第1章概率論的基本概念

1、第一章概率論的基本概念教學(xué)內(nèi)容：1 .隨機試驗2 .樣本空間、隨機事件3 .頻率與概率4 .等可能概率（古典概率）5 .條件概率6 .獨立性教學(xué)目標(biāo)：1 . 了解樣本空間、隨機事件的概念，理解事件之間的關(guān)系與運算；2 .了解頻率、統(tǒng)計頻率以及主觀概率的定義，掌握古典概率，幾 何概率的計算方法，理解概率的公理化定義。掌握概率的性質(zhì)并且會 應(yīng)用性質(zhì)進行概率計算；3 .理解條件概率的概念，掌握條件概率公式，乘法公式，全概率 公式和貝葉斯（Bayes冰式并會用這些公式進行概率計算陣；4 .理解事件獨立性的概念，掌握貝努里概型并會應(yīng)用它進行概 率計算.教學(xué)重點：事件之間的關(guān)系與運算、古典概率、幾何概率、

2、概率的公理化定 義與概率的性質(zhì)、條件概率公式、全概率公式、貝葉斯公式和事件的教學(xué)難點：全概率公式和貝葉斯公式及其應(yīng)用教學(xué)方法：講授法、演示法、練習(xí)法。教學(xué)手段：多媒體+板書。課時安排：10課時。教學(xué)過程： 1.1 隨機實驗一、概率論的誕生及應(yīng)用1654年，法國一個名叫梅累的騎士（一個上流社會的賭徒兼業(yè)余哲學(xué)家）就 “兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家，若在一賭徒勝a局（a c）, 另一賭徒勝b局（b c）時便終止賭博，問應(yīng)如何分賭本” 為題求教于帕斯卡，帕 斯卡與費馬通信討論這一問 題，于1654年共同建立了概率論的第一個基本概 念一一數(shù)學(xué)期望.概率論是數(shù)學(xué)的一個分支，它研究隨機現(xiàn)象的

3、數(shù)量規(guī)律，概率論的應(yīng)用幾乎 遍及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報、地震預(yù)報、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程 中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等 .二、隨機現(xiàn)象1 .確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。如：太陽不會從西邊升起、水從高處流向低處等。2 .統(tǒng)計規(guī)律性在一定條件下可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗或觀 察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果，但人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后， 發(fā)現(xiàn)在大量 重復(fù)試驗或觀察下，他的結(jié)果卻呈現(xiàn)處某種規(guī)律性.這種在大量重復(fù)試驗或觀察 中所呈現(xiàn)出來來的固有規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律性。3 .隨機現(xiàn)象這種在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定

4、性，在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果有具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。簡言即：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.如：在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反結(jié)果，有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面；拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，結(jié)果有可能為：1、2、3、4、5、6等注：1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系，其數(shù)量關(guān)系無法用 函數(shù)加以描述；、2.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性，但在大量試驗或觀察中 這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性 ，概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī) 律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.3.隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的.三、隨機試驗定義：在概率論中，把具有以下三個特征的

5、試驗稱為隨機試驗.1.可以在相同的條件下重復(fù)地進行；2 .每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；3 .進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).如；“拋擲一枚硬幣，觀察字面，花面出現(xiàn)的情況”，分析：（1）試驗可以在相 同的條件下重復(fù)地進行；（2）試驗的所有可能結(jié)果：字面、花面;（3）進行一次試驗 之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).故為隨機試驗.、 1.2 本空間、隨機事件一、樣本空間 樣本點定義 隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E的樣本空間，記為S . 樣本空間的元素，即試驗E的每一個結(jié)果，稱為樣本點.如：(1)拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).si 1,2,3,4,5

6、,6.(2)從一批產(chǎn)品中，依次任選三件，記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.記 N 正品，D 次品.WJ s2 NNN , NND, NDN , DNN , NDD , DDN , DND , DDD .說明：(1)試驗不同，對應(yīng)的樣本空間也不同.(2)同一試驗，若試驗?zāi)康牟煌?，則對應(yīng)的樣本(3)在具體問題的研究中，描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.二、隨機事件的概念1 .基本概念一般地，隨機試驗E的樣本空間S的子集稱為E的隨機事件，簡稱事件。每次實驗中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生.特別地，由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，

