直線圓錐曲線有關(guān)向量的問題

1、直線圓錐曲線有關(guān)向量的問題局考考什么知識要點：1直線與圓錐曲線的公共點的情況Ax Bx C 0(或 A* B'y C 0)直線：ax by c 0 曲線:f(x, y) 0(1)沒有公共點方程組無解(2) 一個公共點I)相交ii)相切(3)兩個公共點Ao, 02連結(jié)圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，要能熟練地利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式：I-AB 47 k2 Xi X2Yi y23以平面向量作為工具，綜合處理有關(guān)長度、角度、共線、平行、垂直、射影等問題4.幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容(3)給出，等于已知是的中點;(5)存在實數(shù)；若存在實數(shù)給出以下情形之一

2、：； ，等于已知三點共線(6)給出，等于已知是的定比分點，為定比，即(7)給出，等于已知，即是直角，給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角。在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形(10)形在平行四邊形中，給出，等于已知是矩(11)在中，給出，等于已知是的外心(三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點)；(12)在中，給出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三條中線的交點)；(13)在中，給出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三條高的交點)；(16)在中，給出，等于已知是中邊的中線高考怎么考主要題型:1 三點共線問題；2 公共點個數(shù)問題；3 弦長問題；4.中點問題

3、；5 .定比分點問題；6.對稱問題；7.平行與垂直問題；8.角的問題。近幾年平面向 量與解析幾何交匯試題考查方向為(1)考查學(xué)生對平面向量知識的簡單運用，如向量共線、垂直、定比分點。(2)考查學(xué)生把向量作為工具的運用能力，如求軌跡方程，圓錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。特別提醒：法和韋達定理是解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的重要工具。例1 .過點P(x, y)的直線分別與x軸的正半軸和 關(guān)于y軸對稱，oV軸的正半軸交于A,B兩點，點Q與點P為坐標(biāo)原點，若uuuuu 且 UULTUUU則點P的軌跡方程是(D )A.1(xo,y0)3X21(x 0,y 0)3y21(xo,

4、y0)-x2 3y2 21(x 0,y0)例2.已知橢圓C：橢圓C2以c的長軸為短軸，且與c有相同的離心率.求橢圓C2的方程;(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A, B分別在橢圓G和C2上，OB= 2OA求直線AB的方程.22yx解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為一+=1 (a>2),a 4其離心率為，故2-二，貝Ua=4,故橢圓C2的方程為魯+x=1.a216 4(2)解法一 ：A, B兩點的坐標(biāo)分別記為(Xa, yA) , (XB,ys),由OB= 2 了及知，0 A B三點共線且點A, B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y二42，1 + 4kkx.將 y 二 kx 代入匚 + y2 =

5、 1 中，得(1 + 4k2)x2 = 4，所以 Xa二 422所以Xb二42,又由。8=2(必得XB=4XA,4十kRJ 1616即 4+F = 1 十？，解得k二士 1,故直線AB的方程為y二x或y二一x.解法二：A, B兩點的坐標(biāo)分別記為(xa, yA) , (xb, yB),由6B=2盹(1)知，OAB三點共線且點A, B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程 為 y= kx.2將y = kx代入£十y2二1中，得(1十4k2)x2 = 4,所以XA=；干靈，由張力f 1616k2Xb=1 十 yn 十22A， L21 ,即 4 十 k2= 1 十 4k2,將XByB代入穩(wěn)十7中

6、，得 箕:'1十解得k二士 1,故直線AB的方程為y二x或y二一x.UUU UUU例4已知A,B為拋物線x2=2py(p。)上異于原點的兩點，。A。B0,點C坐標(biāo)為(0, 2p)(1)求證：A,B,C三點共線； UUUU UUU(2)若AM二BM( R )且OM AB 0試求點M的軌跡方程。22()證明:設(shè) A(xh ), B(X2,-), 2p 2pUUU UUU由 OaOb 0 得 XiX2UUUT又 Q AC (xi,2p22X X22p 2pOj X1X24P之,x f UUU 2 X22 牛),AB (X2 M2p2p222X2 X1：)伙Xi 02p2p)UUUT UUUA

7、CAB，即A,B,C三點共線。UUUU UUU R)知 0M ABM的軌跡方程為(2)由(1)知直線AB過定點C,又由0 M ABO及AM二BM (垂足為M所以點M的軌跡為以O(shè)C為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點。即點222x+(y-p)=p(xo, yO)o例6設(shè)F-F2分別是橢圓y2 1的左、右焦點uuur uuun(I)若P是該橢圓上的一個動點，求PFi PF2的最大值和最小值解法二：易 a 2,b 1,c ,3，所以Fi、3,0 , F2 3,0，設(shè)Px, yuurPF1UUUTPF2UUITPF1.3顯然直線聯(lián)立y2 x4kxX24k又0°又y解:UU LU PF24kuuiT uu

8、ll cos F1PF2 PF1PF212 x2。不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線消去y ,整理得:AOB 90。2 kx- 2 kx2X2cosAOBO。得:UUU2k aX2 2k xiUU 2PF1UU 2 PF2UUI 2F1F23Vl2 PE PF2y2 3(以下同解法一)I : y kx 2,A Xi,y2,BX2 4kx 3UUUX2(n)設(shè)過定點M(0,2)的直線I與橢圓交于不同的兩點標(biāo)原點)，求直線I的斜率k的取值范圍.(I )解法一易知a2,b1,C /3,所以Fi .3,0尼,3,0，設(shè)PX2,y2 ,uuuruuuu則 PF PF23X, y,.322X,yXuuu UJU二

