第五單元數(shù)學廣角鴿巢問題

1、文檔從網(wǎng)絡中收集，已重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.5、數(shù)學廣角一一鴿巢問題單元分析一、教材分析：本教材專門安排“數(shù)學廣角”這一單元，向?qū)W生滲透一些重要的數(shù)學思想方法。 和以往的義務教育教材相比，這部分內(nèi)容是新增的內(nèi)容。本單元教材通過幾個直 觀例子，借助實際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問題”，使學生在理解“鴿巢問題”這一 數(shù)學方法的基礎上，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“鴿巢問題”加以 解決。在數(shù)學問題中，有一類與“存在性”有關的問題。在這類問題中，只需要確 定某個物體（或某個人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪個物體（或人）。 這類問題依據(jù)的理論我們稱之為“抽屜原理”。

2、“抽屜原理”最先是19世紀的德國 數(shù)學家狄利克雷運用于解決數(shù)學問題的，所以乂稱“狄利克雷原理”，也稱之為“鴿 巢問題”?！傍澇矄栴}”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。但“鴿巢 問題”的應用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到 一些令人驚異的結(jié)論。因此，“鴿巢問題”在數(shù)論、集合論、組合論中都得到了廣 泛的應用?！傍澇苍怼钡淖兪胶芏?，在生活中運用廣泛，學生在生活中常常遇到此類問 題。時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于“鴿巢原理”可以解決的范疇。能不 能將這個問題同“鴿巢原理”結(jié)合起來,是本次能否成功的關鍵。所以，在教學中， 應有意識地讓學生理解“鴿巢原理”的“一

3、般化模型”。六年級的學生理解能力、學 習能力和生活經(jīng)驗已達到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。教材選取的是學生熟悉的， 易于理解的生活實例，將具體實際與數(shù)學原理結(jié)合起來，有助于提高學生的邏輯 思維能力和解決實際問題的能力。二、三維目標：1、知識與技能：引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的過程， 初步了解“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。2、過程與方法：1）經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗、推理等活動 的學習方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。（2）學會與人合作，并能與人交流思維過程和結(jié)果。3、情感態(tài)度與價值觀：（1）積極參與探索活動，體驗數(shù)學活

4、動充滿著探索與創(chuàng)造。（2）體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學在實際生活中的作用，體驗學 數(shù)學、用數(shù)學的樂趣。（3）通過“鴿巢原理”的靈活應用，感受數(shù)學的魅力。（4）理解知識的產(chǎn)生過程，受到歷史唯物注意的教育。三、教學重點：應用“鴿巢原理”解決實際問題，引導學會把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題。四、教學難點：理解“鴿巢原理”，找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。六、課時安排：3課時鴿巢問題1課時“鴿巢問題”的具體應用-1課時練習課1課時第一課時鴿巢問題（1）（總第56課時）【教學內(nèi)容】最簡單的鴿巢問題（教材第68頁例1和第69頁例2）?！窘虒W目標】1 .理解簡單的鴿巢問題及鴿巢問題的一般形式，引導

5、學生采用操作的方法進 行枚舉及假設法探究“鴿巢問題”。2 .體會數(shù)學知識在日常生活中的廣泛應用，培養(yǎng)學生的探究意識?！局攸c難點】了解簡單的鴿巢問題，理解“總有”和“至少”的含義?！窘虒W準備】實物投影，每組3個文具盒和4枝鉛筆?！厩榫皩搿拷處煟和瑢W們，你們在一些公共場所或旅游景點見過電腦算命嗎？ “電腦算 命”看起來很深奧，只要你報出自己的出生年月日和性別，一按鍵，屏幕上就會 出現(xiàn)所謂性格、命運的句子。通過今天的學習，我們掌握了“鴿巢問題”之后，你 就不難證明這利“電腦算命”是非?？尚突奶频模遣豢上嘈诺墓戆褢蛄?。（板 書課題：鴿巢問題）教師：通過學習，你想解決哪些問題？根據(jù)學生回答，教師把

