高考復(fù)習(xí)：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1、要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)的概念（1 1）對(duì)數(shù)的定義）對(duì)數(shù)的定義 如果如果a ax x= =N N( (a a00且且a a1)1)，那么數(shù)，那么數(shù)x x叫做以叫做以a a為底為底N N的對(duì)的對(duì) 數(shù)數(shù), ,記作記作_,_,其中其中_叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),_,_ 叫做真數(shù)叫做真數(shù). . a aN N2.52.5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)x x=log=loga aN N基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)（2 2）幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)）幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)2.2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1 1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)）對(duì)數(shù)的性質(zhì) =_;=_;logloga aa aN N=_(=_(

2、a a00且且a a1).1). e elnln N Nlglg N Nlogloga aN N1010NaalogN NN N（2 2）對(duì)數(shù)的重要公式）對(duì)數(shù)的重要公式 換底公式換底公式: (: (a a, ,b b均大于零且不等均大于零且不等 于于1)1)； 推廣推廣logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d= = _. _. (3) (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果如果a a00且且a a1,1,MM0,0,N N0,0,那么那么 logloga a( (MNMN)=_;)=_; =_; =_;bNNaablogloglog,log1logabbalo

3、gloga ad dlogloga aMM+log+loga aN Nlogloga aMM-log-loga aN NNMalog logloga aMMn n= = _(_(n nR R);); 3.3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)n nlogloga aMM .loglogMmnManamR R(0,(0,+) )(1,(1,0 0) )y y00y y00y y00y y001 10 0增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)4.4.反函數(shù)反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y y= =a ax x與對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)_互為反函數(shù)，它互為反函數(shù)，它 們的圖象關(guān)于直線們的圖象關(guān)于直線_對(duì)稱對(duì)稱. . y

4、 y=log=loga ax xy y= =x x基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.（20092009湖南理）湖南理）若若loglog2 2a a0, 1,1,b b0 B.0 B.a a1,1,b b00 C.0 C.0a a1,0 D.00 D.0a a1,1,b b00 解析解析 loglog2 2a a0=log0=log2 21,01,0a a1.1. b b0. 0. , 1)21(b,)21(1)21(0bD2.2.已知已知loglog7 7loglog3 3(log(log2 2x x)=0)=0，那么，那么 等于等于 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由

5、條件知由條件知loglog3 3(log(log2 2x x)=1,log)=1,log2 2x x=3,=3, x x=8,=8,21x31634233.4221xC3.3.若若a a=0.3=0.32 2, ,b b=log=log2 20.3,0.3,c c=2=20.30.3, ,則則a a, ,b b, ,c c的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是 （ ） A.A.a a b b c c B.B.a a c c b b C. C.b b c c a a D.D.b b a a c c 解析解析 a a=0.3=0.32 2(0,1),(0,1),b b=log=log2 20.30,0.30,

6、c c=2=20.30.3(1,+),(1,+),b b a a 11，函數(shù)，函數(shù)f f( (x x)=log)=loga ax x在區(qū)間在區(qū)間 a a,2,2a a 上的最大值與上的最大值與 最小值之差為最小值之差為 則則a a等于等于 （ ） A. B.2 C. D.4A. B.2 C. D.4 解析解析 根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件logloga a(2(2a a)-log)-loga aa a= = 整理得：整理得：logloga a2= 2= 則則 即即a a=4.=4.,21222,21,21, 221aD5.5.函數(shù)函數(shù) 的定義域是的定義域是_._. 解析解析 要使要使 有意義有意義

7、 需使需使 0303x x-21,-21,即即 b b c c B.B.a a c c b b C. C.b b a a c c D.D.b b c c a a (1) (1)引入中間量如引入中間量如“1 1”或或“ ”比較比較. . (2) (2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性. . 解析解析 a a=log=log2 21,1, a a b b, ,a a c c. . b b c c,a a b b c c. . , 3log2b,2log3c, 12log21, 13log2132cb, 12lg3lg2log3log2232又思維啟迪思維啟迪21A探究提高探究提

8、高 比較對(duì)數(shù)式的大小，或證明等式問(wèn)題是比較對(duì)數(shù)式的大小，或證明等式問(wèn)題是對(duì)數(shù)中常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多對(duì)數(shù)中常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多, ,當(dāng)?shù)桩?dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)相同時(shí)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較; ;若底若底數(shù)不同，真數(shù)相同數(shù)不同，真數(shù)相同, ,可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；若不同底，若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較. . 知能遷移知能遷移2 2 比較下列各組數(shù)的大小比較下列各組數(shù)的大小. . (1) (1) (2)

