波利亞怎樣解題

1、波利亞的怎樣解題表1 喬治波利亞喬治 波利亞（George Polya, 18871985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.在解題方 面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時(shí)，還被ICME （國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席.作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以波利亞”命名的定理或術(shù)語； 他與其他數(shù)學(xué)家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù)變量等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成

2、的四大卷文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題（1945年）、數(shù)學(xué)與似真推理（1954年）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962年）三部世界名著上，涉及 解題理論”、解題 教學(xué)”、教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域.波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過怎樣解題”表來實(shí)現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng) 的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問題的 萬能方法”，而是希望通過對(duì)于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起

3、到啟發(fā)的作用.他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化 方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問題、對(duì)問題進(jìn)行變形等，都 在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計(jì)在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達(dá)出來，使得更有啟發(fā)意義.著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說過：每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”（195在2月2日）.2 怎樣解題表波利亞是圍繞 怎樣解題”、怎樣學(xué)會(huì)解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對(duì) 問題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同時(shí)也表明其對(duì) 問題解決”研究興

4、趣集中在啟發(fā)法上.波利 亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成14種文字）一書中給出的怎樣解題表”，正是一部啟 發(fā)法小詞典3 . 1 怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清問題未知是什么？已知是什么？條件是什么 硝足條件是否可能 彼確定未知，條第，你必 須弄清問題件是否充分城者它是否不充分？ 或者是多余的 減者是矛盾的？ 畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào).把條件的各個(gè)部分分開.你能否把它們寫卜來？擬定計(jì)劃第二，找出 已知數(shù)與未 知數(shù)之間的 聯(lián)系.如果 找不出直接 的聯(lián)系，你 可能不得不 考慮輔助問 題.你應(yīng)該 最終得出一 個(gè)求解的計(jì) 劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題附是否知道一個(gè)可

5、能用得上的定理 ？ 看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題. 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎 然了能利用 它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素 ？你能不能重新敘述這個(gè)問題 ？新能不能用不同的方法重新敘述它 ？ 回到定義去.如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題.你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題L個(gè)更普遍的問題 入個(gè)更特殊的問題 入個(gè)類比的問題？決能否解決這個(gè)問題的一部分板僅保持條件的一部分而舍去其余部分.這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度沱會(huì)怎1¥變化劑能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用

6、的東西附能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)就口果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) ？你是否利用了整個(gè)條件附是否考慮了包 含在問題中的必要的概念 ？實(shí)現(xiàn)計(jì)劃第三，實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的附能否證明這一步驟是正確的？你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證 ？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不第四，驗(yàn)算所得到的 解.能一卜子看出它來？你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？回顧3波利亞的解題觀對(duì)于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作，人們從不同的角度闡發(fā)了對(duì)波利亞解題思想的認(rèn)識(shí)（見參考文獻(xiàn)），我

7、們將其歸結(jié)為5個(gè)要點(diǎn).4 . 1 程序化的解題系統(tǒng)怎樣解題表，就“怎樣解題”、“教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動(dòng)”，按照正常人解決問題時(shí)思維的自然過程分成四個(gè)階段一一弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng).既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論（普遍性）的自覺努力.這四個(gè)階段首先是一個(gè)四步驟的宏觀解題程序，其中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”雖為主體工作，但較為容易完成，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”；其次，“弄清問題”是認(rèn)識(shí)問題、 并對(duì)問題進(jìn)行表征的過程， 應(yīng)成為成功解決問題的一個(gè)必要前提；

8、與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法，在整個(gè)解題表中“擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容.“擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”基礎(chǔ)上，探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，波利亞的建議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系（模式識(shí)別等）；第二，如果找不出直接的聯(lián)系， 就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問題，為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分 解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題.這實(shí)際上是闡述 和應(yīng)用解題策略并進(jìn)行資源的提取與分配.于

9、是，這個(gè)系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實(shí) 踐于一體.5 . 2 啟發(fā)式的過程分析（1）還在當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，波利亞就有一個(gè)問題一再使他感到困惑：“是的，這個(gè)解答好像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢？是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)好像還行，它看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí) ？ 而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”從解題論的觀點(diǎn)看，這實(shí)際上是既提出了 “怎樣解題”又提出了 “怎樣學(xué)會(huì)解題”的問題，波利亞說，這“終于導(dǎo)致他寫出本書”（指怎樣角健波利亞認(rèn)為“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面”，“用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)看來像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻

10、像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).這兩個(gè)側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老.但從某一點(diǎn)說來，第二個(gè)側(cè)面則是新的，因?yàn)橐郧皬膩砭蜎]有照本宣科地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生，或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十年的時(shí)間悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其“怎樣解題”的基本思想就可以概括為“知識(shí)+啟發(fā)法”.在解題表中，波利亞給出了 “啟發(fā)法小詞典”，讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、指導(dǎo)實(shí)踐，自己學(xué)會(huì)怎樣解題.這些看法來源于波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育宗旨的認(rèn)識(shí)，波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)“教會(huì)年輕人去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的“獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神”； 他認(rèn)為一個(gè)人在學(xué)校所受的教育應(yīng)該受益終生，他贊成，良好的教育應(yīng)該“系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)