6、學生提出的問題歸結(jié)為：“鴿巢問題”是怎樣的？這里 的“鴿巢”是指什么？運用“鴿巢問題”能解決哪些問題？怎樣運用“鴿巢問題”解 決問題？【新課講授】L教師用投影儀展示例1的問題。同學們手中都有鉛筆和文具盒，現(xiàn)在分小組形式動手操作：把四支鉛筆放進 三個標有序號的文具盒中，看看能得出什么樣的結(jié)論。組織學生分組操作，并在小組中議一議，用鉛筆在文具盒里放一放。教師指名匯報。學生匯報時會說出：1號文具盒放4枝鉛筆，2號、3號文具盒均放0枝鉛 筆。教師：不妨將這種放法記為（4,0,0）。（板書：（4,0,0）教師提出：（4, 0，0）（0，4, 0）（0, 0，4,）為一種放法。教師：除了這種放法，還有其他

7、的方法嗎？教師再指名匯報。學生會有（4, 0, 0）（0, 1, 3） （2,2,0） （2,1,1）四種不同的方法。教師板書。教師：還有不同的放法嗎？教師：通過剛才的操作，你能發(fā)現(xiàn)什么？（不管怎么放，總有一個盒子里至少 有2枝鉛筆。）教師:“總有”是什么意思？（一定有）教師:“至少，有2枝什么意思?（不少于兩只，可能是2枝,也可能是多于2枝） 教師：就是不能少于2枝。（通過操作讓學生充分體驗感受）教師進一步引導學生探究：把5枝鉛筆放進4個文具盒，總有一個文具盒要 14word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡中收集，已重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.放進幾枝鉛筆？指名學生說

8、一說，并且說一說為什么？教師:把4枝筆放進3個 盒子里，和把5枝筆放進4個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。這是我們通過實際操作發(fā)現(xiàn)的這個結(jié)論。那么，我們能不能找到一種更 為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個結(jié)論呢？學生思考一組內(nèi)交流一匯報教師:哪一組同學能把你們的想法匯報一下？學生會說:我們發(fā)現(xiàn)如果每個盒子里放1枝鉛筆，最多放3枝,剩下的1枝不管 放進哪一個盒子里，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。教師:你能結(jié)合操作給大家演示一遍嗎?（學生操作演示）教師:同學們自己說說看，同桌之間邊演示邊說一說好嗎？教師:這種分法，實際就是先怎么分的？學生：平均分。教師:為什么要先平均分?（

9、組織學生討論）學生匯報：要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個盒子里一定至少有2枝”，先平均分，余 下1枝,不管放在哪個盒子里，一定會出現(xiàn)“總有一個盒子里一定至少有2枝”。這樣分，只分一次就能確定總有一個盒子至少有幾枝筆了？教師:同意嗎?那么把5枝筆放進4個盒子里呢?（可以結(jié)合操作，說一說）教師: 哪位同學能把你的想法匯報一下？學生乂一邊演示一邊說）5枝鉛筆放在4個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子 里至少有2枝鉛筆。師:把6枝筆放進5個盒子里呢?還用擺嗎？生:6枝鉛筆放在5個盒子里，不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。 師:把7枝筆放進6個盒子里呢?把8枝筆放進7個盒子里呢?把9枝筆放進8個 盒子里呢

10、?？教師：你發(fā)現(xiàn)什么？學生：鉛筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1,不管怎么放，總有一個盒子里至少有2枝鉛 筆。教師:你們的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎?（一樣）你們太了不起了!同桌互相說一遍。把 100枝鉛筆放進99個文具盒里會有什么結(jié)論？ 一起說。鞏固練習：教材第68頁“做一做”。A組織學生在小組中交流解答。B指名學生匯報解答思路及過程。2.教學例2。出示題目:把7本書放進3個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有幾 本書?請同學們小組合作探究。探究時，可以利用每組桌上的7本書?；顒右螅篴.每人限獨立思考。b.把自己的想法和小組同學交流。c.如果需要動手操作， 可以利用每桌上的7本書，要有分工，并要全面考慮問題。（

11、誰分鉛筆，誰當抽 屜，誰記錄等）d.在全班交流匯報。（師巡視了解各種情況）學生匯報。哪個小組愿意說說你們的方法？把你們的發(fā)現(xiàn)和大家一起分享，學生可能會 有以下方法：a.動手操作列舉法。學生：通過操作，我們把7本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放進3 本書。b.數(shù)的分解法。把7分解成三個數(shù)，有（7,0）, （6,1）, （5,2）, （4,3）四種情況。在任何一種 情況下，總有一個數(shù)不小于3。教師:通過動手擺放及把數(shù)分解兩種方法，我們知道把7本書放進3個抽屜， 總有一個抽屜至少放進幾本書?（3本）教師質(zhì)疑引出假設法。教師：同學們通過以上兩種方法，知道了把7本書放進3個抽屜，總有一個 抽屜至少放進

