第6章剛體的平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題解答080814

1、第六章 剛體的平面運(yùn)動(dòng)本章要點(diǎn)一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的描述1 剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程：，.2 平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以看成是剛體平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)：剛體的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）便可分解為隨動(dòng)坐標(biāo)系（基點(diǎn)）的平移（牽連運(yùn)動(dòng)）和相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系（基點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。其平移部分與基點(diǎn)的選取有關(guān)，而轉(zhuǎn)動(dòng)部分與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。因此，以后凡涉及到平面圖形相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度時(shí)，不必指明基點(diǎn)，而只說(shuō)是平面圖形的角速度和角加速度即可。二、平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度1 基點(diǎn)法：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度，等于基點(diǎn)的速度與點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和，即，其中的大小為，方向垂直于AB，指向與圖形的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相一致。2投影法速度投影定理

2、：在任一瞬時(shí)，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線(xiàn)上的投影相等，即 3瞬心法任意瞬時(shí)平面運(yùn)動(dòng)圖形上都存在速度為零的點(diǎn)，稱(chēng)為該平面圖形的瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱(chēng)瞬心。平面圖形上各點(diǎn)速度在某瞬時(shí)繞瞬心的分布與繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的分布相同，但有本質(zhì)區(qū)別。繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心是一個(gè)固定不動(dòng)的點(diǎn)，而速度瞬心的位置是隨時(shí)間而變化的。面圖形內(nèi)任意一點(diǎn)的速度，其大小等于該點(diǎn)到速度瞬心的距離乘以圖形的角速度，即，其方向與CM相垂直并指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。若在某瞬時(shí)，則稱(chēng)此時(shí)剛體作瞬時(shí)平移，瞬時(shí)平移剛體的角加速度不為零。解題要領(lǐng)：1 建立平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)要注意選取合適的點(diǎn)為基點(diǎn)，以使問(wèn)題簡(jiǎn)單，。2 由于在基點(diǎn)建立的是

3、平移坐標(biāo)系，因此，相對(duì)基點(diǎn)的角速度就是相對(duì)慣性坐標(biāo)系的角速度。3 平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度計(jì)算的3種方法各有所長(zhǎng)：基點(diǎn)法包含剛體運(yùn)動(dòng)的速度信息，但過(guò)程繁雜；速度投影法能快捷地求出一點(diǎn)的速度，但失去角速度信息；瞬心法簡(jiǎn)單明了和直觀是常用的方法。4 當(dāng)用基點(diǎn)法時(shí)，要注意基點(diǎn)的速度矢和相對(duì)基點(diǎn)的速度矢組成速度平行四邊形的兩邊，對(duì)角向才是這一點(diǎn)的速度矢。速度基點(diǎn)法能且只能解2個(gè)未知量，因此，在涉及的3個(gè)速度中至少有一個(gè)速度的大小和方向都是已知的，在畫(huà)速度平行四邊形時(shí)先畫(huà)這個(gè)速度。5 應(yīng)用速度投影法時(shí)，要注意投影是有正負(fù)的，兩點(diǎn)的速度必須協(xié)調(diào)，符合剛體的定義。6 在找速度瞬心時(shí)，作速度矢量時(shí)要注意各速度的

4、協(xié)調(diào)，同一剛體上的兩點(diǎn)速度方向可以確定速度瞬心的位置。 三、平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的加速度平面圖形上任意一點(diǎn)的加速度，等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和，即，進(jìn)一步，當(dāng)基點(diǎn)A和所求點(diǎn)B都作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的加速度也應(yīng)分解為切向加速度和法向加速度，上式寫(xiě)為 ，其中 ，分別為點(diǎn)的曲率半徑。 特殊地，當(dāng)剛體作瞬時(shí)平移時(shí)，有加速度投影定理 .解題要領(lǐng)1 加速度基點(diǎn)法一般涉及6個(gè)加速度矢量，其中3個(gè)法向加速度是與速度或角速度有關(guān)，這可以通過(guò)速度分析求得，而的方向與垂直為已知，剩下5個(gè)因素中只可以存在2個(gè)未知量。2 一般選加速度的大小和方向都已知的一點(diǎn)為基點(diǎn)。3 加速度基點(diǎn)法最多涉