9、log (2)log1.11.10.70.7與與loglog1.21.20.7;0.7; (3) (3)已知已知 比較比較2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小關(guān)系小關(guān)系. . 解解 （1 1） loglog log5 51=0,1=0, ;56log32log53與,logloglog212121cab32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一 00.71,1.11.2,00.71,1.1log0log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由換底公式可得即由換底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1

10、.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x與與y y=log=log1.21.2x x的圖象的圖象. .如圖所示兩圖象與如圖所示兩圖象與x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c, ,而而y y=2=2x x是增函數(shù)，是增函數(shù)，2 2b b22a a22c c. . ,logloglog212121cab且xy21log,2 . 1log11 . 1log17 . 07 . 0題型三題型三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例例3 3】(12(12分分) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=lo

11、g)=loga ax x ( (a a0,0,a a1)1)，如，如 果對(duì)于任意果對(duì)于任意x x33，+)+)都有都有| |f f( (x x)|1)|1成立，試求成立，試求 a a的取值范圍的取值范圍. . 當(dāng)當(dāng)x x33，+)+)時(shí)，必有時(shí)，必有| |f f( (x x)|1)|1成立成立, , 可以理解為函數(shù)可以理解為函數(shù)| |f f( (x x)|)|在區(qū)間在區(qū)間33，+)+)上的最小值上的最小值 不小于不小于1.1. 解解 當(dāng)當(dāng)a a11時(shí)，對(duì)于任意時(shí)，對(duì)于任意x x33，+),+),都有都有f f( (x x)0.)0. 所以所以,|,|f f( (x x)|=)|=f f( (x

12、 x),), 而而f f( (x x)=log)=loga ax x在在33，+)+)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)， 對(duì)于任意對(duì)于任意x x33，+),+),有有f f( (x x)log)loga a3. 43. 4分分 思維啟迪思維啟迪因此因此, ,要使要使| |f f( (x x)|1)|1對(duì)于任意對(duì)于任意x x33，+)+)都成立都成立. .只要只要logloga a31=log31=loga aa a即可，即可，11a a3. 63. 6分分當(dāng)當(dāng)00a a11時(shí)，對(duì)于時(shí)，對(duì)于x x33，+),+),有有f f( (x x)0,)0,|f f( (x x)|=-)|=-f f( (x x).

13、 8). 8分分f f（x x）=log=loga ax x在在33，+)+)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，- -f f（x x）在）在33，+)+)上為增函數(shù)上為增函數(shù). .對(duì)于任意對(duì)于任意x x33，+)+)都有都有| |f f( (x x)|=-)|=-f f( (x x)-log)-loga a3. 103. 10分分因此，要使因此，要使| |f f( (x x)|1)|1對(duì)于任意對(duì)于任意x x33，+)+)都成立都成立, ,只要只要-log-loga a3131成立即可，成立即可，綜上綜上, ,使使| |f f( (x x)|1)|1對(duì)任意對(duì)任意x x33，+)+)都成立的都成立的a a的

14、取的取值范圍是值范圍是(1(1，3 3 ，1). 121). 12分分 本題屬于函數(shù)恒成立問(wèn)題，即在本題屬于函數(shù)恒成立問(wèn)題，即在x x33，+)+)時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的絕對(duì)值恒大于等于的絕對(duì)值恒大于等于1.1.恒成恒成立問(wèn)題一般有兩種思路立問(wèn)題一般有兩種思路: :一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題. .這里函數(shù)的底這里函數(shù)的底數(shù)為字母數(shù)為字母a a, ,因此需對(duì)參數(shù)因此需對(duì)參數(shù)a a分類(lèi)討論分類(lèi)討論. . . 131, 31,1log13logaaaaa即31探究提高探究提高知能遷移知能遷移3

15、 3 (1) (1)設(shè)設(shè)f f( (x x)= )= 是奇函數(shù)，則使是奇函數(shù)，則使 f f( (x x)0)0的的x x的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.(-1,0) B.(0,1)A.(-1,0) B.(0,1) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) 解析解析 f f（x x）為奇函數(shù)，）為奇函數(shù)，f f（0 0）=0.=0. 解之，得解之，得a a=-1.=-1.f f( (x x)= )= 令令f f( (x x)0)0，則，則 x x(-1(-1，0). 0). )12lg(ax.11lgxx, 1110 xxA(2)(2)已知已知f

16、f( (x x)=log)=loga a(3-(3-a a) )x x- -a a 是其定義域上的增函數(shù)是其定義域上的增函數(shù), , 那么那么a a的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.(0,1) B.(1,3)A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) 解析解析 記記u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a, , 當(dāng)當(dāng)11a a333時(shí)，時(shí)，y y=log=loga au u在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，在其定義域內(nèi)為增函數(shù)， 而而u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，在其定義域內(nèi)為