7、在每次實驗中它總是發(fā) 生的，S稱為必然事件.空集 不包含任何點，它也作為樣本空間的子集，它在每次實驗中都不發(fā)生， 稱為不可能事件。注：必然事件的對立面是不可能事件，不可能事件的對立面是必然事件，它們互稱為對立事件.實例：拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).骰子“出現(xiàn)1點”，“出現(xiàn)2點”， “出現(xiàn)6點”，“點數(shù)不大于4”， “點數(shù)為偶數(shù)” 等都為隨機事件.“出現(xiàn) 1點”，“出現(xiàn)2點”，“出現(xiàn)6點”等都是基本事件.“點數(shù)不大于6” 就是必然事件.“點數(shù)大于6”就是不可能事件.2 .幾點說明(1)隨機事件可簡稱為事件,并以大寫英文字母A B, C,來表示事件.例如：拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).可設(shè)A =

8、 ”點數(shù)不大于4，B = 點 數(shù)為奇數(shù)”等等.(2)隨機試驗、樣本空間與隨機事件的關(guān)系：每一個隨機試驗相應(yīng)地有一個 樣本空間，樣本空間的子集就是隨機事件.三、隨機事件間的關(guān)系及運算設(shè)試驗E的樣本空間為S,而A,B,Ak(k 1,2,)是S的子集，1 .若A B,則稱事件B包含事件A,則稱事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。例：“長度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長 度不合格”若A B,且B A ,則稱事件A與事件B相等。2 .事件A B xx A或x B稱為事件A與事件B的和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少一個發(fā)生時，事件 A B發(fā)生。 n推廣 稱 Ak為n個事件A,A2, ,A

9、n的和事件， k 1稱人為可列個事件人人,的和事件. k 13 .事件A B xx A且x B ,稱為事件A與事件B積和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A, B同時發(fā)生時，事件A B發(fā)生。A B也記作AB。n類似地，稱 Ak為n個事件A,A2, ,A的積事件， k 1稱 Ak為可列個事件A, A2,的積事件. k 14 .事件A B xx A且x B ,稱為事件A與事件B積差事件。當(dāng)且僅當(dāng) A 發(fā)生，B不發(fā)生時，事件A B發(fā)生。5 .若A B ，稱為事件A與事件B是互不相容或互斥的，這指的是事件A與事件B不能同時發(fā)生.注：基本事件是兩兩互不相容的.6 .若A B S且A B，稱為事件A與事件B互為逆事件，又稱事

10、件 A與事件B互為對立事件，這指的是對每次試驗而言，事件A, B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。A的對立事件記為A, A S A.事件間的運算規(guī)律：設(shè)A, B,C為事件,則有:(1)交換律:B B A, A B(2)結(jié)合律：(B C)(AB)C , A (B C) (A B) C(3)分配律(B C)(AB)(AC)；(B C)(AB)(AC).德摩根律 A-B A例1設(shè)AiHHH , HHT , HTH , HTT ,A2 HHH ,TTT , A2 A, TTT ,求 AA2, A1A2, A2A1.例2如圖所示的電路，以A表示事件“信號燈亮”，以B,C,D分別表示事件: 將電器接點I,

11、H, in閉合，則BC A, BD A, BC BD A,而BA即事件B與事件A互不相容.又可得B C B C. 1.3 率與概率一、頻率的定義與性質(zhì)1 .頻率的定義定義在相同條件下，進行了 n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值以稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn A on2 .頻率的性質(zhì)設(shè)A是隨機試驗E的任一事件,則(D 0 1；(2) fn(S) 1(3)若A,A2, ,Ak是兩兩互不相容的事件，則fn(A1 A2Ak) fn(A1)fn(A2)fn(AJ注：事件發(fā)生的頻率大小表示其發(fā)生的頻繁程度.頻率大，事件發(fā)生就越頻 繁，這表示事件在一次試驗中發(fā)生的可能

12、性就越大.反之亦然.例1考慮“拋硬幣”這個試驗，將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各 做10遍,得到數(shù)據(jù)如下：(表見教材第6也表1-1 )。從上述數(shù)據(jù)可得：(1)頻率有隨機波動性，即對于同樣的n,所得的f不一定相同；(2)拋硬幣次數(shù)n較小時，頻率fn(H )在0與1之間隨機波動，其幅度較大，但隨 著n增大，頻率fn H呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即當(dāng)n逐漸增大時，fn H總在0.5附近擺 動，而逐漸穩(wěn)定與0.5.大量試馬證實，當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)n逐漸增大時，頻率fn A呈現(xiàn)出穩(wěn)定性， 逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù).這種“頻率穩(wěn)定性”即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性， 讓試驗重 復(fù)大量次數(shù)，計算頻率fn A以它來表征事件A發(fā)生

