第四章平面問題的有限單元法

1、彈性力學的平面應力問題 基本條件基本條件 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板； （2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變；作用于體內(nèi)，平行于板的中面，沿板厚不變； （3 3）面力面力作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變；作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變； （4 4）約束約束作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。作用于板邊，平行于板的中面，沿板厚不變。彈性力學的平面應力問題坐標系：坐標系：由于兩板面上無面力和由于兩板面上無面力和約束作用：約束作用：0,2zzyzxz由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無由于薄板很薄，應力是連續(xù)變化的，又無z z向外力，可認為：向外力，可

2、認為：(在V中) , 0,zyzxz簡化為平面應力問題，僅剩：簡化為平面應力問題，僅剩：xyyx, ,其值與其值與z z無關無關彈性力學的平面應變問題基本條件基本條件（1 1）很長的）很長的常截面柱常截面柱；（2 2）體力體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；作用于體內(nèi)，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（3 3）面力面力作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變；（4 4）約束約束作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。作用于柱面，平行于橫截面，沿柱體長度方向不變。彈性力學的平面應變問題坐標系：坐標系： 由于由于截面、外力、約

3、截面、外力、約束沿束沿z z 向不變，外力、向不變，外力、約束平行約束平行xyxy面，柱體面，柱體非常長非常長：故任何故任何z z 面面（截面）均為對稱面。（截面）均為對稱面。簡化為平面應變問題：簡化為平面應變問題：其值與其值與z z無關無關oxzyozxy（平面位移問題）只有 ; , 0u,vw（平面應變問題）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw平面應力單元類型平面應力單元類型簡介平面應力單元類型簡介3 3節(jié)點三角形單元節(jié)點三角形單元4 4節(jié)點節(jié)點4 4邊形單元邊形單元8 8節(jié)點節(jié)點4 4邊形曲邊單元邊形曲邊單元節(jié)點位移分量節(jié)點位移分量每節(jié)點每節(jié)點2 2個位移分量（自

4、由度）個位移分量（自由度）x x方向的位移方向的位移u u，y y方向的位移方向的位移v v單元位移分量（單元位移分量（4 4節(jié)點）節(jié)點）jik三角形單元三角形單元單元單元ekijl單元單元e四邊形單元四邊形單元123456788節(jié)點單元節(jié)點單元單元單元e Tllkkjjiievuvuvuvu平面應力單元網(wǎng)格劃分應力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應密一些應力梯度變化比較大的地方，網(wǎng)格應密一些有應力集中的地方，網(wǎng)格應密一些有應力集中的地方，網(wǎng)格應密一些單元邊界長度不要相差過大單元邊界長度不要相差過大單元各邊夾角不要太大單元各邊夾角不要太大集中載荷處要設置節(jié)點集中載荷處要設置節(jié)點結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要

5、設置節(jié)點并作為單元邊界結(jié)構(gòu)不同材料交界面處要設置節(jié)點并作為單元邊界結(jié)構(gòu)厚度突變處要設置節(jié)點并作為單元邊界結(jié)構(gòu)厚度突變處要設置節(jié)點并作為單元邊界分布載荷突變處要設置節(jié)點分布載荷突變處要設置節(jié)點施加位移約束處要設置節(jié)點施加位移約束處要設置節(jié)點注意單元間的連接注意單元間的連接平面應力單元網(wǎng)格劃分設置節(jié)點設置節(jié)點設置節(jié)點設置節(jié)點材料材料A材料材料B界面界面這樣不行這樣不行病態(tài)單元病態(tài)單元a-邊長差別太大邊長差別太大b-邊長差別太大邊長差別太大c-邊夾角太大邊夾角太大 abc單元節(jié)點信息節(jié)點信息節(jié)點信息節(jié)點號xyz100021003200421051106010700.50810.50920.50單元拓

6、撲信息單元拓撲信息單元號節(jié)點i節(jié)點j節(jié)點k節(jié)點l材料編號其它常數(shù)112871278561358941439881582331單元位移函數(shù)（位移模式）單元位移模式概念單元位移模式概念單元內(nèi)任一點的位移要用節(jié)點上的位移值近似表達出來，這單元內(nèi)任一點的位移要用節(jié)點上的位移值近似表達出來，這就需要假定一個近似函數(shù)來表示單元內(nèi)的位移分布，所選擇就需要假定一個近似函數(shù)來表示單元內(nèi)的位移分布，所選擇的近似函數(shù)就稱為單元位移函數(shù)或單元位移模式。的近似函數(shù)就稱為單元位移函數(shù)或單元位移模式。對于彈性力學平面問題，一般選擇多項式對于彈性力學平面問題，一般選擇多項式 ( polynomial ) ( polynomi

