量子力學5-1 (2)

1、1期中考試出現(xiàn)的問題：期中考試出現(xiàn)的問題：1.基本概念搞不清楚，如物質波、態(tài)的疊加原基本概念搞不清楚，如物質波、態(tài)的疊加原 理、定態(tài)、守恒量的概念。理、定態(tài)、守恒量的概念。2.靈活性較差，靈活性較差，教材上的原（例）題還能做，教材上的原（例）題還能做，換個花樣就不知怎么做了。換個花樣就不知怎么做了。3.兩個計算題是教材中提供模型的擴展，如果兩個計算題是教材中提供模型的擴展，如果基本概念和規(guī)律清楚，這樣的題應該是非?；靖拍詈鸵?guī)律清楚，這樣的題應該是非常容易做的。容易做的。22|2|0)(axaxxV2|2|0, 5 , 3 , 1cos2, 6 , 4 , 2sin2)(22222axaxna

2、xnanaxnaxanEnn322/1302/1221021222sincos)(22sin)(cos)0 ,(2222AAxHeAxHeAxxxtitieetx252210sincos),(4/1mA41.定理的推論：定理的推論： 非簡并能量本征態(tài)必為某一守恒量本征態(tài)非簡并能量本征態(tài)必為某一守恒量本征態(tài)上次課復習：上次課復習：2.位力定理：位力定理：1)一般的位力定理一般的位力定理VrT22)勢能是位置的勢能是位置的n次齊次函數(shù)，則有次齊次函數(shù)，則有VnT 2諧振子勢諧振子勢VT 庫侖勢和庫侖勢和勢勢 TV25Q0,HQ6第五章第五章 中心力場中心力場如如Kepler運動：運動：例例5.1

3、中心力場中粒子運動的一般性質中心力場中粒子運動的一般性質 地球同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星（1）引力場中的運動）引力場中的運動7角動量守恒角動量守恒（2）庫侖場中的運動）庫侖場中的運動(經典理解經典理解)如如原子體系：原子體系：電子的運動電子的運動共同特點共同特點：在中心力場中角動量概念非常重要。在中心力場中角動量概念非常重要。8角動量的經典表示角動量的經典表示：所以，經典角動量是守恒量所以，經典角動量是守恒量則則prL 是中心力場，是中心力場，梯度方向就是徑向梯度方向就是徑向)(rVrrVrrrd)(d)(1rVrpptprptrtLdddddd)0( pp090 pL0rL又是守恒量，又是守恒量，

4、而而L故粒子的運動必為平面運動，故粒子的運動必為平面運動，平面的法線方向即為平面的法線方向即為的方向。的方向。L下面我們看量子力學中的角動量問題。下面我們看量子力學中的角動量問題。這從這從 與與 和和 的方向關系上能看出來。的方向關系上能看出來。Lrp考慮角動量的經典表達式考慮角動量的經典表達式 ，有，有prL105.1.1 角動量守恒與徑向運動角動量守恒與徑向運動)(212rVpH若勢場為若勢場為V(r)，粒子的質量為，粒子的質量為，則則哈密頓哈密頓量量可以寫為可以寫為)(222rV此時，角動量是否為守恒量？此時，角動量是否為守恒量？由角動量分量與動量各分量對易式由角動量分量與動量各分量對易

5、式如何判斷？如何判斷？11所以，與經典力學中一樣，角動量也是守恒量所以，與經典力學中一樣，角動量也是守恒量容易證明容易證明kijkjipipL,0,2pL0)(,rVL0,HLzyxji,由角動量只與角度由角動量只與角度、有關，有關， 則有則有這樣這樣12因為所研究的問題具有球對稱性，故因為所研究的問題具有球對稱性，故一般采用球坐標系。此時一般采用球坐標系。此時(見見p56 練習練習4 4)2222221rLrrr 22222)(1rLrrrr 222rLpr222 p13故能量本征值方程可以寫為故能量本征值方程可以寫為ErVrLrrr)(21222222ErV)(222徑向動能徑向動能 離心

