經(jīng)典：周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)

1、2021/8/61廣東白云學(xué)院廣東白云學(xué)院通信工程系通信工程系楊新盛楊新盛 E-mail: E-mail: Signal and SystemSignal and System2021/8/623.3 3.3 周期信號的周期信號的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)1. 1. 周期信號的傅立葉級數(shù)分析周期信號的傅立葉級數(shù)分析)(tf根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號條件的周期連續(xù)信號可展開為三角傅里葉級數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)?？烧归_為三角傅里葉級數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)。狄氏條件：狄氏條件：（1 1）在一周期

2、內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，間斷點的數(shù)目有限；（2 2）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；）在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；（3 3）在一周期內(nèi)，）在一周期內(nèi)，dttfTtt11)(電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當電子技術(shù)中的周期信號大都滿足狄氏條件，當 滿足滿足狄氏條件時，狄氏條件時， 才存在。才存在。nnnFba,)(tf2021/8/63 周期信號的周期信號的傅立葉傅立葉級數(shù)級數(shù)周期信號周期信號f f（t t）展開為三角傅立葉級數(shù)）展開為三角傅立葉級數(shù)設(shè)設(shè) 是周期為是周期為T T的函數(shù)的函數(shù) tnbtnaatfnnn1110sincos2)( TttdttfTa11

3、)(20 TttnTttntdtntfTbtdtntfTa111111sin)(2cos)(2 ,.sin,.2sin,sin,.,cos.,2cos,cos, 1111111tntttntt?三角函數(shù)集：三角函數(shù)集：)(tf2021/8/64直直流流分分量量20a稱為基波分量，次諧波分量稱為，tbtantnbtnannn11111sincos1nsincos111101110)cos(2sincos2)(nnnnnntnAatnbtnaatf)cos(sincossincos11111nnnnnnnnnntnAtnAbAtnAaAtnbtna22nnnbaAnanbnnnnabtg1 周期信

4、號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/65 根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號條件的周期連續(xù)信號 都可表示為都可表示為無限多個、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號的加權(quán)無限多個、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號的加權(quán)和，若和，若 其中，其中， 為任何整數(shù)，為任何整數(shù)， 為周為周期，期， 為基頻，為基頻， 為相應(yīng)的角頻率，則為相應(yīng)的角頻率，則 tf kTtftfkTTf11Tf2211 10101jntnntTjntntf tF eFf t edtT 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2

5、021/8/66 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2 2、周期信號、周期信號f f（t t）展開為復(fù)指數(shù)付里葉級數(shù)）展開為復(fù)指數(shù)付里葉級數(shù)ntnjntjnneetf11nnA21F)(dtetfTeAFtnjTttjnnn111nnnnnn)(1jb-a21sinjA-cosA2121nnnnnntnjtnjntnjtnjeeAatfeetn111110122)(21cos證明：證明：2021/8/67 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)，的奇函數(shù)）是（的偶函數(shù)）是（又022nn0000n-0nnAAAabaAbnnntnjjntnjneeetfnn11nnA21A21)(故間之

6、外？集中分量之和，至于區(qū)內(nèi)可表示為正交函數(shù)只在以上討論)()(f1,1Tttt )(111111)(sinsin)(coscoskTtjntnjeekTtntnkTtntn 都可展開為付里葉級數(shù)內(nèi)，在)(tft2021/8/68 用用FSFS分析是對周期信號進行諧波分解，即分析是對周期信號進行諧波分解，即用諧波加權(quán)和來合成信號，因此，用諧波加權(quán)和來合成信號，因此，F(xiàn)SFS分析又稱為諧波分析。分析又稱為諧波分析。 1jntnnf tF e 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2100sin)(40TttnntdtntfTba，的對稱條件)(tf），縱軸對稱（偶函數(shù))()(tftf），半半周周

7、鏡鏡像像（奇奇諧諧函函數(shù)數(shù))2()(Ttftf ），半周重疊（偶諧函數(shù))()(2Ttftf，原點對稱（奇函數(shù)）)()(tftf展開式中系數(shù)特點2100cos)(40TttnntdtntfTab，和偶次諧波無奇次諧波，只有直流諧波分量無偶次諧波，只有奇次周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。周期信號的對稱性與付立葉系數(shù)的關(guān)系。FFFF2021/8/69 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù))()(tftf下形式在一個周期內(nèi)可寫為如022202tTtTETttTE0nbtf是偶函數(shù)，故)(EtdtTEtdtTETdttfTaTTTT)(02202202222.1出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖

8、所示，有一偶函數(shù)，其波形例)(tftTT2T2TE解解: :2021/8/610 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù))()(1122nnE)()()(為偶數(shù)為奇數(shù)nnnE042tTnnEEtfn214253122cos)(,E24E294E2254E0111315nAsin1sin8)2(cos241201201121120tdtntnntTETtdtntTETaTTTn2021/8/611 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)222TtTtTtftf)()(下形式在一個周期內(nèi)可寫為如0natf是奇函數(shù)，故)()(tft1T出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫如圖所示，有一奇函數(shù)，其波形例