7、al ) 來作為單元內(nèi)的位移解或插值函數(shù)或位移模式。來作為單元內(nèi)的位移解或插值函數(shù)或位移模式。342321)(xxxxunmyyxyxyxyxu26524321),(nmyyxyxyxyxv26524321),(三角單元的位移函數(shù)節(jié)點上只有六個位移分量，所以節(jié)點上只有六個位移分量，所以單元內(nèi)部位移函數(shù)的待定參數(shù)不單元內(nèi)部位移函數(shù)的待定參數(shù)不能超過這個數(shù)目?？杉僭O單元內(nèi)能超過這個數(shù)目?？杉僭O單元內(nèi)部位移為部位移為x x、y y的線性函數(shù)：的線性函數(shù)：參數(shù)參數(shù)ai由位移邊界條件確定。由位移邊界條件確定。三角單元的位移函數(shù)節(jié)點節(jié)點i i節(jié)點節(jié)點j j節(jié)點節(jié)點k k于是：于是：jjjjjjjjjjya

8、xaavyxvyaxaauyxu654321),(),(kkkkkkkkkkyaxaavyxvyaxaauyxu654321),(),(iiiiiyaxaavyxv654),(iiiiiyaxaauyxu321),(三角單元的位移函數(shù)如果令如果令則：則：根據(jù)線性代數(shù)的知識，可知：根據(jù)線性代數(shù)的知識，可知：三角單元的位移函數(shù)T T* *為為T T的伴隨矩陣的伴隨矩陣其中：其中：三角單元的位移函數(shù)把求得的系數(shù)把求得的系數(shù)代入位移函數(shù)公式：代入位移函數(shù)公式：得到：得到：kkkkjjjjiiiiuyxuyxuyxyxu1),(kkjjiiuNuNuN31iiiuN三角單元的位移函數(shù)表達為矩陣形式：表達

9、為矩陣形式：這里：這里：N Ni i,N,Nj j,N,Nk k是坐標的函數(shù)，它們反映了單元的位移形態(tài)，故是坐標的函數(shù)，它們反映了單元的位移形態(tài)，故稱為三角單元的稱為三角單元的形態(tài)函數(shù)形態(tài)函數(shù)（或（或形函數(shù)形函數(shù)）三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)具有明確的幾何意義：形函數(shù)具有明確的幾何意義：如圖所示三角單元如圖所示三角單元IJKIJK，P P為三角單為三角單元內(nèi)任意一點，其坐標為元內(nèi)任意一點，其坐標為( (x x, ,y y) )P P點在三角單元各角點上產(chǎn)生的形點在三角單元各角點上產(chǎn)生的形函數(shù)分別是函數(shù)分別是N Ni i,N,Nj j,N,Nk kyxyxNiiii1),(kkjjiikkjjyxy

10、xyxyxyxyx111111同理：同理：三角單元的位移函數(shù)位移函數(shù)運用示例：位移函數(shù)運用示例：已知各節(jié)點位移為：已知各節(jié)點位移為：求求P P點位移點位移三角單元的位移函數(shù)于是：于是：三角單元的位移函數(shù)形函數(shù)的本質(zhì)形函數(shù)的本質(zhì)三角形單元形函數(shù)的性質(zhì)三角形單元形函數(shù)的性質(zhì)位移函數(shù)應滿足的條件應滿足：應滿足：單元內(nèi)位移模式必須是連續(xù)的，公共邊上位移必單元內(nèi)位移模式必須是連續(xù)的，公共邊上位移必須協(xié)調(diào)須協(xié)調(diào)位移模式必須反映單元的剛體位移位移模式必須反映單元的剛體位移位移模式必須反映單元的常應變位移模式必須反映單元的常應變可以證明三節(jié)點三角形單元是收斂的可以證明三節(jié)點三角形單元是收斂的完備單元和協(xié)調(diào)單元

11、三條準則：三條準則：1 1、位移模式必須包含單元的剛體位移、位移模式必須包含單元的剛體位移2 2、位移模式必須能包含單元的常應變、位移模式必須能包含單元的常應變3 3、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必、位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)須協(xié)調(diào)滿足條件滿足條件1 1、2 2的的單元為單元為完備單元完備單元滿足條件滿足條件3 3的的單元為單元為協(xié)調(diào)單元協(xié)調(diào)單元應變的離散過程 應變的離散過程應變的離散過程 根據(jù)彈性力學中的幾何關系，單元內(nèi)任一點根據(jù)彈性力學中的幾何關系，單元內(nèi)任一點(x,y(x,y) )的應變表達的應變表達式為式為矩陣形式矩陣形式應變的離散過程 應變的

12、離散過程應變的離散過程 單元內(nèi)任一點單元內(nèi)任一點(x,y(x,y) )的位移的位移(u,v(u,v) )可以采用節(jié)點位移近似表示：可以采用節(jié)點位移近似表示： 將其代入應變表達式，則將其代入應變表達式，則應變的離散過程 應變的離散過程應變的離散過程 簡寫為：簡寫為： B B也稱為也稱為“應變矩陣應變矩陣” ” 應變的離散過程 應變的離散過程應變的離散過程 B B矩陣中的所有元素已經(jīng)由三角形單元的節(jié)點坐標確定。矩陣中的所有元素已經(jīng)由三角形單元的節(jié)點坐標確定。 應變在單元內(nèi)為常數(shù)，所以又稱為常應變單元。應變在單元內(nèi)為常數(shù)，所以又稱為常應變單元。 應力的離散過程 應力的離散過程應力的離散過程應力的離散