6、勢能離心勢能(Centrifugal potential)或或14kijkjiLiLL,0,2pL0)(,rVL0,HL0,2HL0,2zLL根據上述討論，有根據上述討論，有,2zLLH構成守恒量的完全集合。構成守恒量的完全集合。所以所以的共同本征態(tài)。和是能量本征值方程的解也上述zLLnHamiltonia2守恒量個數(shù)為何是守恒量個數(shù)為何是3 3個？選擇唯一嗎？個？選擇唯一嗎？15的共同本征態(tài)為和設zLL2),()(),(lmlYrRr;, 2 , 1 , 0l其中其中0)() 1()(212222rRrllrVEdrdRrdrdrl0)() 1()(2)(2)(2222rRrllrVErRd

7、rdrrRdrdlll或或llllm, 1, 1,程，得徑向方程代入上述能量本征值方問題：角向部分跑哪里去了？問題：角向部分跑哪里去了？ErVrLrrr)(2122222216注注：（2）由于中心力場的球對稱，致使徑向方）由于中心力場的球對稱，致使徑向方 程中不含磁量子數(shù)程中不含磁量子數(shù) m，因此能量與，因此能量與m 無關，出現(xiàn)簡并。無關，出現(xiàn)簡并。一般說來，中心力場中粒子的能量是一般說來，中心力場中粒子的能量是（2l+1）重簡并。）重簡并。 （1）不同的中心力場）不同的中心力場V(r)決定不同的徑向決定不同的徑向 波函數(shù)波函數(shù)R(r)及能量本征值及能量本征值E。對稱元素越多，對稱性越強對稱元

8、素越多，對稱性越強試比較圓周和球面的對稱性試比較圓周和球面的對稱性0)() 1()(2)(2)(2222rRrllrVErRdrdrrRdrdlll對對17令令 rrrRl)()(代入上述徑向方程，則有代入上述徑向方程，則有0)() 1()(2)(2222rrllrVEdrrdll(1)當當l=0時時, 方程類似粒子一維運動方程方程類似粒子一維運動方程(2)方程中出現(xiàn)一項由軌道角動量引起的方程中出現(xiàn)一項由軌道角動量引起的 附加勢能附加勢能離心勢能離心勢能注注：18根據常識，動量愈大，則離心勢能愈大，根據常識，動量愈大，則離心勢能愈大，能級愈高，離心勢能是能級愈高，離心勢能是正定的正定的。？0)

9、() 1()(2)(2222rrllrVEdrrdll對方程對方程 因此，中心力場中粒因此，中心力場中粒子的子的基態(tài)基態(tài)必屬于必屬于l=0的態(tài)。的態(tài)。 19束縛態(tài)密切相關。連續(xù)態(tài)，或徑向方程的解與00) 3(EE。將出現(xiàn)徑向量子數(shù)件的約束，時，由于束縛態(tài)邊界條當, 2 , 1 , 00rnE來表示。并用。和而且能級依賴于邊界）和數(shù)（節(jié)點不包括它們表示波函數(shù)的節(jié)點lnrrElnrr,020也增大離心勢能增加增加給定時同樣當lnrrEln,可作為能級的編號。時，可知，給定由rlnnlEr。的態(tài)分別記為, 3 , 2 , 1 , 0fdpsl 。這是原子光譜學的習慣對于分子光譜中的編號，在專業(yè)書中都

10、有對于分子光譜中的編號，在專業(yè)書中都有所介紹。所介紹。21在研究具體問題以前，先簡介奇點概念在研究具體問題以前，先簡介奇點概念對方程對方程0)()( yxqyxpy)()(2xqxxxp，如果如果在在x=a處不解析，處不解析，則則x=a點為非正則奇點；點為非正則奇點；若在若在x=a處解析，則處解析，則 x=a點為正則奇點；點為正則奇點；比如對方程比如對方程0)() 1(22 2rrllrEllr0r為正則奇點，為正則奇點，為非正則奇點。為非正則奇點。5.1.2 徑向波函數(shù)在徑向波函數(shù)在r0鄰域的漸近行為鄰域的漸近行為22現(xiàn)在設現(xiàn)在設V(r)滿足條件滿足條件0)(lim20rVrr通常的中心力場