11、”，“應(yīng)該幫助學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”，“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”；他特別重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力， 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)思維訓(xùn)練，要發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，發(fā)展技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣，他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳授知識(shí)，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力”.教師要“教學(xué)生證明問題”，也要“教他們猜想問題”.波利亞提出“合情推理”的概念，號(hào)召：“讓我們教猜想吧！”（2）在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”.波利亞不斷地提問、不斷地建議，“怎樣才能想出這樣的解答呢？” “我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢？”既驅(qū)使人

12、們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律.波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言中提出：“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)，可能是讀者解出一道題 的時(shí)候，或是閱讀它的解法的時(shí)候，也可能是閱讀解法形成過程的時(shí)候”.波利亞書中的例題，其實(shí)就是對(duì)典型例題進(jìn)行解題過程的分析，就是暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程，也就是教人“怎樣學(xué)會(huì)解題”.在例1中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡釋，使我們既領(lǐng)會(huì)到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動(dòng).波利亞對(duì)解題過程淋漓盡致的剖析，實(shí)質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué)或思維學(xué)的相關(guān)名詞， 基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗(yàn)的自然流露，數(shù)學(xué)功底和過程體驗(yàn)發(fā)揮了重要作用. 這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育

13、的優(yōu)勢(shì)，處處有數(shù)學(xué)的“真刀真槍”，絕非“紙上談兵”.波利亞說“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本”， 在“知識(shí)”與“組織良好”之間，波利亞更強(qiáng)調(diào)后者，他說“良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛更為重要.”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強(qiáng)調(diào)了 “原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”和“優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”對(duì)問題解決的基礎(chǔ)作用.6 . 3 開放型的念頭誘發(fā).波利亞解釋說：“我們表中的問題和建議并不直接提到念頭；但實(shí)際上，所有的問題和建議都與它有關(guān)（可以說解題表中的每一個(gè)問句，都是從認(rèn)知或元認(rèn)知的角度向讀者啟發(fā)解 題念頭.），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；擬訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之

14、后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，我們?cè)噲D更好地利用它.”他強(qiáng)調(diào)指出：“老師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個(gè)好念頭.”在怎樣解題一書里，出現(xiàn)“念頭”這個(gè)詞不下四五十次.念頭有什么用玻利亞說：“它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑”.“也許有些念頭會(huì) 把你引入歧途”，但這并不可怕，“在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會(huì)“突然閃出 一個(gè)好念頭"， 最糟糕的是沒有任何念頭，還“笨頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨，而不會(huì)做任何事情去加速其來到. ”這里說的念頭不僅在字面上比“問題表征”更為淺白，而且在內(nèi)涵上更為豐富， 其實(shí)質(zhì)是開展積極活躍的思維活動(dòng)，產(chǎn)生念頭與找

15、出解題途徑完全可以理解為同義語.那么產(chǎn)生念頭的基礎(chǔ)是什么呢被利亞的回答是：“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”.（解題力量）“如果我們對(duì)該論題知識(shí)貧乏， 是不容易產(chǎn)生好念頭的. 如果我們完全沒有知識(shí)， 則根本不可能產(chǎn)生好 念頭. ”波利亞一再提到“好念頭”，其實(shí)這就是直覺、頓悟或靈感，“想出一個(gè)好念頭是一種 靈感運(yùn)動(dòng)”，“想像力有了一個(gè)突然的跳躍，產(chǎn)生了一個(gè)好念頭，這是天才的一次閃爍”，“是我們觀點(diǎn)上的重大突變，我們看問題方式的一個(gè)驟然變動(dòng)，在解題步驟方面的一個(gè)剛剛露頭的有信心的預(yù)感”.波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動(dòng)的激發(fā)與激活.7 . 4 探索性的問題轉(zhuǎn)換這里說的“問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解

16、題一書中亦叫“變化問題”、“題目變更”，它 揭示了探索解題思路的數(shù)學(xué)途徑，也體現(xiàn)了解題策略的實(shí)際運(yùn)用.波利亞強(qiáng)調(diào)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)，我們變更問題. ” “變 化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關(guān)的元素接觸的新可 能性. ” “新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識(shí)的新可能性，它使我們做出有用接觸的希望死而復(fù)蘇.通過變化問題，顯露它的某個(gè)新方面，新問題使我們的興趣油然而生”.在“怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的30多個(gè)問句或建議：

17、把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題， 去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問 題，先解決一個(gè)更特殊的問題、 或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句，也往往與問題轉(zhuǎn)換有關(guān).“如果我們不用題目變更， 幾乎是不能有什么進(jìn)展的"一一這就是波利亞的結(jié)論.8 . 5 樸素的數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知觀念.元認(rèn)知是對(duì)認(rèn)知的再認(rèn)知，包括元認(rèn)知知識(shí)，元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控. 雖然元認(rèn)知概念提出較晚，但元認(rèn)知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認(rèn)知觀念.波利亞解題表的大量問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這 是解題者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對(duì)象針對(duì)