13、過程 應力的離散過程應力的離散過程虛位移與虛應變 我們已經(jīng)知道了應變與位移的關系我們已經(jīng)知道了應變與位移的關系 則會發(fā)生虛應變則會發(fā)生虛應變虛功原理建立控制方程 外力虛功等于內(nèi)力虛功。外力虛功等于內(nèi)力虛功。虛功原理建立控制方程 外力虛功等于內(nèi)力虛功。外力虛功等于內(nèi)力虛功。剛度矩陣 如果將求解域劃分為多個單元，則如果將求解域劃分為多個單元，則單元剛度矩陣三節(jié)點等厚三角形單元中三節(jié)點等厚三角形單元中B B和和D D的分量均為常量，的分量均為常量，則單元剛度矩陣可以表示為則單元剛度矩陣可以表示為單元剛度矩陣單元剛度矩陣的物理意義單元剛度矩陣的物理意義單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣的

14、性質(zhì)此矩陣為奇異矩陣此矩陣為奇異矩陣意義：沒有對節(jié)點施加位移約束，所以單元產(chǎn)生任何的剛性位移意義：沒有對節(jié)點施加位移約束，所以單元產(chǎn)生任何的剛性位移都是可以的，由力得不到位移的唯一解。都是可以的，由力得不到位移的唯一解。性質(zhì)性質(zhì)4 4：此矩陣的各行元素之和為零，由于對稱性，各列元素之和：此矩陣的各行元素之和為零，由于對稱性，各列元素之和也為零。也為零。整體剛度矩陣的形成單元剛度矩陣形成后，要將單元組成一個整體結(jié)構(gòu)，即整體分析，單元剛度矩陣形成后，要將單元組成一個整體結(jié)構(gòu)，即整體分析，基本方法是基本方法是剛度集成法剛度集成法，即整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。，即整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集

15、成。整體剛度矩陣的集成是按整體剛度矩陣的集成是按對號入座對號入座的方式疊加的。的方式疊加的。用下面的三角形薄板作為示例：用下面的三角形薄板作為示例：共計共計4 4個單元，單元節(jié)點編號為：個單元，單元節(jié)點編號為：整體剛度矩陣的形成各個單元的剛度矩陣為：各個單元的剛度矩陣為：整體剛度矩陣的形成設單元節(jié)點總數(shù)為設單元節(jié)點總數(shù)為N N，每個節(jié)點的自由度數(shù)為，每個節(jié)點的自由度數(shù)為NDOFNDOF。如果是二維問題，則總自由度數(shù)為如果是二維問題，則總自由度數(shù)為2N2N個，個，相應的整體剛度矩陣大小為相應的整體剛度矩陣大小為2N2N2N2N階方陣。階方陣。整體剛度矩陣的意義與性質(zhì)Kijij 表示表示j自由度發(fā)

16、生單位位移，其他位移為零時，自由度發(fā)生單位位移，其他位移為零時，第第i個自由度上必須施加的節(jié)點力。個自由度上必須施加的節(jié)點力?？傮w剛度矩陣總體剛度矩陣K K是帶狀稀疏矩陣。是帶狀稀疏矩陣。 整體剛度矩陣的存儲由于整體剛度矩陣具有對稱性、稀疏性和非零元素帶狀分布的由于整體剛度矩陣具有對稱性、稀疏性和非零元素帶狀分布的特點，所以沒有必要將全部的整體剛度矩陣進行存儲。特點，所以沒有必要將全部的整體剛度矩陣進行存儲。： 整體剛度矩陣的存儲各行的半帶寬各行的半帶寬D D怎么計算：怎么計算：整體剛度矩陣的存儲可用一維數(shù)組可用一維數(shù)組A A來存儲半帶寬內(nèi)的元素，而不必儲存所有元素。來存儲半帶寬內(nèi)的元素，而不必儲存所有元素。本例中：總帶寬本例中：總帶寬則可以采用如下方式存儲：則可以采用如下方式存儲：整體剛度矩陣的存儲最大半帶寬是多少？最大半帶寬是多少？Dmax=(10-6+1)=(10-6+1)2=102=10利用帶狀矩利用帶狀矩陣的特點和對稱性，只需要存儲以陣的特點和對稱性，只需要存儲以D D為固定寬度的元素，為固定寬度的元素， 。整體剛度矩陣的存儲*邊界條件的處理最好在集中力處設置節(jié)點最好在集中力處設置節(jié)點邊界條件的處理邊界條件的處理M是很大的數(shù)，遠大于是很大的數(shù)，遠大于其它元素如其它元素如M=1.0E+30計算結(jié)果的整理（1 1）求解整體結(jié)構(gòu)