11、都滿足這種條件，如通常的中心力場都滿足這種條件，如諧振子勢諧振子勢庫侖勢庫侖勢Yukawa勢勢（湯川勢）（湯川勢）rerrV1)(1)( rrV2)(rrV等等23顯然，顯然，r=0為正則奇點。為正則奇點?？蓪憺榭蓪憺樵诖藯l件下，在此條件下，Rl(r)滿足的徑向方程滿足的徑向方程0)() 1()(2)(2)(2222rRrllrVErRdrdrrRdrdlll0)() 1()(2)(222rRrllrRdrdrrRdrdlll（ ？）？）先乘先乘r2再取極限，利用極限條件再取極限，利用極限條件最后除以最后除以r2的區(qū)別與注意ErRrl22 （此處不涉及另一奇點（此處不涉及另一奇點r）24設設s

12、lrrR)(代入上述徑向方程代入上述徑向方程得得r最低次冪所滿足的指標方程：最低次冪所滿足的指標方程：0) 1() 1(llsss=l 和和 s=-(l+1)故當故當r0時，有時，有)1()()(llllrrRrrR或0)() 1()(2)(222rRrllrRdrdrrRdrdlll25根據根據根據波函數(shù)的統(tǒng)計解釋根據波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,slrrR)(則則 s3/2。llrrR)(rrrRl)()()(r此時此時滿足滿足0)(lim)(lim00rrRrlrlr這是個重要的條件，以后會經常用到。這是個重要的條件，以后會經常用到。很顯然很顯然,當當l1時，時，(l+1)不滿足不滿足s具具備的條件

13、，備的條件，所以取所以取當當r0時時,若若265.1.3 兩體問題化為單體問題兩體問題化為單體問題 實際問題中出現(xiàn)的中心力場問題，常為二體實際問題中出現(xiàn)的中心力場問題，常為二體問題。問題。設二粒子質量分別為設二粒子質量分別為m1和和m2，相互作用勢為，相互作用勢為|)(|)(21rrVrV二粒子體系的能量本征方程為二粒子體系的能量本征方程為 ),(),(|)(|22212121222112rrErrrrVmmt只依賴于相對位置只依賴于相對位置r，則，則27引入質心坐標引入質心坐標及相對坐標及相對坐標222222111111rRMmm其中其中 M = m1+m2 （總質量）（總質量）21rrr2

14、12211mmrmrmR可以證明可以證明)(2121mmmm （約化質量）約化質量）282222222ZYXR2222222zyxr這樣，能量本征值方程化為這樣，能量本征值方程化為TrRErVM)(222222且且29令令 )()(rR代入上式，分離變量后，得代入上式，分離變量后，得)()(222RERMcR)()()(222rErrV其中其中 E = ET - Ec作變換的優(yōu)點是：分成兩部分，分別求解作變換的優(yōu)點是：分成兩部分，分別求解 化整為零化整為零描述質心運動描述質心運動 描述相對運動描述相對運動 30（1）描述質心運動的是一個描述質心運動的是一個自由粒子自由粒子的波動的波動 方程，方

15、程，Ec是質心運動能量，這一部分是質心運動能量，這一部分與與 我們研究的體系的內部結構無關，常常我們研究的體系的內部結構無關，常常 不考慮。不考慮。 說明說明：（2）描述描述相對運動部分的方程與單體波動方程相對運動部分的方程與單體波動方程 完全一樣完全一樣,其中其中E是相對運動能量，只不過是相對運動能量，只不過 把把 理解為約化質量。理解為約化質量。 對方程對方程)()(222RERMcR)()()(222rErrV31附 21212121zzzyyyxxxrrrMzmzmZMymymYMxmxmXMrmrmR221122112211221132XMmxXxXxxxx1111XMmxXxXXM

16、mxxxxx1111212222211222XMmXxMmx這樣 33同理： 222211222122YMmYyMmyy222211222122ZMmZzMmzz222112212121212RRrrMmMmzyx34同理： 222222222RRrrMmMmRrRrMmMmm1222121222),(),()(rRErRrVt),(),()(222222rRErRrVMtRr從而有： RrRrMmMmm2222222222352 球方勢阱球方勢阱質量為質量為的粒子，在半徑的粒子，在半徑為為a的的球方勢阱中運動，球方勢阱中運動，如右圖。如右圖。其勢函數(shù)為：其勢函數(shù)為：aararrV0)(見右圖

