學(xué)，nN-ij-. In師：等比數(shù)列的前 n項和Sn怎樣表示?生甲,aji-q）1-q=?時，還要再分情況生乙1當(dāng)q=l時，53= 口七；當(dāng)#1時，Sn 師：看來此題要分情況討論了.生工最簡單的情況是當(dāng)q= 1時，、=箕自1limT. = 1師，回答正確.qrl時，生m因方蚓父=0中，間二1 ,所以當(dāng)q豐1討論,當(dāng) 時，;當(dāng) OCqCl 時，limTn=l .師：綜合兩位同學(xué)的討論結(jié)果，解法如下：1 - qZ解上 當(dāng)q = 1時，Sm =呵=則=，故limT =lim吧1; 11131 n le La n當(dāng)q0且qrl時，$=尸,T1 - q1 - q 1-41m當(dāng)l時，涓叫；=q.師

6、：本例重點體現(xiàn)了分類討論思想的運用能夠使復(fù)雜問題條理化.同學(xué)們在利胭瑪q及=Of |q| 1求極限方面有了很大進步.（三）公比絕對值小于 1的無窮等比數(shù)列前 n項和的極限師：利用無窮等比數(shù)列所有各項和的概念以及求極限的知識，我們已經(jīng)得到了公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列各項和的公式：$=獸，其中不是數(shù)列的首項，q為公比. i-a例5計算：數(shù)列J,.（-1尸卜一所有項的和：（2）無窮等比數(shù)列總+ L 1,冷所有奇數(shù)項的和.題目不難，可由學(xué)生自己做.師：（1）中的數(shù)列有什么特點？生：首項,是!，公比是的無窮等比數(shù)列.可以直1接用公式 = -j燈=；-師：（2）中求所有奇數(shù)項的和實質(zhì)是求什么？生實質(zhì)

7、是求無窮等比數(shù)列及+ 1,延-1,所有項的和“3-2 五2悔2-師；使用公式3 =獸要注意三個問題: 17（1）所給數(shù)列是等比數(shù)列；（2）公比的絕對值小于 1;3前門項和與所有項和的關(guān)系S =limS =iW0 J -（四）利用極限的概念求數(shù)的取值范圍例6已知面匚二二-一，求的直11f 8 3- 5nz戶1（2 ）已知hm玄=，求m的取值范圍.11fm/1 . （m 2）2師：（1）中a在一個等式中，如何求出它的值.生：只要得到一個含有 a的方程就可以求出來了.師：同學(xué)能夠想到用方程的思想解決問題非常好，怎樣得到這個方程？生：先求極限.1 1醒1+R +0+）私Rff l】m -左 o htu

8、q二 nfg 3 %1Rfg -55-5工 525因一彳a -. tLr師：（2）中要求m的取值范圍，如何利用所給的等式？生：觀察所給等式的左瓦 發(fā)現(xiàn)要求極限需要利嵬蛔上0.這里|q| 故選C.廿55(2)由于所給兩個極限存在，所以 an與bn的極限必存在，得方程解唯二故覬A+K) =2,故選以上習(xí)題教師可以根據(jù)學(xué)生的狀況，酌情選用.課堂教學(xué)設(shè)計說明1 .掌握常用方法，深化學(xué)生思維.數(shù)學(xué)中對解題的要求，首先是學(xué)生能夠按部就班地進行邏輯推理，尋找最常見的解題思路，當(dāng)問題解決以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生立即反思，為什么要這么做？對常用方法只停留 在會用是不夠的，應(yīng)該對常用方法所體現(xiàn)的思維方式進行深入探討，

9、內(nèi)化為自身的認(rèn)知結(jié) 構(gòu)，然后把這種思維方式加以運用.例 1的設(shè)計就是以此為目的的.2 .展示典型錯誤，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維.第二課時數(shù)列極限的運算性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1、掌握數(shù)列極限的運算性質(zhì)；會利用這些性質(zhì)計算數(shù)列的極限2、掌握重要的極限計算公式：lim(1+1/n) n=e教學(xué)過程：一、數(shù)列極限的運算性質(zhì)如果 lima n=A , limb n=B ,那么(1) lim(an+bn尸 lima n+ limb n =A+B (2) lim(an-bn)= lima n- limb n =A-B(3) lim(an?bn)= liman? limb n =A?B(4) lim(an/b n)= lima

10、n/limb n =a/b (B0, bn 0) 注意：運用這些性質(zhì)時，每個數(shù)列必須要有極限，在數(shù)列商的極限中，作為分母的數(shù)列的項及其極限都不為零。數(shù)列的和的極限的運算性質(zhì)可推廣為：如果有限個數(shù)列都有極限，那么這有限個數(shù)列對應(yīng)各項的和所組成的數(shù)列也有極限，且極限值等于這有限個數(shù)列的極限的和。類似地,對數(shù)列的積的極限的運算性質(zhì)也可作這樣的推廣。注意：上述性質(zhì)只能推廣為有限個數(shù)列的和與積的運算，不能推廣為無限個數(shù)列的和與積。二、求數(shù)列極限1、lim 5 5+1/n ) =52、lim(n 2-4)/n 2=lim(1-4/n 2)=13、lim(2+3/n) 2=44、lim(2-1/n)(3+2

11、/n)+(1-3/n)(4-5/n)=105、lim(3n 2-2n-5)/(2n 2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n 2)=3/2分析：由于lim(3n2-2n-5)及l(fā)im(2n2+n-1)都不存在，因此不能直接應(yīng)用商的極限運算性質(zhì)進行計算。為了能應(yīng)用極限的運算性質(zhì)，可利用分式的性質(zhì)先進行變形。在變形時分子、分母同時除以分子、分母中含n的最高次數(shù)項。4、一個重要的數(shù)列極限我們曾經(jīng)學(xué)過自然對數(shù)的底e 2.718,它是一個無理數(shù)，它是數(shù)列 (1+1/坨”的極限。lim(1+1/n) n =e(證明將在高等數(shù)學(xué)中研究)求下列數(shù)列的極限lim(1+1/n) 2n+1

12、 =lim(1+1/n) n ?(1+1/n) n ?(1+1/n)=e ?e?1=e2lim(1+3/n) n =lim(1+1/(n/3) n/3 3=e3分析：在底數(shù)的兩項中，一項為 1,另一項為3/n,其中分子不是1,與關(guān)于e的重要 極限的形式不相符合，為此需要作變形。其變形的目標(biāo)是將分子中的3變?yōu)?,而不改變分式的值。為此可在3/n的分子、分母中同時除以3,但這樣又出現(xiàn)了新的矛盾，即分母中的n/3與指數(shù)上的n以及取極限時n不相一致，為此再將指數(shù)上的n改成n/3?3,又因為n 與n/3是等價的。lim(1+1/(n+1) n=lim(1+1/(n+1) (n+1)-1 =lim(1+1/(n+1) n+1 /lim(1+1/(n+1)=e練習(xí)：計算下列數(shù)列的極限lim(3-1/2n)=3 lim(1/n 2+1/n-2)(3/n-5/2)=5lim(-3n 2-1)/(4n 2+1)=-3/4lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2lim(1+3/2n) 2=1lim(1+1/3n) 2 (2-1/