9、2解解:2021/8/612tTnntfnn211211sin)()(20111314nA13221121201211121201120) 1(2)sin)(1cos(8sin24)2(sin)(4nTTTnntnntnntTtdtntTTTtdtntfTb 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/613 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù))()(tftf下形式在一個周期內(nèi)可寫為如42424442442TtTtTTtTtTTtTtTt)(tfT2T4T12T0cos)42(cos4cos)42(2cos)(2124144142221tdtntTtdtntTtdtntTTtd

10、tntfTaTTTTTTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫形如圖所示，有一奇諧函數(shù)，其波例3解解: :2021/8/614sin)42(sin44)2(sin)(41241401120tdtntTtdtntTTTtdtntfTbTTTTn?nnnn0) 1(821222sin8cos4)sin)(1cos()sin)(1cos(16222411241211140121112nntnTntnntnnttnntnntTTTTTT 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/615 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)、 21211821212jtTnntfjnnsin)()(280

11、11nA298225813152021/8/6164T2TTtE)(tf00)23sin2(sin)2sin143sin14sin1(2)coscos(21111114321401nnnETnnTnnTnnTEtdtnEtdtnETaTTTn出其頻譜圖求其傅立葉展開式并畫形如圖所示，有一偶諧函數(shù)，其波例4解解: : 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/617、 212sin12)(2jtTnnEtfjn)cos1 ()cos23cos12(cos)sinsin(24321401nnEnnnnEtdtnEtdtnETbTTTn為偶數(shù)為奇數(shù)nnEn20E012nA2E3E1416

12、 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/618周期信號的頻譜周期信號的頻譜 為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，為了能既方便又明白地表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。一、一、 頻譜圖的概念頻譜圖的概念由上一節(jié)知周期信號由上一節(jié)知周期信號f f（t t）可用付里葉級數(shù)來表示。）可用付里葉級數(shù)來表示。110)cos(2)(nnntnAatf或或njnntjnneAFetf21F)(1n相位頻譜的關(guān)系圖（線圖）與幅度頻譜的關(guān)系圖（線圖）與11nnAnn 周期信號的

13、傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/619二二 、典型周期信號的頻譜、典型周期信號的頻譜周期矩形脈沖信號F（t）22TtT：脈沖周期：脈沖寬度A：脈沖幅度第一步：首先展開為三角形式的傅立葉級數(shù)f(t)是偶函數(shù)bn=0AT222222)(20TAAdtTdttfTTTa12T：三角函數(shù)公共周期 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/620)(2sin2sin2cos)(2122TnSaTATnTnTATnnAtdtntfTTTna第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)第二步：展成指數(shù)形式付里葉級數(shù)FSFS)cos()(2)(11tnTnSaTATAtfn )cos()2(2111

14、tnnSaTATAn)2(11221nSaTAdtATeFtjnnetjnnnSaTAtf1)2()(1 函數(shù)的公共周期稱為三角:21 Tsin()()tf tS tt 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/621當當 時時第三步：頻譜分析第三步：頻譜分析)(2)2(2122TnSaTAnSaTAabaAnnnnAn與與之比值有關(guān)，取之比值有關(guān)，取 T)()2(1TnSaTAnSaTAFn51TAnFn與與包絡(luò)線均為包絡(luò)線均為)2(1 nSa1 n為離散頻率為離散頻率n,.2,20)2(Sa即即n2,.4,20)2(Sa 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/6

15、22計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)計算第一個振幅為零的諧波次數(shù)n n)51(5222211 TTnTnTn 取即帶入得將令1 TA22412 13 14 15 An幅度頻譜圖幅度頻譜圖2431tttSasin)(抽樣函數(shù)234 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/623abtgnnn10 an00an)2(221nSaTAFeAAnjNnn&n0)2(1 nSa0)2(1 nSa0Fn0Fn0即即?eFnjnnA21015n相位頻譜圖相位頻譜圖16110 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/6241 2412 13 14 15 Acnn21TA24-第

16、四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與第四步：討論頻譜結(jié)構(gòu)與 、T T 的關(guān)系的關(guān)系T01 0TAT 21 TA當非周期信號連續(xù)頻率1 n非周期信號連續(xù)頻譜 此例中此例中 為一實數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合為一實數(shù)。幅度頻譜與相位頻譜可以合畫在一張圖上。畫在一張圖上。)2(nSaTAFn110 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/6255T10T 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/626對于一般頻譜，常以對于一般頻譜，常以0 0頻率開始頻率開始 振幅將為包絡(luò)線振幅將為包絡(luò)線最大值的最大值的1/101/10的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度的頻率之間的頻帶定義為信號的頻帶寬度2.2.當當T T不變，不變， 減小時減小時TAT T不變不變間隔不變間隔不變振幅為振幅為0 0的諧波頻率的諧波頻率1BfBf2B,.,423.3.頻帶寬度的定義頻帶寬度的定義對于周期矩形信號，一般對于周期矩形信號，一般或周期矩形信號的時間特性周期矩形信號的時間特性：f(t)變化快 f(t)變化慢頻率特性：頻率特性：變化快的信號必然具有較寬的頻帶。變化快的信號必然具有較寬的頻帶。T 21 B 周期信號的傅立葉級數(shù)周期信號的傅立葉級數(shù)2021/8/627周期信號的頻譜特點周期信號的頻譜特點(1)(1)離散性離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間譜線是離散的