5、及6個(gè)矢量，應(yīng)通過(guò)列投影式解代數(shù)方程求解。投影式中等號(hào)一邊是點(diǎn)加速度的投影，另一邊是基點(diǎn)的加速度和相對(duì)于基點(diǎn)加速度投影的代數(shù)和，千萬(wàn)不能寫(xiě)成“平衡方程”的形式。4 加速度投影定理只在剛體作瞬時(shí)平移時(shí)成立。5 可以證明剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)也存在加速度瞬心，即加速度為零的點(diǎn)，但這必須在角速度和角加速度皆已知的情況下才能確定，因此無(wú)助于解題，所以沒(méi)有“加速度瞬心法”。第七章 剛體的平面運(yùn)動(dòng) 習(xí)題解答題6-1圖6-1 橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動(dòng)，曲柄以角速度繞O軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。如，并取C為基點(diǎn)，求橢圓規(guī)尺AB的平面運(yùn)動(dòng)方程。解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，則。選AB桿上的點(diǎn)位基點(diǎn)，建立平移坐標(biāo)系，在圖示

6、坐標(biāo)系中，桿在固定坐標(biāo)系的位置由坐標(biāo)確定，所以桿的平面運(yùn)動(dòng)方程為：， . 題 6-2圖6-2 桿AB的A端沿水平線(xiàn)以等速v運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)桿恒與一半圓周相切，半圓周半徑為R，如圖所示。如桿與水平線(xiàn)的夾角為，試以角表示桿的角速度。解： 解法一：桿AB作平面運(yùn)動(dòng)。選取為基點(diǎn)，由速度基點(diǎn)法，作圖示幾何關(guān)系，圖中，解得，AB桿的角速度為 （逆時(shí)針）. 解法二：在直角三角形ACO中，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 其中，解得AB桿的角速度為 ，（負(fù)號(hào)表示角速度轉(zhuǎn)向與角增大的方向相反，即逆時(shí)針）題6-3圖 6-3 半徑為r的齒輪由曲柄OA帶動(dòng)，沿半徑為R的固定齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。如曲柄OA以等角加速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始

7、時(shí)，角速度，轉(zhuǎn)角。求動(dòng)齒輪以中心A為基點(diǎn)的平面運(yùn)動(dòng)方程。解：動(dòng)齒輪作平面運(yùn)動(dòng)。建立與曲柄OA固結(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，和在動(dòng)齒輪的A點(diǎn)建立平移坐標(biāo)系，如圖所示，從圖中可見(jiàn)，因動(dòng)齒輪和固定齒輪間沒(méi)有滑動(dòng)，所以存在關(guān)系小輪半徑相對(duì)平移坐標(biāo)系，也即固定坐標(biāo)系得轉(zhuǎn)角為, 而 ， 可得小輪平面運(yùn)動(dòng)方程為 ， .題 6-4圖6-4 圖示機(jī)構(gòu)中，已知m，m，m，m；rad/s。在圖示位置時(shí)，曲柄OA與水平線(xiàn)OB垂直；且B、D和F在同一鉛直線(xiàn)上，又。求EF的角速度和點(diǎn)F的速度。解：如圖所示，對(duì)各構(gòu)件進(jìn)行速度分析.1）桿作平面運(yùn)動(dòng). 因 ，所以桿為瞬時(shí)平移，得.2）桿作平面運(yùn)動(dòng). 由找得桿的速度瞬心為D點(diǎn)，所以，桿上的

8、速度分布好像與三角板一起繞作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一樣，得，方向如圖示.3）桿作平面運(yùn)動(dòng). 由找得桿的速度瞬心為，故有 ，（順時(shí)針）；，（方向向上）。題 6-5圖6-5 圖示四連桿機(jī)構(gòu)中，連桿由一塊三角板ABD構(gòu)成。已知曲柄的角速度rad/s，mm，mm，mm。當(dāng)mm鉛直時(shí)，AB平行于，且、A、D在同一直線(xiàn)上，角。求三角板ABD的角速度和點(diǎn)D的速度。解：桿和桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，三角板做平面運(yùn)動(dòng)， 由找得三角板的速度瞬心為點(diǎn)，如圖所示. 故 ，三角板ABD的角速度：，（逆時(shí)針）.D點(diǎn)的速度：.題 6-6圖6-6 圖示雙曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，滑塊B和E用桿BE連接，主動(dòng)曲柄OA和從動(dòng)曲柄OD都繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OA以勻角速度ra