12、3本書，但隨著書的本數(shù)越多，數(shù)據(jù)變大，如：要把155本書放進 3個抽屜呢？用列舉法、數(shù)的分解法會怎么樣？（繁瑣）我們能不能找到一種適 用各種數(shù)據(jù)的方法呢？請同學們想想。板書:7本3個2本?余1本（總有一個抽屜里至少有3本書）8本3個2本?余2本（總有一個抽屜里至少有3本書）10本3個3本?余1本（總有一個抽屜里至少有4本書）師:2本、3本、4本是怎么得到的？生：完成除法算式。7+3=2本?1本（商加1）8+3=2本?2本（商加1）10+3=3本?？1本（商加1）師:觀察板書你能發(fā)現(xiàn)什么？學生：“總有一個抽屜里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。師:如 果把5本書放進3個抽屜里，不管怎么

13、放，總有一個抽屜里至少有幾本書？學生:“總有一個抽屜里至少有3本”只要用5-3=1本?2本，用“商+2”就可以 了。學生有可能會說：不同意!先把5本書平均分放到3個抽屜里,每個抽屜里先 放1本，還剩2本，這2本書再平均分，不管分到哪兩個抽屜里,總有一個抽屜里至少 有2本書，不是3本書。師:到底是“商+1”還是“商十余數(shù)”呢?誰的結(jié)論對呢?在小組里進行研究、討論、 交流、說理活動?？赡苡腥N說法:a.我們組通過討論并且實際分了分，結(jié)論是總有一個抽屜里 至少有2本書，不是3本書。b.把5本書平均分放到3個抽屜里，每個抽屜里先放1本,余下的2本可以在2 個抽屜里再各放1本,結(jié)論是“總有一個抽屜里至少

14、有2本書”。c.我們組的結(jié)論是5本書平均分放到3個抽屜里，“總有一個抽屜里至少有2 本書”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。教師:現(xiàn)在大家都明白了吧?那么怎樣才能夠確定總有一個抽屜里至少有幾 個物體呢？學生回答：如果書的本數(shù)是奇數(shù)，用書的本數(shù)除以抽屜數(shù)，再用所得的商加1, 就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至少有商加1本書”了。教師講解：同學們的這一發(fā)現(xiàn)，稱為“抽屜原理”，“抽屜原理”乂稱“鴿籠原理”, 最先是由19世紀的德國數(shù)學家狄里克雷提出來的，所以乂稱“狄里克雷原理”，也 稱為“鴿巢原理九這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應用?！俺閷显怼钡膽?用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且

15、常常能得到一些令人驚異的 結(jié)果。下面我們應用這一原理解決問題。提問：盡量把書平均分給各個抽屜，看每個抽屜能分到多少本書，你們能用 什么方式表示這一平均的過程呢？學生在練習本上列式：7+3=2?1。集體訂正后提問：這個有余數(shù)的除法算式說明了什么問題？生：把7本書平均放進3個抽屜，每個抽屜有兩本書，還剩一本，把剩下的 一本不管放進哪個抽屜，總有一個抽屜至少放三本書。引導學生歸納鴿巢問題的一般規(guī)律。a.提問：如果把10本書放進3個抽屜會怎樣？ 13本呢？b.學生列式回答。c.教師板書算式：10+3=3?1（總有一個抽屜至少放4本書）13+3=4?1 （總有一個抽屜至少放5本書）觀察特點，尋找規(guī)律。提

16、問：觀察3組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？引導學生總結(jié)歸納出：把某一數(shù)量（奇數(shù)）的書放進三個抽屜，只要用這個 數(shù)除以3,總有一個抽屜至少放進書的本數(shù)比商多一。提問：如果把8本書放進3個抽屜里會怎樣，為什么？8+3=2?2學生匯報。可能出現(xiàn)兩種情況：一種認為總有一個抽屜至少放3本書；一種 認為總有一個抽屜至少放4本書。學生討論。討論后，學生明白：不是商加余數(shù)2,而是商加1。因為剩下兩 本，也可能分別放進兩個抽屜里，一個抽屜一本，相當于數(shù)的分解(3,3,2)。所 以，總有一個抽屜至少放3本書。總結(jié)歸納鴿巢問題的一般規(guī)律。要把a個物體放進n個抽屜里，如果a+n=b?c (c/),那么一定有一個抽 屜至少放

