奧數講解及解析——絕對值與非負數

1、絕對值與非負數例1、已知a, b, c為非零有理數，且 a+b+c=O,求母牛占彩的值。a|b| b |c | c |a |解：.a, b, c為非零有理數，且 a+b+c=O,.這三個數中既有正數又有負數，不妨設a>0, c< 0當 b>0 時，原式=生+一"+二£2=1 - 1 - 1=- 1；3b - be ac當 b<o時，原式-ac= - 1+1 - 1=- 1.- ab - be ac例 2、若 a、b、c 為整數且 |a - b| 19+|c - a| 95=1,求 |c a|+|a - b|+|b - a| 的值。解：(1)當 a b

2、=0 時，c- a=1,.b - a=0,.c- a|+|a- b|+|b - a|=1;(2)當 a- b=1 時，c- a=0,.b - a=1,|c- a|+|a - b|+|b - a|=2例 3、已知 x>0, y< 0, z<0,且 |x| >|y| , |z| > |x| ,化簡 |x+z| - |y+z| - |x+y|。解：根據題意，可得 x+z< 0, y+z< 0, x+y > 0,則|x+z|= - ( x+z), |y+z|= - ( y+z), |x+y|=x+y ,原式=-(x+z) + (y+z) - ( x+y)

3、 =- 2x例 4、已知 2b - a<3, 2a- b<5,化簡一|2b - a- 7| - |b - 2a+8|+|a+b - 9|。解：由題意得：2b-a<3，2a-bv5， + 得：a+b<8(D ,-2b- a - 7 - b+2a- 8+9 - a- b= - 6.例 5、若 x=- 0.239,求 |x 1 |+|x - 3|+ ,+|x- 1997| |x| |x - 2| |x - 1996| 的值。解：x= - 0.239,-.|x- 1 |+|x - 3|+ , +|x 1997| - |x| - |x - 2| - |x - 1996|=1 -

4、x+3 - x+ , +1997 - x - (- x) - ( 2 - x) - ( 1996 - x)=1 - 2+3- 4+ - - 1996+1997=999例 6、化簡：20 V 20x 3 220解：(20x-3)2 為非負數，-(2Ox-3)2wo.又4 20X 3 2 有意義，-(20x-3)2>0. 由，可得：-(2Ox-3)2=o. .原式=| | 20±0 | + 20 | =40.例7、已知a2 b2 4a 2b 5 0,求代數式b 的值。3b 2. a2222._2 一 .2 一解： a b 4a 2b 5 0 , . a 4a 4 b 2b 1 0

5、,即 a 2 b 1022a 20且 b 10,a=2, b=1.幾十b、尼'寸1& + 1J3b - 2 或 J3-2V2 72-272 +1 y/2 + 1-J2 + 1=(應+ 1 尸=3 + 26例8、求滿足方程| a-b I +ab=1的非負整數a, b的值.解：由于a, b為非負整數，所以:a-b Ir|a-b I = 0,北=1;解得:例 9、已知實數 a, b, c, r, p 滿足 pr> 1, pc-2b+ra=0,求證：一元二次方程 ax2+2bx+c=0必有實數根.證明： 由已知得 2b=pc+ra ,所以 =(2b) 2-4ac=(pc+ra)

6、2-4ac=p2c2+2pcra+r 2a2-4ac =p2c2-2pcra+r 2a2+4pcra-4ac=(pc-ra) 2+4ac(pr -1).由已知 pr-1 >0,又(pc-ra) 2>0,所以當 ac>0 時，0;當 acv0 時，也有 =(2b) 2-4ac>0.綜上，總有0,故原方程必有實數根.1例10、已知a>0, b>0,求證：-a 2證明：對要求證的不等式兩邊分別因式分解有由不等式的性質知道，只須證明5 g + 功）VS,沆4b-q * +、樂b2 1 a b a. b b. a4'-a b2 - a b a. b b、a24

7、,b20,所以 1ab Vab2因為a> 0, b>0,所以a所以a b2瓶 Jb,原不等式成立2A組練習題:1、a取什么值時，根式 ,(a 2)(|a| 1)v(a 2)(1 |a|)有意義？2、要使等式(2- 1x) 2+ 16 8x=0成立,求x的值、 3x 43、求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數根4、當a, b取什么實數時，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實數根?求實數x1, X2,，xn的值.B組練習題： 1、已知 x2+3|y-1|=x-,求代數式 4x2-3y+1 之值。42、設x, y, a都是實數，并且|x|=1 -a,