9、d/s轉(zhuǎn)動(dòng)。已知mm，mm，mm，mm，mm。求當(dāng)曲柄OA垂直于滑塊的導(dǎo)軌方向時(shí)，曲柄OD和連桿DE的角速度。解：如圖機(jī)構(gòu)中，主動(dòng)曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， ，桿作平面運(yùn)動(dòng)，在圖示瞬時(shí)，由知，桿作瞬時(shí)平移，有 .作平移，. 有找得桿速度瞬心為D點(diǎn).在圖示位置上可得 ，由此可知 ，桿角速度為 ，D點(diǎn)的速度為，曲柄OD的角速度為， （逆時(shí)針）.題6-7圖6-7 使砂輪高速轉(zhuǎn)動(dòng)的裝置如圖所示。桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為r/min，處用鉸鏈連接一半徑為的動(dòng)齒輪2，桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，輪2在半徑為的固定內(nèi)齒輪3上滾動(dòng)，并使半徑的輪1繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。輪1上裝有砂輪，隨同輪1高速轉(zhuǎn)動(dòng)。求砂輪的轉(zhuǎn)速。解：如圖所示: 設(shè)輪1和桿的角速度分別

10、為和，桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故 輪1和輪2嚙合點(diǎn)M的速度 ，注意，可得輪1的角速度 ，（順時(shí)針）輪1的轉(zhuǎn)速為 ，（順時(shí)針）.題 6-8圖6-8 圖示瓦特行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，平衡桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并借連桿AB帶動(dòng)曲柄OB；而曲柄OB活動(dòng)地裝在O軸上；在O軸上裝有齒輪1，齒輪2的軸安裝在連桿AB的另一端。已知：mm，；又平衡桿的角速度rad/s。求當(dāng)和時(shí)，曲柄OB和齒輪1的角速度。解：由圖所示可知：點(diǎn)C是AB桿和輪II的速度瞬心，故，（逆時(shí)針）.，桿OB的角速度為，（逆時(shí)針）.兩齒輪嚙合點(diǎn)M的速度為, 則輪1的角速度為，（逆時(shí)針）.6-9 如圖所示，輪O在水平面上勻速滾動(dòng)而不滑動(dòng)，輪緣上固連銷(xiāo)釘連接滑塊B，此滑塊在

11、搖桿的槽內(nèi)滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知輪的半徑m，在圖示位置時(shí)，是輪的切線(xiàn)，輪心的速度m/s，搖桿與水平面的夾角為。求搖桿的角速度和角加速度。 題 6-9 速度和加速度分析圖題 6-9 圖解：輪O作勻速純滾動(dòng)， ，且，點(diǎn)B作合成運(yùn)動(dòng)。 選銷(xiāo)釘B為動(dòng)點(diǎn)，搖桿為動(dòng)系。1） 速度分析：根據(jù)速度合成定理 作速度平行四邊形，如圖 (a)所示，求得, .搖桿的角速度為 ，（逆時(shí)針）.2) 加速度分析： ）選輪心O為基點(diǎn)，則銷(xiāo)子B的加速度如圖（b）所示，有 （d）再選定銷(xiāo)釘B為動(dòng)點(diǎn)，搖桿為動(dòng)系，如圖（c），有 (e)由式（d）,(e)得 = + + + 大?。?？ 方向： 如圖（b），（c）所示向BO軸上

12、投影，解出 ，于是搖桿的角加速度為，（逆時(shí)針）. 題6-10圖6-10 在圖示機(jī)構(gòu)中，已知：滑塊A的速度mm/s，mm。求當(dāng)，時(shí)桿CD的速度。解：選套筒上的銷(xiāo)釘C為動(dòng)點(diǎn)，AB桿為動(dòng)系，動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng).題6-10速度分析圖1）速度分析. 由找得AB桿的速度瞬心，故AB桿的角速度為 ，而C點(diǎn)的牽連速度為，由速度合成定理 ，解得 2）加速度分析. AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，有 = + + 題6-10加速度分析圖大?。?？ 0 方向: 向水平軸投影，列出 ，解得 ，于是求得AB桿的角加速度為 ，（順時(shí)針）.再對(duì)套筒上的銷(xiāo)釘C作加速度分析，仍以此銷(xiāo)釘C為動(dòng)點(diǎn)，AB桿為動(dòng)系，加速度合成定理為 ，其中