17、(b+1)個物體?！菊n堂作業(yè)】教材笫69頁“做一做”。(1)組織學生在小組中交流解答。(2)指名學生匯報解答思路及過程。【課堂小結(jié)】通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？【課后作業(yè)】完成練習冊中本課時的練習。板書設計(4, 0, 0), (0, 1, 3), (2, 2, 0), (2, 1, 1)只要放進的鉛筆數(shù)比比筆筒數(shù)多，總有一個筆筒至少放進2支鉛筆。7 + 3 = 212+1=3教學反思：本節(jié)課讓學生經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的過程，初步了解了“鴿巢原理”， 并能夠應用于實際，學會思考數(shù)學問題的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。興趣是最 好的老師，導入新課時，我采用了 “搶板凳”的游戲，這游戲真實的反應了

18、 “鴿 巢原理”的本質(zhì)。通過游戲，即抓住了學生的注意力，讓學生覺得這節(jié)課要探究 的問題，好玩乂有意義。本節(jié)課，我還注重學生自主探索精神的培養(yǎng)。第二課時鴿巢問題(2)(總第57課時)【教學內(nèi)容】“鴿巢問題”的具體應用(教材第70頁例3)?！窘虒W目標】L在了解簡單的“鴿巢問題''的基礎上，使學生會用此原理解決簡單的實際問 題。2 .培養(yǎng)學生有根據(jù)、有條理的進行思考和推理的能力。3 .通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，使學生感 受數(shù)學的魅力?！局攸c難點】引導學生把具體問題轉(zhuǎn)化為“鴿巢問題”，找出這里的“鴿巢”有幾個，再利用 “鴿巢問題”進行反向推理。【教學準備

19、】課件，1個紙盒，紅球、藍球各4個。【情景導入】教師講月黑風高穿襪子的故事。一天晚上，毛毛房間的電燈突然壞了，伸手不見五指，這時他乂要出去，于 是他就摸床底下的襪子，他有藍、白、灰色的襪子各一雙，由于他平時做事隨便， 襪子亂丟，在黑暗中不知道哪些襪子顏色是相同的。毛毛想拿最少數(shù)目的襪子出 去，在外面借街燈配成相同顏色的一雙。你們知道最少拿幾只襪子出去嗎？在學生猜測的基礎上揭示課題。教師：這節(jié)課我們利用鴿巢問題解決生活中的實際問題。板書：“鴿巢問題”的具體應用。【新課講授】1 .教學例3。盒子里有同樣大小的紅球和藍球各4個，要想摸出的球一定有2個同色的, 最少要摸出幾個球？（出示一個裝了 4個紅

20、球和4個藍球的不透明盒子，晃動兒下）師：同學們，猜一猜老師在盒子里放了什么？（請一個同學到盒子里摸一操，并摸出一個給大家看）師：如果這位同學再摸一個，可能是什么顏色的？要想這位同學摸出的球,一定有2個同色的，最少要摸出幾個球？請學生獨立思考后，先在小組內(nèi)交流自己的想法，驗證各自的猜想。指名按猜測的不同情況逐一驗證，說明理由。摸2個球可能出現(xiàn)的情況：1紅1藍；2紅；2藍摸3個球可能出現(xiàn)的情況：2紅1藍；2藍1紅；3紅；3藍摸4個球可能出現(xiàn)的情況：2紅2藍；1紅3藍；1藍3紅；4紅；4藍摸5個球可能出現(xiàn)的情況：4紅1藍；3藍2紅；3紅2藍；4藍1紅；5紅；5藍教師：通過驗證，說說你們得出什么結(jié)論。