17、減函數(shù)， 此時(shí)此時(shí)f f( (x x) )在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不符合要求在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，不符合要求. . 當(dāng)當(dāng)00a a11,1,x x2 21,1,則點(diǎn)則點(diǎn)A A、B B的縱坐標(biāo)分別為的縱坐標(biāo)分別為loglog8 8x x1 1、loglog8 8x x2 2. .因?yàn)橐驗(yàn)锳 A、B B在過(guò)點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)O O的直線上，的直線上，所以所以 點(diǎn)點(diǎn)C C、D D的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為( (x x1 1,log,log2 2x x1 1) )、( (x x2 2,log,log2 2x x2 2),),由于由于loglog2 2x x1 1= =3log= =3log8 8x x1 1,log

18、,log2 2x x2 2=3log=3log8 8x x2 2, ,OCOC的斜率為的斜率為k k1 1= = ODOD的斜率為的斜率為k k2 2= = 由此可知由此可知k k1 1= =k k2 2, ,即即O O、C C、D D在同一直線上在同一直線上. . ,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx,log3log228222xxxx（2 2）解解 由于由于BCBC平行于平行于x x軸，知軸，知loglog2 2x x1 1=log=log8 8x x2 2，即得即得 代入代入x x2 2loglog8 8x x1 1= =x x1

19、1loglog8 8x x2 2, ,得得 由于由于x x1 11,1,知知loglog8 8x x1 10,0,故故 又因又因x x1 11,1,解得解得x x1 1= ,= ,于是點(diǎn)于是點(diǎn)A A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 利用函數(shù)圖象和解析幾何的思想方法利用函數(shù)圖象和解析幾何的思想方法, ,突突出了本題的直觀性出了本題的直觀性. .將對(duì)數(shù)的運(yùn)算融于幾何問(wèn)題，體將對(duì)數(shù)的運(yùn)算融于幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. . 探究提高探究提高,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx 3).3log, 3(8知能遷移知能遷移4 4 已知函數(shù)已知函

20、數(shù) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)( (a a0,0, a a11）. . (1) (1)求求m m的值；的值； (2)(2)判斷判斷f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(1,+)(1,+)上的單調(diào)性并加以證明上的單調(diào)性并加以證明. . 解解 （1 1）f f（x x）是奇函數(shù)，）是奇函數(shù)， f f（- -x x）=-=-f f（x x）在其定義域內(nèi)恒成立，）在其定義域內(nèi)恒成立， 1-1-m m2 2x x2 2=1-=1-x x2 2恒成立，恒成立， m m=-1=-1或或m m=1=1（舍去），（舍去），m m=-1. =-1. 11log)(xmxxfa,11log11logxmxxmxaa即（2 2

21、）由（）由（1 1）得）得 ( (a a0,0,a a1),1), 任取任取x x1 1, ,x x2 2(1,+).(1,+). 設(shè)設(shè)x x1 1 1,1,x x2 21,1,x x1 1 0,-10,x x2 2-10,-10,x x2 2- -x x1 10.0.11log)(xxxfa,11xx,) 1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxxxxxtxtxxxtxxxt則t t( (x x1 1)t t( (x x2 2),),即即 當(dāng)當(dāng)a a11時(shí)，時(shí)， f f( (x x) )在（在（1,+1,+）上是減函數(shù)；）上是減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)

22、00a a100，且，且a a1)1)與對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)y y=log=loga ax x ( (a a0,0,且且a a1)1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì) 三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別. .3.3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過(guò)研究函數(shù)的性明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過(guò)研究函數(shù)的性 質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象. .因此要因此要 掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函 數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象. . 一、選擇

23、題一、選擇題1.1.（20092009湖南文，湖南文，1 1） 的值為的值為 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析2log2.212log2log2122212122D定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)2.2.（20092009廣東文廣東文,4,4）若函數(shù)若函數(shù)y y= =f f( (x x) )是函數(shù)是函數(shù)y y= =a ax x( (a a0,0, 且且a a1)1)的反函數(shù)，且的反函數(shù)，且f f(2)=1,(2)=1,則則f f( (x x)= )= （ ） A. B.2A. B.2x x-2 -2 C. D.logC. D.log2 2x x 解析解析 函數(shù)函數(shù)y y= =a

24、 ax x( (a a0,0,且且a a1)1)的反函數(shù)是的反函數(shù)是 f f( (x x)=log)=loga ax x, , 又又f f(2)=1,(2)=1,即即logloga a2=12=1，所以，所以a a=2,=2, 故故f f( (x x)=log)=log2 2x x, ,故選故選D. D. x21x21logD3.3.(2009(2009遼寧文，遼寧文，6)6)已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )滿足：當(dāng)滿足：當(dāng)x x44時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng)x x44時(shí)，時(shí)，f f( (x x)=)=f f( (x x+1).+1).則則f f(2+log(2+log2 23)=3)= （ ）

