北師大版數(shù)學必修二：1.6.1垂直關系的判定ppt課件

1、-1-6垂直關系-2-6.16.1垂直關系的斷定垂直關系的斷定1.直線與平面垂直直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義假設一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直假設一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直那么稱這條直線和這個平面垂直線和這個平面垂直.(2)畫法畫法:當直線與平面垂直時當直線與平面垂直時,通常把表示直線的線段畫成和表示通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直平面的平行四邊形的橫邊垂直.如下圖如下圖.(3)直線與平面垂直的斷定定理文字表達:假設一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直.符號表示:假設直線a

2、 ,直線b ,直線la,lb,ab=A,那么l.圖形表示: 作用:線線垂直線面垂直. 做一做1垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是()A.垂直 B.斜交C.平行D.不能確定解析:梯形的兩腰所在的直線相交,根據(jù)線面垂直的斷定定理可知選項A正確.答案:A名師點撥了解線面垂直的斷定定理留意以下幾點:(1)定理可表述為“線線垂直,那么線面垂直.(2)“兩條相交直線是關鍵詞,一定不要忽視這個條件,否那么將導致結(jié)論錯誤,即“線不在多,相交就行.(3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線能否和知直線有公共點無關緊要.(4)線面垂直的斷定定理

3、與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復交替運用.2.二面角及其平面角二面角及其平面角(1)半平面的定義半平面的定義:一個平面內(nèi)的一條直線一個平面內(nèi)的一條直線,把這個平面分成兩部分把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都叫作半平面其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定義二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角作二面角,這條直線叫作二面角的棱這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的這兩個半平面叫作二面角的面面.(3)二面角的記法二面角的記法:以直線以直線AB為棱為棱,半平面半平面,為面的二面角為面的二面角,記作二面角記作二面

4、角-AB-.(4)二面角的平面角二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角.【做一做2】給出以下命題:兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,那么a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補;二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角;二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置

5、沒有關系.其中正確的選項是()A.B.C.D.解析:由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,可知不對.畫出圖形,可知正確.中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,故不對.由定義知正確.應選B.答案:B3.平面與平面垂直平面與平面垂直(1)兩個平面相互垂直的定義兩個平面相互垂直的定義:兩個平面相交兩個平面相交,假設所成的二面角是假設所成的二面角是直二面角直二面角,就說這兩個平面相互垂直就說這兩個平面相互垂直.(2)畫法畫法:在畫兩個垂直的平面時在畫兩個垂直的平面時,通常把表示直立平面的平行四邊通常把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示程度平面的平行四邊形的橫邊垂直形的豎

6、邊畫成和表示程度平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖如圖所示所示.(3)平面與平面垂直的斷定定理文字表達:假設一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面相互垂直.符號表示:圖形表示: 作用:線面垂直面面垂直. 做一做3知直線m,n與平面,以下能夠使成立的條件是()A.,B.=m,mn,n C.m,m D.m,m解析:選擇適宜條件的幾何圖形察看可得,A中或與相交,B中,相交,但不一定垂直,C中或與相交.答案:D名師點撥了解面面垂直的斷定定理留意以下幾點:(1)定理可簡記為“線面垂直,那么面面垂直,因此要證明平面與平面垂直,只需在其中一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線,即證“線面垂直.(2)兩個平面垂

7、直的斷定定理,不僅僅是斷定兩個平面垂直的根據(jù),而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的根據(jù).(3)要證,可證經(jīng)過的某一條垂線,也可證明經(jīng)過的某一條垂線.思索辨析判別以下說法能否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“,錯誤的打“.(1)假設直線l垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線,那么有l(wèi). ()(2)假設直線l垂直于平面內(nèi)恣意直線,那么有l(wèi). ()(3)假設直線l垂直于內(nèi)的一個凸五邊形的兩條邊,那么有l(wèi). ()(4)一個二面角的平面角有且只需一個. ()(5)假設直線l與平面交于點O,且l與不垂直,l ,那么與一定不垂直. ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探求一探求二易錯辨析探求一線面垂直及其斷定探求一線面

8、垂直及其斷定【例【例1】如下圖】如下圖,在三棱錐在三棱錐A-BCD中中,BC=AC,AD=BD,作作BECD,E為垂足為垂足,作作AHBE于點于點H.求證求證:AH平面平面BCD.探求一探求二易錯辨析證明:取AB的中點F,銜接CF,DF,由于AC=BC,所以CFAB.同理可得,DFAB.又CFDF=F,所以AB平面CDF.由于CD 平面CDF,所以ABCD.又BECD,且BEAB=B,所以CD平面ABE.由于AH 平面ABE,所以CDAH.又AHBE,BECD=E,所以AH平面BCD.探求一探求二易錯辨析反思感悟證明線面垂直的關鍵是分析幾何圖形,尋覓隱含的和標題中推導出的線線垂直關系,進而證明

9、線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法.變式訓練1如下圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓O上的點.求證:BC平面PAC.分析:由AB是圓O的直徑可知ACBC,再結(jié)合PA平面ABC,即可證明BC平面PAC.探求一探求二易錯辨析探求一探求二易錯辨析證明:由AB是圓O的直徑,得ACBC.由PA平面ABC,BC 平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA 平面PAC,AC 平面PAC,所以BC平面PAC.探求一探求二易錯辨析探求二面面垂直的斷定探求二面面垂直的斷定【例【例2】如下圖如下圖,PA垂直于矩