21、小結(jié)：盒子里有同樣大小的紅球和藍球各4個。想要摸出的球一定有2個同 色的，最少要摸3個球。2 .引導學生把具體問題轉(zhuǎn)化為“鴿巢問題”。教師：生活中像這樣的例子很多，我們不能總是猜測或動手試驗吧，能不能 把這道題與前面所講的“鴿巢問題”聯(lián)系起來進行思考呢？思考：a. “摸球問題”與“鴿巢問題”有怎樣的聯(lián)系？b.應該把什么看成“鴿巢”?有幾個“鴿巢”?要分放的東西是什么？c.得出什么結(jié)論？學生討論，匯報。教師講解：因為一共有紅、藍兩種顏色的球，可以把兩種顏色”看成兩個“鴿 巢”，“同色”就意味著“同一個鴿巢”。這樣，把“摸球問題”轉(zhuǎn)化“鴿巢問題”，即“只 要分的物體個數(shù)比鴿巢多，就能保證有一個鴿巢

22、至少有兩個球”。從最特殊的情況想起，假設兩種顏色的球各拿了 1個，也就是在兩個鴿巢里 各拿了一個球，不管從哪個鴿巢里再拿一個球，都有兩個球是同色，假設最少摸 a個球，即(a) +2=1? (b)當b=l時，a就最小。所以一次至少應拿出lx2+l=3 個球，就能保證有兩個球同色。結(jié)論：要保證摸出有兩個同色的球，摸出的數(shù)量至少要比顏色種數(shù)多一?！菊n堂作業(yè)】先完成第70頁“做一做”的第2題，再完成第1題。（1）學生獨立思考。（提示：把什么看做鴿巢？有幾個鴿巢？要分的東西是什么？）（2）同桌討論。（3）匯報交流?！菊n堂小結(jié)】本節(jié)課你有什么收獲？【課后作業(yè)】完成練習冊中本課時的練習。板書設計鴿巢數(shù)一一顏

23、色數(shù)要保證抽出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量只是要比顏色總數(shù)多1教學反思：教學中，我充分利用學具，將抽象的數(shù)學知識同具體的實物結(jié)合 起來，化難為易，化抽象為具體，讓學生體驗和感悟數(shù)學。通過實際操作，學生 進一步經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究、運用過程，并對一些實際問題模型化，從而在 ffl “鴿巢原理”加以解決的過程中，促進邏輯推理能力的發(fā)展。第三課時鴿巢問題（練習課）（總第58課時）教學內(nèi)容：教材71頁練習十三的5、6題，及相關的練習題。三維目標：1、知識與技能：進一步熟知“鴿巢原理”的含義，會用“鴿巢原理”熟練解決簡單 的實際問題。2、過程與方法：經(jīng)歷探究“鴿巢原理”的學習過程，體驗觀察、猜測、實驗

24、、推 理等活動的學習方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。3、情感、態(tài)度和價值觀：通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題，激發(fā)學生的 學習興趣，使學生感受數(shù)學的魅力。教學重點：應用“鴿巢原理”解決實際問題。引導學會把具體問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問 題”。教學難點：理解“鴿巢原理”，找出”鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。教具準備：多媒體課件。教學過程：一、談話導入-出示課題二、指導練習（-）基礎練習題1、填一填：（1）魚岳三小六年級有30名學生是二月份（按28天計算）出生的，六年級至 少有（）名學生的生日是在二月份的同一天。（2）有3個同學一起練習投籃，如果他們一共投進16個球，那么一定有1個同 學至少投進了（）個

25、球。（3）把6只雞放進5個雞籠，至少有（）只雞要放進同1個雞籠里。（4）某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，小書架上至少要有（）本書， 才可以保證至少有1個同學能借到2本或2本以上的書。學生獨立思考解答，集體交流糾正。2、解決問題。（1）（易錯題）六（1）班有50名同學，至少有多少名同學是同一個月出生的？（2）書籍里混裝著3本故事書和5本科技書，要保證一次一定能拿出2本科技 書。一次至少要拿出多少本書？（3）把16支鉛筆最多放入幾個鉛筆盒里，可以保證至少有1個鉛筆盒里的鉛筆 不少于6支？（二）拓展應用1、把27個球最多放在幾個盒子里，可以保證至少有1個盒子里有7個球？教 師引導學生分析：盒子數(shù)看作抽屜數(shù)，如果要使其中1個抽屜里至少有7個球， 那么球的個數(shù)至少要比抽屜數(shù)的（7-1）倍多1個，而（27-1） -r（7-1） =4.2, 因此最多放進4個盒子里，可以保證至少有1個盒子