18、具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，屬于認(rèn)知性的；另一部分則以解題者自身為對(duì)象，屬于元認(rèn)知性的.比如，“你以前見過它嗎 ？” “你是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問題？” “這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.你能不能利用它 ？”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對(duì)解題主體、對(duì)其解題思維活動(dòng) 的反思，都屬于元認(rèn)知提問，而不完全是認(rèn)知提問.波利亞解題表中的“回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗(yàn)”，主要是有分析地領(lǐng)會(huì)所得的解法（參見例1的回顧），它包含著把“問題及其解法”（）徒簫對(duì)象進(jìn)行自覺反思的元認(rèn)知意圖.至于解題表本身所給出的解題程序 （一種程序性知識(shí)），所體現(xiàn)的解題策略（一 種策略性知識(shí)）及所進(jìn)行的元認(rèn)知提

19、問，都屬于元認(rèn)知知識(shí).波利亞對(duì)具體范例的分析，基 本上是對(duì)“問題及其解法”的再認(rèn)知，已反映出開發(fā)元認(rèn)知的樸素意圖.波利亞的另一些問句，如“你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？” “你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接 近？”（接近度，“你能不能一下子看出它來？” 0題感則屬于樸素的元認(rèn)知體驗(yàn).至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認(rèn)知調(diào)控.綜上所述，“解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架，"分析解題過程”是波利亞解題思想的思維實(shí)質(zhì)，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)，“問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解題思想的具體實(shí)現(xiàn)，樸素的元認(rèn)知觀念是波利

20、亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ).而這一切的背后， 豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)是波利亞解題思想的物質(zhì)基礎(chǔ)，現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解題思想的靈魂，揭示“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標(biāo).9 波利亞解題研究的發(fā)展10 . 1 反思數(shù)學(xué)上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法，在邏輯實(shí)證主義占主導(dǎo)地位的歷史時(shí)期，關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻(xiàn)就在于自覺承擔(dān)起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任， 并提出合情推理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ).20世紀(jì)80年代初期，美國(guó)數(shù)學(xué)教育界興起的“問題解決”研究是對(duì)波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承，曾經(jīng)有“對(duì)波利亞的重新發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學(xué)啟發(fā)法幾乎成了問題解決的同義詞

21、”等提法.但是，已有數(shù)學(xué)實(shí)踐卻未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則，或者說已執(zhí)行了解題表的建議，卻仍不能有效地解決問題， 這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思.（1）波利亞構(gòu)建的“四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于“四階段”對(duì)學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”而言是不是有點(diǎn)簡(jiǎn)單化了初數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡(jiǎn)潔描述的復(fù)雜得多.（2）數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評(píng)價(jià)都不算過分，但啟發(fā)法能 不能看成影響問題解決能力的惟一要素？ +媚談法”之外可能還有更多的因素需要重視（如“元認(rèn)知調(diào)節(jié)”、“觀念”等 ），“好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的

22、角度做出更 為自覺的分析.（3）波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強(qiáng)調(diào)解題實(shí)踐是一個(gè)值得繼承的研究方向（與那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對(duì)照，也與那些對(duì)中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過關(guān)的研究者形成鮮明對(duì)照），但局限于“解題”、專注于技能技巧是不是狹窄了點(diǎn)？至少“問 題發(fā)現(xiàn)（提出）"、“實(shí)際應(yīng)用”都與解決問題有同樣的重要性.11 . 2 發(fā)展近十幾年來，通過反思和對(duì)解題實(shí)踐活動(dòng)的深入考察，數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在“問題解決”的全過程和“高級(jí)數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機(jī)制等研究方面取得了新的進(jìn)展，中國(guó)式的“問題解決”也初成特色，這些都構(gòu)成了對(duì)波利亞的超越.（1 ）美國(guó)學(xué)者舍費(fèi)爾德在名著數(shù)學(xué)解題一書中，提出了一個(gè)新的理論框架，描述 了復(fù)雜的智力活動(dòng)的四個(gè)不同性質(zhì)的方面.認(rèn)識(shí)的資源.即解題者所已掌握的事實(shí)和算法；啟發(fā)法.即在困難的情況下借以取得進(jìn)展的“常識(shí)性的法則”；調(diào)節(jié).它所涉及的是解題者運(yùn)用已有知識(shí)的有效性（即現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中所說的元認(rèn)知）；信息系統(tǒng).即解題者對(duì)于學(xué)科的性質(zhì)和應(yīng)當(dāng)如何去從事工作的看法.（2）中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國(guó)的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究，20世紀(jì)80年代，隨著美國(guó)“問題解決” 口號(hào)傳入中國(guó)，波利亞的解題理論受到了重視也得到了 發(fā)展.早在20世紀(jì)40年代，波利