17、見右圖V(r)ar0a顯然屬于中心力場問題，只存在束縛態(tài)顯然屬于中心力場問題，只存在束縛態(tài)36（1）先考慮）先考慮l=0狀態(tài)（狀態(tài)（s態(tài)）態(tài)）此時徑向方程此時徑向方程令令 rrrRll)()(0)()(2)(02202rrVEdrrd0)(0)0(00a而而 為邊界條件為邊界條件 非常類似一維粒子在勢場中的運動。非常類似一維粒子在勢場中的運動。 0)() 1()(2)(222rRrllrRdrdrrRdrdlll可化為可化為 37考慮上述方程解的情況考慮上述方程解的情況 在阱外，顯然在阱外，顯然 0)(0r在阱內在阱內 )0(2EEk0)( 020rk其中其中 其解可以表示為其解可以表示為 s

18、inkr的形式。的形式。 由邊界條件由邊界條件 sinka=0 得得 ka=(nr+1)nr=0，1，2，.將由此得出的將由此得出的k的形式代入前式，得的形式代入前式，得設為設為 是為了以后研究問題方便是為了以后研究問題方便nr+138能量本征值能量本征值 0rnEE 22222) 1(anrnr=0，1，2，.相應的歸一化波函數(shù)為相應的歸一化波函數(shù)為 0201d|rrn)0(ar ranarrnr) 1(sin2)(0且且 作業(yè)：p114 139（2）現(xiàn)在考慮）現(xiàn)在考慮l0的的狀態(tài)狀態(tài)此時徑向方程為此時徑向方程為0)() 1()(2)(2222rRrllkrRdrdrrRdrdlllkr0)

19、(aRl)0(ar 邊界條件為邊界條件為引進無量綱變量引進無量綱變量無量綱？無量綱？利用利用22222ddddllRkrRddddllRkrR及及可以尋找可以尋找 為邊界條件嗎？為邊界條件嗎？)0(lR40則方程可化為則方程可化為0) 1(12222lllRllRddRdd此即球此即球Bessel方程。方程。其解為球其解為球Bessel函數(shù)函數(shù)jl()和球和球Niumann函數(shù)函數(shù)nl()的線性組合。的線性組合。球球Bessel函數(shù)函數(shù) )(2)(21llJj球球Niumann函數(shù)函數(shù) )(2) 1()()21(1lllJn410)2/1(1 )( 1)( 22uluu為求解方便，想法將上述方

20、程變?yōu)闉榍蠼夥奖?，想法將上述方程變?yōu)锽essel方程。方程。為此令為此令)(uRl代入上述球代入上述球Bessel方程，得方程，得它是它是l+1/2階階Bessel方程。兩個線性獨立的解為方程。兩個線性獨立的解為。與)()(2/12/1llJJ42這樣可定義球這樣可定義球Bessel函數(shù)和球函數(shù)和球Neumann函數(shù)函數(shù))(2)(21llJj)(2) 1()()21(1lllJn它們在它們在0時的漸近行為是時的漸近行為是!)!12(ll)(lj0)1(!)!12(ll)(ln0此時由此時由lR),(lj)(ln)(uRl得得43對方程對方程!)!12(ll)(lj01!)!12(ll)(ln0

21、其中其中 !表示雙階乘，比如表示雙階乘，比如5!=531如果把如果把=0點包括在內，點包括在內，nl()解必須拋棄。解必須拋棄。因而球方勢阱內有界解取因而球方勢阱內有界解取)(krjl)(rRlk由邊界條件由邊界條件Rl(ka)=0或或jl(ka)=0確定。確定。44已知已知j與與ka是三角函數(shù)關系，所以當是三角函數(shù)關系，所以當a取有限取有限值時，值時，k只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。令令jl(x)=0的根依次記為的根依次記為, 2 , 1 , 0,rlnnxr則由能量本征值則由能量本征值lnrxka,222kE及及可得可得個根。的第是使其中) 1(0,rllnnjxr, 2 , 1