8、 |y|= (1 -a) (a-1-a2).試求|x|+y+a 3+1的值等于多少？111abe,一3、已知a,b, c 為整數，且a2 +b2 + C2+48v4a +6b+ 12c,求(一一一)的值。abc已知 a1 2a33a2 ,a22a43a3 ,a32a53a4,，a82a103a9,a92aI 3a0, a102a2 3al 和 a1+a2+a3+a4+as+ a6+a7+a8+a9+a10=100,求 a1, 32, a3, a4,as,a6, a7, a8, a9,a10的值。5、若兩數絕對值之和等于絕對值之積，且這兩數都不等于0.試證這兩個數都不在-1與-之間.A組練習題答

9、案:1、解：二次根式的被開方數 (a-2)( a 1)與(a 2)(1 a)都是非負數，且(a2)(a 1)與(a 2)(1 a)是互為相反數,(a-2) ( a 1) =0. - a 2=0；或 a 1 =0. a1=2,a2=1,a3= 1 1.1 cX2 16 8x2、解：要使原等式成立.(2- -x) 2>0,-<0.3x 42x 16 8xx 4=-1 , (x 4W0)(2 - lx) 2=1,且 x-4<0. 3到/日x= 3或x解得x 4x=3 .,1 2即 -3x)2 1x 4 03、證明：把方程左邊分組配方，得(x4+2x2+1) +(x2+2x+1)+4

10、=0 即(x2+1) 2+(x+1)2= 4(x2+1) 2>0, (x+1)2>0,(x2+1) 2+(x+1)2>0.但右邊是-4. .不論x取什么實數值，等式都不能成立.，方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數根.4、解：當0時，方程有實數根.解如下不等式：2 (1 + a) 2-4(3a2+4ab+4b2+2)>08a2 16ab 16b2+8a 4 A0,2a2+4ab+4b22a+1W0,(a+2b) 2+(a 1)2W0 (a+2b) 2>0 且(a-1)2>0,得(a+2b) 2+(a-1)2>0 只有當(a+2b) 2=0且(a1)2

11、=0 不等式和才能同時成立 .，當 a=1 且 b=；時，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有實數根.5、解 顯然，x1=x2=- =xn=0是方程組的解.由已知方程組可知，在 x1, x2,，xn中，只要有一個值為零，則必有x1=x2=xn=0.所以當x1W0, x2W0,，xnW0時，將原方程組化為將上面n個方程相加得口才心卜小心E g J Un又因為Xi為實數，所以(-1) a>0 (i = l, 2,)，所以(上)3 - Oi Xj = 1 Ci = 1- 2，n). 麗經檢驗，原方程組的解為21 2x =-(x 2)B組練習題答案:11、解：將已知

12、等式變形得：3|y-1|=x-41 2因為-(x -) <0,即 |y-1| W0,2根據絕對值的意義|y -1| >0由、得，y-1=0, /. y=1o此時,x=1 ,.4x2-3y+1=4(；)2-3X 11+1=-12、解：|x|=1 -a>Q a2>0, (-la)2>01 |y|= (1 -a) (a-1-a2)=-(i-a)2-(1-a) -(1 -a)2+ (1 -a)-2又由絕對值的意義得：|y| > o既要滿足又要滿足，只有y=0,即：(1-a) (a-1-a2)=0, a-1-a2=-(a-產+241-a=0, a=1.故：|x|+y+

13、a 3+1=1-1+0+13+1=2.3、解：由 a2 + b2 + c2 + 48< 4a + 6b + 12c, 顯然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2>0,又由 a, b, (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。所以 a=2, b=3,c=6.可得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<1,為整數，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2為整數，于1 111 、abc()abc1 111、abc()=1 .2364、解：將已知的10個式子整理得,a?3a23a3L2a32a4a。3a103al2al2a2再將上述10個式子的左邊相加，其和為0。因為這10個式子的左邊都是非負數，所以這10個式子的左邊都等于0。即a23a23a3 L2a32a4a2a32(a2 2(a3La3)a4)ag3a103al2&2a2aga10a102(a102(a1a1)az)所以 a-a2=2(a2-a3)=22 (a3-a4)=29(a10-a1)=210(a1-a2),于是(210-1