25、A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 因?yàn)橐驗(yàn)?+log2+log2 234,34,34, 故故f f(3+log(3+log2 23)=3)=.24131)21()21(33log32;)21()(xxf2411218183A4.4.已知已知00 x x y y a a1,1,m m=log=loga ax x+log+loga ay y，則有，則有 ( ) ( ) A. A.m m0 B.00 B.0m m11 C.1 C.1m m2 D.22 解析解析 m m=log=loga axyxy,0,0 x x y y a a1,01,0 xyxy a a2 21.logl

26、oga aa a2 2=2. =2. D5.5.函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象如右圖所示的圖象如右圖所示, ,則則 函數(shù)函數(shù)y y= = 的圖象大致是的圖象大致是 ( )( )(logxf21解析解析 由由y y= =f f( (x x) )的圖象可知，的圖象可知，y y= =f f( (x x) )在（在（0 0，1 1）上單）上單調(diào)遞減，在（調(diào)遞減，在（1 1，2 2）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增, ,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，調(diào)性法則可知， 在（在（0,10,1）上單調(diào)遞增，）上單調(diào)遞增，在（在（1 1，2 2）上單調(diào)遞減，故選）上單調(diào)遞減，故選C.C.

27、 答案答案 C)(logxfy21 6 6. .函數(shù)函數(shù)y y=log=loga a| |x x+ +b b| (| (a a0,0,a a1,1,abab=1)=1)的圖象只可能的圖象只可能 是是 （ ） 解析解析 由由a a0,0,abab=1=1可知可知b b0,0, 又又y y=log=loga a| |x x+ +b b| |的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于x x=-=-b b對(duì)稱，對(duì)稱， 由圖象可知由圖象可知b b1,1,且且00a a1,1,由單調(diào)性可知，由單調(diào)性可知，B B正確正確. . B二、填空題二、填空題7.7.(2009(2009江蘇，江蘇，11)11)已知集合已知集合A A=x

28、x|log|log2 2x x2,2,B B= = (-, (-,a a),),若若A A B B, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是( (c c,+),+), 其中其中c c=_.=_. 解析解析 loglog2 2x x2,02,04,4, c c=4. =4. 8.8.計(jì)算計(jì)算 loglog5 525=_.25=_. 解析解析 原式原式=(-4)=(-4)1 1+log+log5 55 52 2=-4+2=-2. =-4+2=-2. 4 4313)4(-2-29.9.已知已知00a a b b11c c, ,m m=log=loga ac c, ,n n=log=logb b

29、c c, ,則則m m與與n n的大小的大小 關(guān)系是關(guān)系是_._. 解析解析 m m0,0,n n0,0, =log =loga ac cloglogc cb b=log=loga ab blog n n. . m m n nnm三、解答題三、解答題1010. .將下列各數(shù)按從大到小的順序排列將下列各數(shù)按從大到小的順序排列: : log log8 89,log9,log7 79, 9, 解解 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y y=log=log8 8x x, , y y=log=log7 7x x，y y=log=log2 2x x的圖象如圖的圖象如圖 所示所示, ,當(dāng)當(dāng)x x=9=9時(shí)

30、時(shí), ,由圖象知由圖象知 loglog2 29log9log7 79log9log8 891=log91=log8 88,8,.)21( ,)21( , 9log, 3log322121, 9log)9log(9log2222221loglog2 22 29log9log7 79log9log8 891,91,即即 loglog7 79log9log8 891.91. 在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,9log221xy)21(. 3log)21()21(9log9log9log:, 03log. 0)21()21(121212138723綜上又11.11.若函數(shù)若函數(shù)y y=lg(3-4=

31、lg(3-4x x+ +x x2 2) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镸M. .當(dāng)當(dāng)x xMM時(shí)，時(shí)， 求求f f( (x x)=2)=2x x+2+2-3-34 4x x的最值及相應(yīng)的的最值及相應(yīng)的x x的值的值. . 解解 y y=lg=lg（3-43-4x x+ +x x2 2）,3-4,3-4x x+ +x x2 20,0, 解得解得x x133， MM=x x| |x x1,33， f f（x x）=2=2x x+2+2-3-34 4x x=4=42 2x x-3-3(2(2x x) )2 2. . 令令2 2x x= =t t,x x13,3,t t88或或00t t2.88或或00t t2). 2). 34)32( 32t由二次函數(shù)性質(zhì)可知由二次函數(shù)性質(zhì)可知: : 當(dāng)當(dāng)00t t