22、 , 0rn2,22,2lnlnrrxaEjl(ka)=0教材中公式有錯！教材中公式有錯！45當當a有限時，與有限時，與 相應的徑向本征函數(shù)為相應的徑向本征函數(shù)為lnrEaxklnlnrr/annlnlnrrrrrrrRrR02d)()(2/1113)()(/2akjakjaclnllnllnrrr)()(rkjcrRlnllnlnrrr且且其中其中46當當a時，根據時，根據(見附錄見附錄)xx0)2cos(1lxx)(xnl0)2sin(1lxx)(xjl則則jl(ka)=0自動滿足。自動滿足。E無任何限制，可連續(xù)變化無任何限制，可連續(xù)變化因為此時因為此時a無任何限制無任何限制k無任何限制無

23、任何限制222kEaxklnlnrr/由由由由47由前面的知識可知，連續(xù)變化的本征態(tài)是由前面的知識可知，連續(xù)變化的本征態(tài)是不能歸一化的。為了實現(xiàn)歸一化，常取如不能歸一化的。為了實現(xiàn)歸一化，常取如下徑向波函數(shù)下徑向波函數(shù)02) (d)()(kkrrrRrRlkkl)(2)(krkjrRlkl這樣這樣使其使其“歸一化歸一化”為為函數(shù)。函數(shù)。作為中心力場的例子，前面我們研究了球方作為中心力場的例子，前面我們研究了球方勢阱。下面的課會給出另一個例子。勢阱。下面的課會給出另一個例子。483 氫原子 氫原子是最簡單的原子，Schrdinger方程可以嚴格求解，從而成為研究復雜原子性質的基礎，曾為量子力學發(fā)

24、展提供了重要線索。1、徑向波函數(shù)及其滿足的方程 選擇無窮遠處為零勢點，其庫侖吸引勢可表為rerV2)(490) 1()(2dd2dd22222lllRrllrZeErRrrR徑向波函數(shù)滿足方程)0( r),()(rrRrll令)(rl滿足下列方程利用復合函數(shù)求導方法可知0)0(l0)() 1()(2)( 222rrllreErll邊界條件為前面的條件可以保證50pepemmmm其中pemm ,分別為電子和質子的質量。在以下計算中采用原子單位：1e計算結果出來后再添上各物理量的相關單位。此時方程化為0)() 1(22 2rrllrEll顯然此方程有兩個奇點：rr, 0510)() 1(22 2r

25、rllrEll中，r0r為正則奇點，為非正則奇點。上述方程可化為合流超幾何方程求解。根據前面所介紹的正則奇點和非正則奇點的知識，顯然方程522、徑向方程的求解（1）當r0時 根據方程0) 1()(2dd2dd22222lllRrllrZeErRrrR 勢函數(shù)滿足前面給出的條件slrrR)(0)(lim20rVrr令代入上述方程，得指標方程0) 1() 1(llss （一般中心力場都滿足這個條件）531lllrrR，從而有由此給出)(rl1lrlr或0rlrR但對后一解，有界條件要求l3/2但l的取值范圍, 2 , 1 , 0l決定了這一解不符合要求，故去掉，所以)(rl1lrllrR 即由此解

26、出s=ls=-l-154（2）當r時 方程化為E2rler)()0(0)(2)( ErErll 故 且 （以后要用到） 但rler)( 不滿足邊界條件，故rler)(550)() 1(22 2rrllrEll 因此方程 的解可以表為)()(1ruerrrll 問題： u(r)是何種形式？ 將上述形式的解代入上面的方程，得0 1) 1(22) 1(2 ulurlru 令=2r，有01) 1(dd) 1(2dd22ululu時起作用0r時起作用r56化為標準型0dd)(dd22uuu 其中參數(shù)為1) 1( l2) 1(2l0 此方程在 鄰域有界的解為 合流超幾何函數(shù)nnnnn!1)()(0! 3)2)(1()2)(1(2) 1() 1(1),(32u) 1()2)(1()(nn 其中57 容易證明：nu),(時，無窮級數(shù)在 不滿足束縛態(tài)邊界條件, 這只有在=0或負整數(shù)時可得到。 單純=0是沒有意思的。故取, 2 , 1 , 0rnrnl1) 1( 現(xiàn)在令1l