13、，這里是桿上與重合的點(diǎn)，所以 = + + + + 大小: ？ 0 ？ 方向: 向軸投影，列出 ，解出 .即 ，（向下）.6-11 直徑為d的圓輪沿直線(xiàn)軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)，長(zhǎng)為l的桿AB在A端與輪緣鉸接，在B端與沿傾角為的滑道而運(yùn)動(dòng)的滑塊鉸接。已知輪心O點(diǎn)以速度勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，桿AB處于水平。求此時(shí)滑塊B的速度和加速度。解：1）速度分析.圓輪作純滾動(dòng)，與地面接觸點(diǎn)位速度瞬心， 圓輪的角速度為 從而有 題6-11 圖題6-11 AB桿的加速度分析圖 .AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，找得AB桿的速度瞬心，于是AB桿的角速度為 ，滑塊B的速度為 ，方向如圖示.2） 加速度分析. 圓輪作勻角速純滾動(dòng)，輪心O的加速度為

14、零，以此為基點(diǎn)，容易求得輪緣上A點(diǎn)的加速度為 ，指向輪心. AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，計(jì)算B點(diǎn)的加速度，有，其中，向軸投影，列出 ，解得：，方向如圖示.6-12 圖示配汽機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長(zhǎng)為r，繞O軸以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，。求機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，滑塊C的速度和加速度。題6-12圖解：1）速度分析.曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，.AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，由找得AB桿的速度瞬心，由此得AB桿的角速度 .B點(diǎn)速度為 .題6-12速度分析圖BC桿作平面運(yùn)動(dòng)，由找得BC桿的速度瞬心，由此得BC桿的角速度 .滑塊C的速度為 ，向下.題6-12加速度分析圖注意到，如果題目只要求B和C點(diǎn)的速度，而不需要求桿的角速度，則用速度投影

15、法求解更方便簡(jiǎn)捷。2）加速度分析.對(duì)AB桿，選A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)加速度為 = + + 大?。?？ ？ 方向： 方向都已知，如圖所示. 向AB軸投影，得 解得 .對(duì)BC桿，選B為基點(diǎn)，C點(diǎn)加速度為 = + + 題 6-13圖 大小： ？ ？ 方向： 方向都已知，如圖所示向BC軸投影，得 ，方向向上.6-13 圖示輕型桿式推鋼機(jī)中，曲柄OA借連桿AB帶動(dòng)搖桿繞軸擺動(dòng)，桿EC以鉸鏈與滑塊C相連，滑塊C可沿桿滑動(dòng)。搖桿擺動(dòng)時(shí)帶動(dòng)桿EC推動(dòng)鋼材。已知，在圖示位置時(shí)，rad/s，m，m. 求滑塊C的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，滑塊C相對(duì)于搖桿的速度和加速度。解： 1）速度分析該機(jī)構(gòu)速度分析如圖（a）. (a)題6

16、-13速度分析圖AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，有解出 ，于是，桿的角速度為，（逆時(shí)針）； (b)題6-13加速度分析圖桿的角速度為，（順時(shí)針）.選取滑塊上的銷(xiāo)釘C為動(dòng)點(diǎn)，搖桿為動(dòng)系，則 .由速度合成定理 ，解出滑塊C相對(duì)于搖桿的速度：, 滑塊C的絕對(duì)速度：，（向左）.（2）加速度分析. 該機(jī)構(gòu)加速度分析如圖（b），對(duì)AB桿，以A為基點(diǎn)，有 + = + + 大?。?？ ？ 方向： 方向都已知 ，如圖（2）所示向水平軸投影，列出 ，解出 ，于是，桿的角加速度為 ，（逆時(shí)針）.仍取滑塊上的銷(xiāo)釘C為動(dòng)點(diǎn)，搖桿為動(dòng)系，則由 = + + +大?。?？ ？ 方向： 方向都已知，如圖（b）所示向軸和軸投影 ，