13、的大小是合適的。為了理論研究需要，我們從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出如下 表征事件發(fā)生大小的概率的定義.二、概率的定義與性質(zhì)1 .概率的定義定義 設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個 實數(shù)，記為PA ,稱為事件A的概率，如果集合P?滿足條件，1非負(fù)性：對于每一個事件A,有P(A) 0 ;2規(guī)范性：對于必然事件S,有P(S) 1；3可列可加性：設(shè)Ai,A2,是兩兩互不相容的事件, 即對于 AAj, i j, i, j 1,2,，有 P(A A ) P(Ai) P(A2)2 .概率的性質(zhì)性質(zhì)i P( ) 0.性質(zhì)ii (有限可加性) 若A1,A2, , An是兩兩

14、互不相容事件，則有P(A A2An) P(A) P(A2)P(An)性質(zhì)iii設(shè)A,B是兩個事件，若A B,則有P(B A) P(B) P(A);P(B) P(A)性質(zhì)iv對于任意事件 A, P(A) 1性質(zhì)v(逆事件的概率)對于任意事件A, P(A) 1 P(A)性質(zhì)vi(加法公式)對于任意兩個事件 A,B, P A B P(A) P(B) P(AB) 此性質(zhì)可以推廣到多個事件的情況.設(shè)A,A2,A3為任意三個事件，則有P(A A2 A3) P(A) P(A2) P(A3) P(AAz)對于任n個事件a,A2, An , n P(A A2An)P AiP AiAji 11 i j nn 1P

15、(AAA)1P(AA2 A)1 i j n一 11例3 設(shè)事件A, B的概率分別為-和-，求在下列二種情況下P(BA)的值32A與B互斥；(2) A B ;1 P(AB)-.8、 1.4等可能概型(古典概型)一、古典概型的定義定義 設(shè)E是隨機試驗，若E滿足下列條件：(1)試驗的樣本空間只包含有限個元素；(2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.則稱E為等可能概型。等可能概型的試驗大量存在，它在概率論發(fā)展初期是主要研究對象，所以也 稱為古典概型。二、古典概型的計算公式定理 設(shè)試驗的樣本空間S包含n個元素，事件A包含k個基本事件，則有kA包含的基本事件P(A) n S中基本事件的總數(shù),該式稱為等可

16、能概型中事件概率的計算公式.三、典型例題例1 將一枚硬幣拋擲三次.(1)設(shè)事件Ai為 恰有一次出現(xiàn)正面”，求P(A);(2)設(shè)事件A2為 至少有一次出現(xiàn)正面”，求P(A2).注：當(dāng)樣本空間中的元素較多時，一般不再將元素一一列出，只需分別列出 S和E中元素的個數(shù)，在用計算公式即可求得相應(yīng)的概率 .例2 一只口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球.從袋中取球兩次, 每次隨機地取一只，考慮兩種取球方式：(a)第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球.這種取球方 式叫做放回抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，這種取球方 式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況求(

17、1)取到的兩只球都是白球的概率；(2)取到的兩只球顏色相同的概率；(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率例3將n只球隨機的放入N N N個盒子中去，試求每個盒子至多有一只 球的概率(設(shè)盒子的容量不限)。注：許多問題和本例有相同數(shù)學(xué)模型，如生日問題。試求64個人的班級里，生日各不相同的概率為多少？例4 設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有 D件次品，今從中任取 n件，問其中恰有 k k D件次品的概率是多少？解 在N件產(chǎn)品中任取n件，所有可能的取法共有 N種， n在D件次品中任取k件，所以可能的取法有，D種k在N D件正品中取n k件所有可能的取法有 N D種，n k由乘法原理知在N件產(chǎn)品中任取n件，問其中

18、恰有k k D件次品的取法共有種,所求概率為D N DNP k n kn上式稱為超幾何分布的概率公式。例5袋中有a只白球，b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,作放回抽樣;作不放回抽樣，求第i(i 1,2, ,k)人取到白球(記為事件B)的概率(k a b)例6在12000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少？例7將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少 ？(2) 3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少 ？例8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是 在周二和

19、周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？人們在長期實踐中總結(jié)得到“概率很小的事在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”，現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了 ，因此有理由懷疑假 設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時間是有 規(guī)定的. 1.5條件概率、條件概率例1 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況.分析 設(shè)事件A為 至少有一次為H”，設(shè)事件B為 兩次擲出同一面”現(xiàn)求已知事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.設(shè)H為正面，T為反面.S HH, HT,TH ,TT,AHH,HT,TH, B HH,TT,3 211貝 U P(A)_,P(B)-_,P(AB)-o4 424