10、形垂直于矩形ABCD所在的平所在的平面面,AD=PA=2,CD=2,E,F分別是分別是AB,PD的中點的中點.求證:(1)AF平面PCE;(2)平面PCE平面PCD.探求一探求二易錯辨析分析:(1)要證AF平面PCE,只需證明AF平行于平面PCE內(nèi)的一條直線即可,取PC的中點G,那么該直線為GE.(2)要證明平面PCE平面PCD,只需證明GE平面PCD,而由(1)知GEAF,故只需證明AF平面PCD即可.探求一探求二易錯辨析證明:(1)取PC的中點G,銜接FG,EG,F為PD的中點,E為AB的中點,FG= CD,且FGCD,AE= CD,且AECD,FG=AE,且FGAE,四邊形AEGF為平行

11、四邊形,AFGE.GE 平面PEC,AF 平面PCE,AF平面PCE.(2)PA=AD=2,AFPD.PA平面ABCD,CD 平面ABCD,PACD.又ADCD,PAAD=A,CD平面PAD.AF 平面PAD,AFCD.PDCD=D,AF平面PCD,GE平面PCD.GE 平面PEC,平面PCE平面PCD.探求一探求二易錯辨析反思感悟怎樣證明平面與平面垂直1.證明面面垂直的方法:(1)證明兩個半平面構(gòu)成的二面角的平面角為90;(2)證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.2.利用斷定定理證明兩個平面垂直時,普通方法是先從現(xiàn)有的直線中尋覓平面的垂線,假設

12、圖形中不存在這樣的垂線,那么可經(jīng)過作輔助線來處理,而作輔助線那么應有實際根據(jù)并且要有利于證明.探求一探求二易錯辨析變式訓練2知正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC,CD的中點E,F,銜接AE,EF,AF,以AE,EF,FA為折痕,折疊使點B,C,D重合于一點P.求證:(1)APEF;(2)平面APE平面APF.探求一探求二易錯辨析證明:(1)APE=APF=90,APPE,APPF.又PEPF=P,PA平面PEF.EF 平面PEF,PAEF.(2)APE=EPF=90,PEAP,PEPF.又APPF=P,PE平面APF.又PE 平面APE,平面APE平面APF.探求一探求二易錯辨析對空間中線

13、面關系了解不透徹而致誤典例如下圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,那么截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎?探求一探求二易錯辨析錯解:如下圖,設AC與BD的交點為O,銜接B1O,那么B1O是截面ACB1與對角面BB1D1D的交線.B1O不與底面垂直,截面ACB1不能夠與對角面BB1D1D垂直.正解:四邊形ABCD是正方形,ACBD.BB1底面ABCD,ACB1B.B1BBD=B,AC對角面BB1D1D.又AC 截面ACB1,截面ACB1對角面BB1D1D.糾錯心得1.由于B1O與底面不垂直,就斷定截面ACB1不能夠與對角面BB1D1D垂直,這是毫無根據(jù)的.2.要抑

14、制上述錯誤,一定要將有關定理或性質(zhì)的適用條件及內(nèi)涵把握清楚,不能憑想當然進展毫無邏輯的論證.123451.以下各種情況中以下各種情況中,一條直線垂直于一個平面內(nèi)的一條直線垂直于一個平面內(nèi)的:三角形的兩三角形的兩條邊條邊;梯形的兩條邊梯形的兩條邊;圓的兩條直徑圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊正六邊形的兩條邊.不能不能保證該直線與平面垂直的是保證該直線與平面垂直的是()A.B.C.D.解析解析:三角形的任何兩邊都相交三角形的任何兩邊都相交;圓的任何兩條直徑都相交圓的任何兩條直徑都相交;但梯形但梯形中恣意兩邊不一定相交中恣意兩邊不一定相交,也能夠平行也能夠平行;正六邊形中也存在平行的兩正六邊形中也存在

15、平行的兩條邊條邊,因此不能保證該直線與平面垂直的是因此不能保證該直線與平面垂直的是.應選應選C.答案答案:C123452.在空間四邊形在空間四邊形ABCD中中,假設假設ADBC,BDAD,那么那么()A.平面平面ABC平面平面ADCB.平面平面ABC平面平面ADBC.平面平面ABC平面平面DBCD.平面平面ADC平面平面DBC解析解析:如下圖如下圖,ADBC,ADBD,BCBD=B,AD平面平面BDC.又又AD 平面平面ADC,平面平面ADC平面平面DBC.答案答案:D123453.如下圖如下圖,BCA=90,PC平面平面ABC,那么在那么在ABC,PAC的邊的邊所在的直線中所在的直線中,(1

16、)與與PC垂直的直線有垂直的直線有;(2)與與AP垂直的直線有垂直的直線有.解析解析:(1)由于由于PC平面平面ABC,AB,AC,BC 平面平面ABC,所以與所以與PC垂直的直線有直線垂直的直線有直線AB,AC,BC.(2)BCA=90,即即BCAC.又又BCPC,ACPC=C,所以所以BC平面平面PAC,PA 平面平面PAC.所以所以BCAP.答案答案:(1)直線直線AB,AC,BC(2)直線直線BC123454.(2021廣東東莞期末廣東東莞期末)如圖如圖,知正方體知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別分別為為A1D1和和AA1的中點的中點,那么以下說法正確的個數(shù)為那么以下說法正確的個數(shù)為()C1MAC;BD1AC;BC1與與AC所成的角為所成的角為60;CD與與BN為異面直線為異面直線.A.1 B.2C.3D.412345解析:由正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1D1和AA1的中點,可知:在中,ACA1C1,A1C1C1M=C1,C1M與AC是異面直線,故錯誤;在中,ACDD1,ACBD,BDDD1=D,AC平面BDD1.又BD1 平面BDD1,BD1AC,故正確;在中,ACA1C1,BC1=A1C1=BA1,BC1與AC所成的角為