17、 ，解出滑塊C的絕對(duì)加速度和相對(duì)于搖桿的加速度為， . 題 6-14圖6-14 圖示行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使與齒輪A固結(jié)在一起的桿BD運(yùn)動(dòng)，并借鉸鏈B帶動(dòng)BE桿運(yùn)動(dòng)。如定齒輪的半徑為2r，動(dòng)齒輪半徑為r，且，圖示瞬時(shí)，OA在鉛直位置，BD在水平位置，桿BE與水平線(xiàn)間成角。求桿BE上的點(diǎn)C的速度和加速度。解：1）速度分析. 動(dòng)齒輪A在定齒輪O上作純滾動(dòng)，所以，動(dòng)齒輪A上與定齒輪O接觸的這點(diǎn)就是動(dòng)齒輪的A的速度瞬心，于是有 ，（逆時(shí)針）.選BE桿上的B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒C為動(dòng)系，如圖（a）。由速度合成定理，得 題6-14速度分析圖題6-14加速度分析圖 ，.式中. 從而桿BE

18、的角速度為，（順時(shí)針）.當(dāng)選BE桿上的為動(dòng)點(diǎn)時(shí)，牽連速度為零，又因?yàn)闂U相對(duì)于套筒是作平移，從而桿BE上的點(diǎn)的速度為 .3） 加速度分析，如圖（b），小齒輪作平面運(yùn)動(dòng)，選A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)加速度為, 式中因得 .另一方面，選桿上的B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒為動(dòng)系，則有 ，由此兩式得 + = + + + ，大?。?？ ？ 方向： 如圖（b）所示向CB軸投影， 解出 .再選桿上為動(dòng)點(diǎn)，套筒為動(dòng)系，有 = + + 大小: ？ 0 方向: 見(jiàn)圖（2）C處得桿上點(diǎn)加速度為 . 題 6-15圖 6-15 曲柄OA以恒定的角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并借助連桿AB驅(qū)動(dòng)半徑為r的輪子在半徑為R的圓弧槽中作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。設(shè)，求圖示瞬時(shí)

19、點(diǎn)B和點(diǎn)C的速度和加速度。解：1） 速度分析. 如圖（a），點(diǎn)P為輪子速度瞬心，AB桿作瞬時(shí)平移，有, .輪B的角速度為, 題 6-15（a）圖.2）加速度分析. AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)，對(duì)B作加速度分析，如圖（a），有 + = + + 大小: ？ ？ 方向: 如圖（a）所示分別向AB軸和BP軸投影，得 , 故B點(diǎn)加速度為，. AB桿的角加速度為題 6-15（b）圖 .輪B的角加速度為 .輪作純滾動(dòng)，取B為基點(diǎn)，作 C點(diǎn)的加速度分析，如圖（b）所示，即 = + + 大?。?？ 方向： 如圖（b）所示故點(diǎn)C加速度 .題6-16圖6-16圖示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以等角速度作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)連桿A

20、BD及DF運(yùn)動(dòng)，E處為一有固定支承德套筒，它可繞E點(diǎn)擺動(dòng)。已知機(jī)構(gòu)尺寸為，且在圖示位置時(shí)， ，試求此瞬時(shí)桿DF的角速度及角加速度。解：1）速度分析.AD桿作平面運(yùn)動(dòng)，由找得AD桿的速度瞬心，于是有題6-16圖(a) ，其中.DF桿作平面運(yùn)動(dòng)，由找得DF桿的速度瞬心，于是有，（順時(shí)針?lè)较颍?其中. 若以D為動(dòng)點(diǎn)，套筒E為動(dòng)系，則由速度合成定理求得. 2）加速度分析. AD桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，B點(diǎn)加速度為 = + + 大小： ？ ？ 方向： 如圖（b）所示向鉛錘軸列投影式：題6-16（b）圖 解得 , ，（逆時(shí)針）.仍以A為基點(diǎn)，D點(diǎn)加速度分析如圖（b）所示，有 ，式中有3個(gè)未知量，故再選D為動(dòng)點(diǎn)，套筒E為動(dòng)系，