20、將事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率記為P(BA),-1WJp(ba)1需 P(B)1 .定義設(shè)A,B是兩個事件，且P(A) 0,稱P(BA)P(AB)P(A)為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率同理可得P(AB) 丑回 為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率. P(B)2 .性質(zhì)(1)非負(fù)性：對于每一事件B,有P(BA) 0(2)規(guī)范性：對于必然事件S ,有P(SA) 1(3)可列可加性：設(shè)巳與2，是兩兩互不相容事件，則有P( Bi A)P Bi A .i 1i 1例2 一個盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，二等品.從中取產(chǎn)品兩 次，每次任取一只，作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次

21、取到的是一等品”， 事件B為 第二次取到的是一等品，試求條件概率P(BA).二、乘法定理乘法定理 設(shè)P(A) 0,則有P(AB) P(BA)P(A).推廣 設(shè) A, B,C 為事件，且 P(AB) 0,則有 P(ABC) PCABP BAPA一般，設(shè)Ai,A2, ,An為 n (n 2 )個事件，且 P(AAz An 1) 0 ,則有P(AA2 An) P(An A1A2 Anl)P(Ani A1A2 An 2) P(AzA)P(Ai)例3設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，每次自袋中任取一只球，觀察其顏 色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四 次，試求第一、二次取到紅

22、球且第三、四次取到白球的概率.解 以Ai(i 1,2,3,4)表示事件”第i次取到紅球”，則A3, A4表示第三、第 四次取到白球，所求概率為P(AA2A3A4) P A4AA2A3 P A3 AA2PA2 A P At a t rar . r t 3a r t 2a r t a r t注：此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.例4設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2,若第一 次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10,若前兩次落下未打破，第三次落 下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打打破的概率.三、全概率公式與貝葉斯公式1 .樣本空間的劃分定義設(shè)S為試

23、驗E的樣本空間，Bi,B2, Bn為E的一組事件，若2 BiBj ,i j,i, j 1,2, ,n;11 i) Bi B2Bn S,則稱B1,B2, Bn為樣本空間S的一個劃分。2 .全概率公式定理 設(shè)試驗E的樣本空間為S , A為E的事件，B1, B2, Bn為樣本空問S的一個劃分，且P(Bi) 0(i 1,2,n),則P A P(ABi)P(Bi) P(AB2)P(B2)P(ABn)P(Bn)上式稱為全概率公式.注：全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計算問題，分解為若干個簡單事件的概率計算問題，最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例5有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)

24、的占 30%,二廠生產(chǎn)的 占50%,三廠生產(chǎn)的占20%又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為 2%, 1%, 1%,問 從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少 ？3 .貝葉斯公式定理 設(shè)試驗E的樣本空間為S , A為E的事件，Bi,B2, Bn為樣本空間 S 的一個劃分，且 P(A) 0, P(Bi) 0(i 1,2, ,n),則P(ABi)P(Bi)P(Bi A) n S,(i 1,2, ,n.)P(ABj)P(Bj) j 1此式稱為貝葉斯公式.例6某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)元件制造廠次品率提供元件的份觸10.02015230.030.05設(shè)這三家

25、工廠的產(chǎn)品在倉庫是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志.(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機地取一只元件，若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少 ，試求這些概率.例7對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機器調(diào)整良好時，產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機器發(fā)生某種故障時，其合格率為55%.每天早上機器開動時，機器調(diào)整 良好的概率為95%試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的 概率是多少？、注：先驗概率與后驗概率上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，叫做先驗概率.而在得到信息 之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗概率.例

26、8根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下效果：若以A 表示“試驗反應(yīng)為良性”，以C表示“被診斷者患有癌癥”，則有P(AC) 0.95, P(A|C) 0.95現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為 0.005, 也就是 P(C) 0.005 ,試求 P(CA). 1.5 獨立性一、事件的相互獨立性1 .引例盒中有5個球(3綠2紅)，每次取一個，又放回地取兩次，記 A= 第一次 抽取，取到綠球 ，B= 第二次抽取，取到綠球”，則有P(BA) P(B),它表示A的發(fā)生 并不影響B(tài)發(fā)生的可能性的大小，而 P(B A) P(B)等價于P(AB) P(A)P(B)。2 .定義設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式P(AB) P(A)P(B),則稱事件A, B相互獨 立，簡稱A, B獨立。注：(1)事件A與事件B相互獨立，是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).(2)容易知道，若P(A) 0,P(B) 0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不 能同時成立。定理1設(shè)A, B是兩事件，且P(A) 0,若A, B相互獨立，則P(BA) P B , 反之亦然。定理2 若事件A與事件B相互獨立，則A與B, A與B, A與B,也相互獨立，4.三事件相互