9、OA OB X1X2.2k3 k218k22 1 k4A、B,且/y2OAOB為銳角(其中。為坐2X141 23x84因為x 2,2 uuur uiuui,故當(dāng)x=0,即點P為橢圓短軸端點時，LUIuuuuPF1 PF2有最小值-2當(dāng)x= 2，即點P為橢圓長釉端點時, PFi PF2有最大值12故由、得2 k自我提升1、平面直角坐標(biāo)系中，-其中。為坐標(biāo)原點，已知A( 3, 1), B(-1 , 3)，若點 C 滿足OC OA OB，R,且=1,則點C的軌跡方程為(D)A. 3x+2y-1 COB. (x-1)2+(y-2)2=5 C .2 x-y =0 Dx+2y-5=02、已知i, j是x,

10、y軸正方向的單位向量,設(shè)a=(x 2)i yj,b =(x 2)i滿足I a|+| b |=4.則點P(x,y)的軌跡是.(C )A.橢圓B.雙曲線C.線段D.射線5.2012許昌一模設(shè)只、F2分別是雙曲線線上，且PFPF2= 0，貝iJ | PF+ PF2I =()2X2- 9 二 1 的 左、右焦點.若點 P在雙曲A. 24'2. 2 70向量PF+ PF2= 2PQ根據(jù)直角三角形斜,則| PF+Pfe|= 2|而二| FiF2| = 2/10.邊上的中線等于斜邊的一半即可求出 .PF - PF2= 06 .已知A B為拋物線x2=2py (p>0)上兩點，直線AB過焦點F，

11、A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D,貝Uy軸上恒存在一點K，使得KA?KF 0 :CF ? DF 0 :存在實數(shù)使得ADAO :若線段AB中點P在在準(zhǔn)線上的射影為T，有FT7AB 0。中說法正確的為 7 .已知橢圓y21，過P(1,0)作直線I，使得I與該橢圓交于A,B兩點，I與y2uuir uuu軸的交點為Q且AQ PB，求直線I的方程。解：直線I過P(1，故可設(shè)方程為y=k(x-1)，因為AQ PB，所以AB的中點與PQ的中點重合.由2X y2 12y k(x 1)2222得(1 +2 k) x -4 k x+2 (k -1)=0所以Xa4k?，又 xp+xfi 故Xb 1 2k24k21

12、2k22，所求的直線方程為o1)& (201222XV瑞安質(zhì)檢丁設(shè)橢圓M才+ 22a1 （at）的右焦點為R,直線I ： x = va2- 2與X軸交于點A,若OF+ 2AF=0（其中。為坐標(biāo)原點）-（1）求橢圓M的方程；（2）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N： X2+ （y - 2）2= 1的任意一條直徑（E, F為直徑的兩個端點），求PE- PF的最大值.&2解：由題設(shè)知，Am一 2。, R（.a 2,。）,a /y由OF+ 2Af=。得寸a2 -2=2 JO-2 一寸a2- 2 .解得a2= 6.所所圓M的方程為石+ 2(2)解法1 ：設(shè)圓N： x2+ (y - 2產(chǎn)

13、=1的圓心為N,則 PE-PF= (NENfp (NF-Np = ( NFNp -(NF- Np = NfPnF=nPI.設(shè) P(Xo, y。)是橢圓 M上，一點，貝 u6+)d1 1,所以 nP=Xo+ (y0- 2)二一2(y0+ 1)+ 12.因為y° 2,2，所以當(dāng)y匚一1時，NP取得最大值12.所以PE- PF勺最大值為II.X2二一Xi ,解法 2 :設(shè)點曰 Xi, yi) , F(x2, y2) , P(Xo, y。)，所以后 4-y,.可得PE PF二(Xi Xo)( X2 Xo) + (yi y0)( y y。)二(Xi x0)( Xi x0)+ (yi y

14、6;)(4 y /°)=Xo X2 + y0 y2 + 4yi 4y匚 x°+ 4y0 (x2 + y? 4yJ .因為點 E 在圓 N 上，所以 X1+ (yi 2) 2= 1,即 xi+ yi 4yl二一3.22Xo y。又因為點P在橢圓M上，所以6+ -2=1,即 Xo= 6 3y。.所以 PE PF= 2y2 4y0+ 9=一 2(y0+ 1)2 +11.因為 yo ',2, U2,所以當(dāng) yo=- 1 時，(PE - PF> 11.22F,上頂點為A,過點A作垂直于AF9.設(shè)橢圓C:篤 莒1 (a b 0)的左焦點為a b2的直線交橢圓C于另外一點P,交x軸正半觸于點且AP-PQ 5(1)求橢圓C的離心率;(2)若過A、QF三點的圓恰好與直線I :0相切，求橢圓C的方程.解:設(shè)Q(x。.0)，由 F (-C，0)知FA(c5b) ,AQ(x。, b)b2FA AQ, exo bO5Xo8 設(shè) P (Xi, yd 由 AP -PQ，得 X!